Математическая энциклопедия

МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ

наивная - учение о свойствах множеств, преимущественно бесконечных, элиминирующее свойства элементов, составляющих эти множества. . Понятие множества принадлежит к числу первоначальных математич. понятий и может быть пояснено только при помощи примеров. Так, можно говорить о множестве людей, живущих на нашей планете в данный момент времени, о множестве точек данной геометрич. фигуры, о множестве решений данного дифференциального уравнения. Люди, жевущие на нашей планете в данный момент времени, точки данной геометрич. фигуры, решение данного дифференциального уравнения являются элементами соответствующего множества. Множество Асчитается заданным, если указано характеристич. свойство элементов этого множества, т. е. такое свойство, к-рым обладают все элементы этого множества и только они. Одним из основных понятий М. т. является понятие принадлежности элемента множеству. В качестве обозначения того, что предмет апринадлежит множествуА,пишут . (Если ане принадлежит А, то пишут ) Может случиться, что характеристич. свойством, определяющим множествоА,не обладает вообще ни один предмет; тогда говорят, что множество Апустое и пишут . Напр., множество действительных решений уравнения пустое. Если каждый элемент множества Аявляется в то же время элементом множестваВ,то множествоАназ. подмножеством множества Ви пишут . Если одновременно выполнено и , то говорят, что множества Аи Вравны и пишутА = В.Объединением множеств АиВназ.множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств АиВ.Пересечением множеств Аи Вназ. множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих какА,так иВ.Операции объединения и пересечения коммутативны, ассоциативны и взаимно дистрибутивны. Например, . Во многих разделах М. т. рассматриваются только такие множества, к-рые содержатся в нек-ром фиксированном множествеX.Если А- подмножествоXи Р- свойство, характеризующее элементы из А, то пишут - истина}. Напр., если X- множество всех действительных чисел, аА- подмножество положительных чисел, то . Если , то множество наз. дополнением множестваА .Операции объединения, пересечения идополнения связаны т. н. законамиде Моргана. Напр.,Раздел М. т., к-рый занимается исследованием операций над множествами (не только конечных, но и бесконечных операций), наз. алгеброй множеств. Алгебра множеств в свою очередь является частным случаем теориибулевых алгебр.

М. т. была создана работами математиков 19 в., к-рые ставили себе целью разработку оснований математич. анализа. Уже в первых работах в этой области [Б. Больцано (В. Bolzano), П. Дюбуа-Реймон (P. Du Bois-Reymond), P. Дедекинд (R. Dedekind)], в к-рых рассматривались числовые множества или множества функций, ставился вопрос о количественном сравнении бесконечных множеств. Является ли бесконечность множества чисто отрицательным свойством, не допускающим расчленения, или же существуют различные ступени математпч. бесконечности, бесконечные множества различной количественной силы, различной "мощности"? Ответ на этот вопрос дал Г. Кантор (G. Cantor, 1871-83), к-рый представил почти современное изложение теориикардинальных чиселипорядковых чисели теориивполне упорядоченных множеств.Возможность сравнительной количественной оценки множеств опирается на понятие взаимно однозначного соответствия (или биекции) между двумя множествами. Пусть каждому элементу множества Асоответствует в силу какого бы то ни было правила или закона нек-рый определенный элемент множестваВ,если при этом каждый элемент множества Воказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множестваА,то говорят, что между множествами АиВустановлено взаимно однозначное соответствие (или биективное отображение, или биекция). Между двумя конечными множествами можно установить биекцию тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. В обобщении этого факта Г. Кантор определил количественную эквивалентность, или равномощность, как возможность установить между ними взаимно однозначное соответствие. Если множество Аравно-мощно множествуВ,то множества АиВимеют одно и то же кардинальное число. Ценность понятия мощности множества определяется существованием не-равномощных бесконечных множеств. Напр., множество всех действительных чисел и множество всех натуральных чисел имеют разные мощности. Первое имеет мощность континуума, а второе - счетное множество. В каждом бесконечном множестве Аимеется собственное подмножество, равномощное всемуА,в то же время как ни в одном конечном множестве такой правильной части найти нельзя. Поэтому наличие правильной части, равномощной целому, можно принять за определение бесконечного множества.

Заслуга Г. Кантора состоит не только в решении проблемы мощности множества, но и в том решительном шаге, к-рый сделал он, рассмотрев множества, состоящие из элементов произвольной природы. О том, что шаг к общности был трудным, свидетельствуют, во-первых, различные противоречия (антиномии),открытые разными учеными к началу 20 в. и приведшие к созданиюаксиоматической теории множеств,и, во-вторых, то, что естественным образом возникшие задачи (напр.,континуум-гипотеза)оказались неразрешимыми.

Дальнейший вклад в М. т. внес Ф. Хаусдорф (F. Hausdorff), разработав теорию линейно упорядоченных множеств и применив М. т. к топологии, он заложил основы теориитопологических пространств(или общей топологии). Далее, А-операция, возникшая при исследовании борёлевских множеств, привела к созданиюдескриптивной теории множеств.Из ряда задач комбинаторной математики и теории графов возникла комбинаторная теория множеств. Наконец, открытия, сделанные К. Гёделем (К. Godel) и П. Коэном (P. Cohen) в аксиоматич. теории множеств существенно повлияли на методы и развитие М. т.

Лит.:[1] Александров П. С, Введение в общую теорию множеств и функций, М.- Л., 1948; [2] Больцано Б., Парадоксы бесконечного, пер. с нем., Одесса, 1911; [3] Учение о множествах Георга Кантора, СПБ, 1914 (Новые идеи в математике. Сб. № 6); [41 Xаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.- Л., 1937; [5] Куратовский К., Мостовский А., Теория множеств, пер. с англ., М., 1970; [6] Бурбаки Н., Теория множеств, пер. с франц., М., 1965.

Б. А. Ефимов.


  1. множеств теория—МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ учение об общих свойствах множеств преимущественно бесконечных. Понятие м н ож е с т в а или совокупности принадлежит к числу простейших математических по...Большая советская энциклопедия
  2. множеств теория—учение об общих свойствах множеств преимущественно бесконечных. Понятие множества или совокупности принадлежит к числу простейших математических понятий оно не определяет...Большая Советская энциклопедия II
  3. множеств теория—раздел математики в кром изучаются общие свва множеств преим. бесконечных. Понятие множества простейшее матем. понятие оно не определяется а поясняется на примерах напри...Большой энциклопедический политехнический словарь
  4. множеств теория—раздел математики в котором изучаются общие свойствамножеств преимущественно бесконечных. Понятие множества простейшеематематическое понятие оно не определяется а лишь п...Большой энциклопедический словарь II
  5. множеств теория—МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ раздел математики в котором изучаются общие свойства множеств преимущественно бесконечных. Понятие множества простейшее математическое понятие оно не опр...Большой энциклопедический словарь III
  6. множеств теория—МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ раздел математики в котором изучаются общие свойства множеств преимущественно бесконечных. понятие множества простейшее математическое понятие оно не оп...Большой Энциклопедический словарь V
  7. множеств теория—раздел математики в кром изучаются общие свойства множеств преим. бесконечных. Понятие множества простейшее матем. понятие оно не определяется а лишь поясняется при помо...Естествознание. Энциклопедический словарь
  8. множеств теория—раздел математики изучающий множества отвлекаясь от конкретной природы элементов множества. Само понятие множества вводится аксиоматически и не может быть определено чере...Начала современного естествознания
  9. множеств теория—мноства тэорыя...Русско-белорусский математический словарь
  10. множеств теория—математическая теория изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. л. свойства множеств совокупностей классов ансамблей гл. обр. бесконечных. Множеств...Словарь логики
  11. множеств теория—МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ математическая теория изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. л. свойства множеств совокупностей классов ансамблей гл. обр. беск...Словарь по логике
  12. множеств теория—математик теория изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. т.свойства множеств совокупностей классов ансамблей гл. обр. бесконечных. Осн. содержание...Советский философский словарь
  13. множеств теория—МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ раздел математики в котором изучаются общие свойства множеств преимущественно бесконечных. Понятие множества простейшее математическое понятие оно не опр...Современный энциклопедический словарь
  14. множеств теория—МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ математик теория изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. т. свойства множеств совокупностей классов ансамблейem гл. обр.em бесконе...Философская энциклопедия
  15. множеств теория—математич. теория предметом изучения крой являются множества. М. т. сыграла выдающуюся роль в изучении идеи бесконечности весьма важной для математики логики и гносеологи...Философская Энциклопедия (в 5 томах)
  16. множеств теория—разработанный нем. математиком Георгом Кантором аналитический метод для преодоления парадоксальности бесконечных множеств и дефиниции понятия множества лишенного внутрен...Философский энциклопедический словарь II
  17. множеств теория—разработанный нем. математиком Георгом Кантором аналитический метод для преодоления парадоксальности бесконечных множеств и дефиниции понятия множества лишенного внутрен...Философский энциклопедический словарь
  18. множеств теория—МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ раздел математики в котором изучаются общие свойства множеств преимущественно бесконечных. Понятие множества простейшее математическое понятие оно не оп...Энциклопедический словарь естествознания
  19. множеств теория—МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯПод множеством понимается совокупность какихлибо объектов называемых элементами множества. Теория множеств занимается изучением свойств как произвольных мн...Энциклопедия Кольера II
  20. множеств теория—Под множеством понимается совокупность какихлибо объектов называемых элементами множества. Теория множеств занимается изучением свойств как произвольных множеств так и мн...Энциклопедия Кольера
  21. множеств теория—МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ учение о множествах зародившееся в середине в. и изучающее свойства множеств произвольной природы. Создание М. т. было подготовлено работами математиков...Энциклопедия эпистемологии и философии науки