МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ

МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ,учение об общих свойствах множеств, преимущественно бесконечных. Понятие м н о-ж е с т в а, или совокупности, принадлежит к числу простейших математических понятий; оно не определяется, но может быть пояснено при помощи примеров. Так, можно говорить о множестве всех книг, составляющих данную библиотеку, множестве всех точек данной линии, множестве всех решений данного уравнения. Книги данной библиотеки, точки данной линии, решения данного уравнения являются элементами соответствующего множества. Чтобы определить множество, достаточно указать характеристич. свойство элементов, т. е. такое свойство, к-рым обладают все элементы этого множества и только они. Может случиться, что данным свойством не обладает вообще ни один предмет; тогда говорят, что это свойство определяет пустое множество. То, что данный предметхесть элемент множестваМ,записывают так:хеМ(читают:хпринадлежит множествуМ).

Подмножества.Если каждый элемент множестваАявляется в то же время элементом множестваВ,то множествоАпаз. подмножеством, или частью, множестваВ.Это записывают так: Л ? В илиВЭА.Т. о., подмножеством данного множестваВявляется и само множество В. Пустое множество, по определению, считают подмножеством всякого множества. Всякое непустое подмножествоАданного множества В, отличное от всего множества В, наз. правильной частью последнего.

Мощность множеств.Первым вопросом, возникшим в применении к бесконечным множествам, был вопрос о возможности их количественного сравнения между собой. Ответ на этот и близкие вопросы дал в кон. 70-х гг. 19 в. Г.Кантор,основавший М. т. как математич. науку. Возможность сравнительной количественной оценки множеств опирается на понятие взаимно однозначного соответствия между двумя множествами. Пусть каждому элементу множестваАпоставлен в соответствие в силу какого бы то ни было правила или закона некоторый определённый элемент множества В; если при этом каждый элемент множества оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества Л, то говорят, что между множествамиАиВустановлено взаимно однозначное, или одно-однозначное, соответствие [сокращённо: (1 - 1)-соответствие]. Очевидно, между двумя конечными множествами можно установить (1 - 1 )-соответствие тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. В обобщение этого факта определяют количественную эквивалентность, или р а в н о м о щ-ность, двух бесконечных множеств как возможность установить между ними (1 - 1 )-соответствие.

Ещё до создания М. т. Б.Болъцановладел, с одной стороны, вполне точно формулированным понятием (1-1)-соот-ветствия, а с другой стороны, считал несомненным существование бесконечностей различных ступеней; однако он не только не сделал (1-1 соответствие основой установления количественной равносильности множеств, но решительно возражал против этого. Больцано останавливало то, что бесконечное множество может находиться в (1-^-соответствии со своей правильной частью. Напр., если каждому натуральному числуппоставить в соответствие натуральное число2п,то получим (1 - 1 ^соответствие между множеством всех натуральных и множеством всех чётных чисел. Вместо того чтобы в применении к бесконечным множествам отказаться от аксиомы: часть меньше целого, Больцано отказался от взаимной однозначности как критерия равномощности и, т. о., остался вне осн. линии развития М. т. В каждом бесконечном множествеМимеется (как легко доказывается) правильная часть, равномощная всемуМ,тогда как ни в одном конечном множестве такой правильной части найти нельзя. Поэтому наличие правильной части, равномощ-ной целому, можно принять за определение бесконечного множества (Р.Дедекинд).

Для двух бесконечных множествАиВвозможны лишь следующие три случая: либо Л есть правильная часть, равномощнаяВ,но в В нет правильной части, равномощной Л; либо, наоборот, вВесть правильная часть, равномощная Л, а в Л нет правильной части, равномощной В; либо, наконец, вАесть правильная часть, равномощная В, и в В есть правильная часть, равномощная Л. Доказывается, что в третьем случае множества Л и В равномощны (теорема Кантора -Бернштейна). В первом случае говорят, что мощность множества Л больше мощности множества В, во втором - что мощность множества В больше мощности множества Л. A priori возможный четвёртый случай - в Л нет правильной части, равномощнойВ, а в Внет правильной части, равномощной Л,- в действительности не может осуществиться (для бесконечных множеств).

Ценность понятия мощности множества определяется существованием неравно-мощных бесконечных множеств. Напр., множество всех подмножеств данного множестваМимеет мощность большую, чем множеством. Множество, равномощ-ное множеству всех натуральных чисел, наэ. счётным множеством. Мощность счётных множеств есть наименьшая мощность, к-рую может иметь бесконечное множество; всякое бесконечное множество содержит счётную правильную часть. Кантор доказал, что множество всех рациональных и даже всех алгебраич. чисел счётно, тогда как множество всех действит. чисел несчётно. Тем самым было дано новое доказательство существования т. н. трансцендентных чисел, т. е. действит. чисел, не являющихся корнями никакого алгебраич. уравнения с Целыми коэффициентами (и даже несчётность множества таких чисел). Мощность множества всех действительных чисел наз. мощностью континуума. Множеству всех действительных чисел равномощны: множество всех подмножеств счётного множества, множество всех комплексных чисел и, следовательно, множество всех точек плоскости, а также множество всех точек трёх- и вообще и-мерного пространства при любомп.Кантор высказал гипотезу (т.н. континуум-гипотезу): всякое множество, состоящее из действит. чисел, либо конечно, либо счётно, либо равномощно множеству всех действит. чисел; по поводу этой гипотезы и существенных связанных с нею результатов см.Континуума проблема.

Отображения множеств.В М. т. ана-литич. понятие функции, геометрич. понятие отображения или преобразования фигуры и т. п. объединяются в общее понятие отображения одного множества в другое. Пусть даны два множестваX

или значением данной функции для данного значения её аргументах.

Примеры. 1) Пусть задан в плоскости с данной на ней прямоугольной системой координат квадрат с вершинами (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1) и осуществлена проекция этого квадрата, напр, на ось абсцисс; эта проекция есть отображение множестваXвсех точек квадрата на множество У всех точек его основания; точке с координатами (х;у)соответствует точка(х;0).

2) ПустьX -множество всех действит. чисел; если для каждого действит. числа

(1 - 1 )-соответствие между двумя множествами X и У есть такое отображение множестваXв множество Y, при к-ром каждый элемент множества У является образом одного и только одного элемента

множестваX.Отображения примеров 2) и 3) взаимно однозначны, примера 1) - нет. Операции над множествами. С у м м о и, или объединением, двух, трёх, вообще произвольного конечного или бесконечного множества множеств наз. множество всех тех предметов, каждый из к-рых есть элемент хотя бы одного из данных множеств-слагаемых. Пересечением двух, трёх, вообще любого конечного или бесконечного множества множеств наз. множество всех элементов, общих всем данным множествам. Пересечение даже двух непустых множеств может быть пустым. Разностью между множествомВи множествомАназ. множество всех элементов изВ,не являющихся элементами изА:разность между множествомВи его частьюАназ. дополнением множестваАв множествеВ.

Операции сложения и пересечения множеств удовлетворяют условиям сочетательности и переместительности (см.Ассоциативность, Коммутативность).Операция пересечения, кроме того, распределительна по отношению к сложению и вычитанию. Эти действия обладают тем общим свойством, что если их производить над множествами, являющимися подмножествами одного и того же множестваМ,то и результат будет подмножеством множестваМ.Указанным свойством не обладает т. н. внешнее умножение множеств: внешним произведением множеств X и У наз. множество X XV всевозможных пял

ных множеств согласуется с умножением и возведением в степень натуральных чисел. Аналогично определяется сумма мощностей как мощность суммы попарно непересекающихся множеств с заданными мощностями.

Упорядоченныемножества.Установитьв данном множестве X порядок - значит установить для нек-рых парх‘, х"элементов этого множества какое-то правило предшествования (следования¹), выражае-

рассматриваемое вместе с каким-нибудь установленным в нём порядком, наз. "частично упорядоченным множеством"; иногда вместо "частично упорядоченное множество" говорят "упорядоченное множество" (Н.Бурбаки).Однако чаще упорядоченным множеством наз. такое частично упорядоченное множество, в к-ром порядок удовлетворяет след, дополнительным требованиям ("линейного порядка"): 1) никакой элемент не предшествует самому себе; 2) из всяких двух раз-

3) Всякое множество действит. чисел линейно упорядочено: меньшее из двух чисел считается предшествующим большему.

Два упорядоченных множества наз. подобными между собой, или имеющими один и тот же порядковый тип, если между ними можно установить (1 - 1)-соответствие, сохраняющее порядок. Элемент упорядоченного множества наз. первым, если он предшествует в этом упорядоченном множестве всем остальным элементам; аналогично определяется и последний элемент. Примеры: в упорядоченном множестве всех действит. чисел нет ни первого, ни последнего элемента; в упорядоченном множестве всех неотрицательных чисел нуль есть первый элемент, а последнего элемента нет; в упорядоченном множестве всех действительных чисел .г, удовлетворяющих неравенствамa <=x <=b,числоаесть первый элемент, а числоb -последний.

Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если оно само и всякое его правильное подмножество имеют первый элемент. Порядковые типы вполне упорядоченных множеств наз. порядковыми, или ординальными, числами. Если вполне упорядоченное множество конечно, то его порядковое число есть обычное порядковое число элементарной арифметики. Порядковые типы бесконечных вполне упорядоченных множеств наз.трансфинитными числами.

Точечные множества.Теория точечных множеств, т. е. в первоначальном понимании слова - теория множеств, элементами к-рых являются действит. числа (точки числовой прямой), а также точки двух-, трёх- и вообще га-мерного пространства, основана Г. Кантором, установившим понятиепредельной точкимножества и примыкающие к нему понятиязамкнутого множестваи др. Дальнейшее развитие теории точечных множеств привело к понятиямметрического пространстваитопологического пространства,изучением к-рых занимается общаятопология.Наиболее самостоятельное существование ведёт дескриптивная теория множеств. Основанная франц. математиками Р. Бэром и А.Лебегомв связи с классификацией разрывных функций (1905), дескриптивная М. т. началась с изучения и классификации т. н. борелевских множеств (В-множеств). Борелев-ские множества определяются как множества, могущие быть построенными, отправляясь от замкнутых множеств, применением операций сложения и пересечения в любых комбинациях, но каждый раз к конечному или к счётному множеству множеств. А. Лебег показал, что те же множества - и только они - могут быть получены как множества точек, в к-рых входящая вБэра классийикаииюдействительная (Функ-

преимущественно рус. и польск. математиками, особенно московской школой, созданной Н. Н.Лузиным(П. С. Александров, М. Я. Суслин, М. А. Лаврентьев, А. Н. Колмогоров, П. С. Новиков). Александров доказал теорему (1916) о том, что всякое несчётное борелевское множество имеет мощность континуума. Аппарат этого доказательства был применён Суслиным для построения теорииА-множеств, охватывающих как частный случай борелевские (илиВ-)множества (считавшиеся до того единств, множествами,принципиально могущими встретиться в анализе). Суслия показал, что множество, дополнительное к Л-множествуМ,является само Л-мно-жеством только в том случае, когда множествоМ -борелевское (дополнение к борелевскому множеству есть всегда борелевское множество). При этом Л-множества оказались совпадающими с непрерывными образами множества всех иррациональных чисел. Теория Л-множеств в течение неск. лет оставалась в центре дескриптивной М. т. до того, как Лузин пришёл к общему определению проективных множеств, которые могут быть получены, отправляясь от множества всех иррациональных чисел при помощи повторного применения операции вычитания и непрерывного отображения. К теории Л-множеств и проективных множеств относятся также работы Новикова и др. Дескриптивная М. т. тесно связана с исследованиями по основаниям математики (с вопросами эффективной определимости математич. объектов и разрешимости математич. проблем).

Значение М. т.Влияние М. т. на развитие совр. математики очень велико. Прежде всего, М. т. явилась фундаментом ряда новых математич. дисциплин (теории функций действительного переменного, общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и др.).

Постепенно теоретико-множественные методы находят всё большее применение и в классич. частях математики. Напр., в области математич. анализа они широко применяются в качественной теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении, теории вероятностей и др.

Наконец, М. т. оказала глубокое влияние на понимание самого предметаматематики илитаких её больших отделов, какгеометрия.Только М. т. позволила отчётливо сформулировать понятиеизоморфизмасистем объектов, заданных вместе со связывающими их отношениями, и привела к пониманию того обстоятельства, что каждая математич. теория в её чистой абстрактной форме изучает ту или иную систему объектов лишь "с точностью до изоморфизма", т. е. может быть без всяких изменений перенесена на любую систему объектов, изоморфную той, для изучения к-рой теория была первоначально создана.

Что касается М. т. в вопросах обоснования математики, т. е. создания строгого, логически безупречного построения математич. теорий, то следует иметь в виду, что сама М. т. нуждается в обосновании применяемых в ней методов рассуждения. Более того, все логич. трудности, связанные с обоснованием математич. учения о бесконечности (см.Бесконечностьв математике), при переходе на точку зрения общей М. т. приобретают лишь большую остроту (см.Аксиоматическая теория множеств, Логика, Конструктивная математика, Континуум).

Лит.:Лузин Н. Н., Теория функций действительного переменного, 2 изд., М., 1948; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.-Л., 1948; Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.- Л., 1937.

П. С. Александров.

множеств теория—учение об общих свойствах множеств преимущественно бесконечных. Понятие множества или совокупности принадлежит к числу простейших математических понятий оно не определяет...Большая Советская энциклопедия II
множеств теория—раздел математики в кром изучаются общие свва множеств преим. бесконечных. Понятие множества простейшее матем. понятие оно не определяется а поясняется на примерах напри...Большой энциклопедический политехнический словарь
множеств теория—раздел математики в котором изучаются общие свойствамножеств преимущественно бесконечных. Понятие множества простейшеематематическое понятие оно не определяется а лишь п...Большой энциклопедический словарь II
множеств теория—МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ раздел математики в котором изучаются общие свойства множеств преимущественно бесконечных. Понятие множества простейшее математическое понятие оно не опр...Большой энциклопедический словарь III
множеств теория—МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ раздел математики в котором изучаются общие свойства множеств преимущественно бесконечных. понятие множества простейшее математическое понятие оно не оп...Большой Энциклопедический словарь V
множеств теория—раздел математики в кром изучаются общие свойства множеств преим. бесконечных. Понятие множества простейшее матем. понятие оно не определяется а лишь поясняется при помо...Естествознание. Энциклопедический словарь
множеств теория—наивная учение о свойствах множеств преимущественно бесконечных элиминирующее свойства элементов составляющих эти множества. . Понятие множества принадлежит к числу перв...Математическая энциклопедия
множеств теория—раздел математики изучающий множества отвлекаясь от конкретной природы элементов множества. Само понятие множества вводится аксиоматически и не может быть определено чере...Начала современного естествознания
множеств теория—мноства тэорыя...Русско-белорусский математический словарь
множеств теория—математическая теория изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. л. свойства множеств совокупностей классов ансамблей гл. обр. бесконечных. Множеств...Словарь логики
множеств теория—МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ математическая теория изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. л. свойства множеств совокупностей классов ансамблей гл. обр. беск...Словарь по логике
множеств теория—математик теория изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. т.свойства множеств совокупностей классов ансамблей гл. обр. бесконечных. Осн. содержание...Советский философский словарь
множеств теория—МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ раздел математики в котором изучаются общие свойства множеств преимущественно бесконечных. Понятие множества простейшее математическое понятие оно не опр...Современный энциклопедический словарь
множеств теория—МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ математик теория изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. т. свойства множеств совокупностей классов ансамблейem гл. обр.em бесконе...Философская энциклопедия
множеств теория—математич. теория предметом изучения крой являются множества. М. т. сыграла выдающуюся роль в изучении идеи бесконечности весьма важной для математики логики и гносеологи...Философская Энциклопедия (в 5 томах)
множеств теория—разработанный нем. математиком Георгом Кантором аналитический метод для преодоления парадоксальности бесконечных множеств и дефиниции понятия множества лишенного внутрен...Философский энциклопедический словарь II
множеств теория—разработанный нем. математиком Георгом Кантором аналитический метод для преодоления парадоксальности бесконечных множеств и дефиниции понятия множества лишенного внутрен...Философский энциклопедический словарь
множеств теория—МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ раздел математики в котором изучаются общие свойства множеств преимущественно бесконечных. Понятие множества простейшее математическое понятие оно не оп...Энциклопедический словарь естествознания
множеств теория—МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯПод множеством понимается совокупность какихлибо объектов называемых элементами множества. Теория множеств занимается изучением свойств как произвольных мн...Энциклопедия Кольера II
множеств теория—Под множеством понимается совокупность какихлибо объектов называемых элементами множества. Теория множеств занимается изучением свойств как произвольных множеств так и мн...Энциклопедия Кольера
множеств теория—МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ учение о множествах зародившееся в середине в. и изучающее свойства множеств произвольной природы. Создание М. т. было подготовлено работами математиков...Энциклопедия эпистемологии и философии науки