учение об общих свойствах множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества, или совокупности, принадлежит к числу простейших математических понятий; оно не определяется, но может быть пояснено при помощи примеров. Так, можно говорить о множестве всех книг, составляющих данную библиотеку, множестве всех точек данной линии, множестве всех решений данного уравнения. Книги данной библиотеки, точки данной линии, решения данного уравнения являются элементами соответствующего множества. Чтобы определить множество, достаточно указать характеристическое свойство элементов, т. е. такое свойство, которым обладают все элементы этого множества и только они. Может случиться, что данным свойством не обладает вообще ни один предмет; тогда говорят, что это свойство определяет пустое множество. То, что данный предметхесть элемент множестваМ, записывают так:х∈М(читают:хпринадлежит множествуМ).
Подмножества.Если каждый элемент множестваАявляется в то же время элементом множестваВ, то множествоАназывается подмножеством, или частью, множестваВ. Это записывают так:A⊆ВилиВ⊇А. Т. о., подмножеством данного множестваВявляется и само множествоВ. Пустое множество, по определению, считают подмножеством всякого множества. Всякое непустое подмножествоАданного множестваВ, отличное от всего множестваВ, называют правильной частью последнего.
Мощность множеств.Первым вопросом, возникшим в применении к бесконечным множествам, был вопрос о возможности их количественного сравнения между собой. Ответ на этот и близкие вопросы дал в конце 70-х гг. 19 в. Г. Кантор,основавший М. т. как математическую науку. Возможность сравнительной количественной оценки множеств опирается на понятие взаимно однозначного соответствия между двумя множествами.Пусть каждому элементу множестваАпоставлен в соответствие в силу какого бы то ни было правила или закона некоторый определённый элемент множестваВ; если при этом каждый элемент множества оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множестваА, то говорят, что между множествамиАиВустановлено взаимно однозначное, или одно-однозначное, соответствие [сокращённо: (1—1)-соответствие]. Очевидно, между двумя конечными множествами можно установить (1—1)-соответствие тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. В обобщение этого факта определяют количественную эквивалентность, или равномощность, двух бесконечных множеств как возможность установить между ними (1—1)-соответствие.
Ещё до создания М. т. Б. Больцановладел, с одной стороны, вполне точно формулированным понятием (1—1)-соответствия, а с другой стороны, считал несомненным существование бесконечностей различных ступеней; однако он не только не сделал (1—1)-соответствие основой установления количественной равносильности множеств, но решительно возражал против этого. Больцано останавливало то, что бесконечное множество может находиться в (1—1)-соответствии со своей правильной частью. Например, если каждому натуральному числуnпоставить в соответствие натуральное число 2n, то получим (1—1)-соответствие между множеством всех натуральных и множеством всех чётных чисел. Вместо того чтобы в применении к бесконечным множествам отказаться от аксиомы: часть меньше целого, Больцано отказался от взаимной однозначности как критерия равномощности и, т. о., остался вне основной линии развития М. т. В каждом бесконечном множествеМимеется (как легко доказывается) правильная часть, равномощная всемуМ, тогда как ни в одном конечном множестве такой правильной части найти нельзя. Поэтому наличие правильной части, равномощной целому, можно принять за определение бесконечного множества (Р. Дедекинд).
Для двух бесконечных множествАиВвозможны лишь следующие три случая: либоАесть правильная часть, равномощнаяВ, но вВнет правильной части, равномощнойА; либо, наоборот, вВесть правильная часть, равномощнаяА, а вАнет правильной части, равномощнойВ; либо, наконец, вАесть правильная часть, равномощнаяВ, и вВесть правильная часть, равномощнаяА. Доказывается, что в третьем случае множестваАиBравномощны (теорема Кантора — Бернштейна). В первом случае говорят, что мощность множестваАбольше мощности множестваВ, во втором — что мощность множестваВбольше мощности множестваА. A priori возможный четвёртый случай — вАнет правильной части, равномощнойВ, а вВнет правильной части, равномощнойА, — в действительности не может осуществиться (для бесконечных множеств).
Ценность понятия мощности множества определяется существованием неравномощных бесконечных множеств. Например, множество всех подмножеств данного множестваМимеет мощность большую, чем множествоМ. Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называется счётным множеством. Мощность счётных множеств есть наименьшая мощность, которую может иметь бесконечное множество; всякое бесконечное множество содержит счётную правильную часть. Кантор доказал, что множество всех рациональных и даже всех алгебраических чисел счётно, тогда как множество всех действительных чисел несчётно. Тем самым было дано новое доказательство существования т. н. трансцендентных чисел, т. е. действительных чисел, не являющихся корнями никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами (и даже несчётность множества таких чисел). Мощность множества всех действительных чисел называется мощностью континуума. Множеству всех действительных чисел равномощны: множество всех подмножеств счётного множества, множество всех комплексных чисел и, следовательно, множество всех точек плоскости, а также множество всех точек трёх- и вообщеn-мерного пространства при любомn. Кантор высказал гипотезу (т. н. континуум-гипотезу): всякое множество, состоящее из действительных чисел, либо конечно, либо счётно, либо равномощно множеству всех действительных чисел; по поводу этой гипотезы и существенных связанных с нею результатов см. Континуума проблема.
Отображения множеств.В М. т. аналитическое понятие функции, геометрическое понятие отображения или преобразования фигуры и т. п. объединяются в общее понятие отображения одного множества в другое. Пусть даны два множестваХиY, пусть каждому элементух∈Хпоставлен в соответствие некоторый определённый элементу=f(x) множестваY; тогда говорят, что имеется отображение множестваХв множествоY, или что имеется функция, аргументхкоторой пробегает множествоX, а значенияупринадлежат множествуY; при этом для каждого данногох∈Хэлементу=f(x) множестваYназывается образом элементах∈Хпри данном отображении или значением данной функции для данного значения её аргументах.
Примеры. 1) Пусть задан в плоскости с данной на ней прямоугольной системой координат квадрат с вершинами (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1) и осуществлена проекция этого квадрата, например на ось абсцисс; эта проекция есть отображение множестваХвсех точек квадрата на множествоYвсех точек его основания; точке с координатами (х; у) соответствует точка (х; 0).
2) ПустьХ— множество всех действительных чисел; если для каждого действительного числаx∈Xположитьу=f(x) =x3, то тем самым будет установлено отображение множестваХв себя.
3) ПустьХ— множество всех действительных чисел; если для каждогох∈Хположитьу=f(x) = arctgх, то этим будет установлено отображение множестваХна интервал ( — π/2, π/2).
(1—1)-соответствие между двумя множествамиХиYесть такое отображение множестваХв множествоY, при котором каждый элемент множестваYявляется образом одного и только одного элемента множестваX. Отображения примеров 2) и 3) взаимно однозначны, примера 1) — нет.
Операции над множествами.Суммой, или объединением, двух, трёх, вообще произвольного конечного или бесконечного множества множеств называется множество всех тех предметов, каждый из которых есть элемент хотя бы одного из данных множеств-слагаемых. Пересечением двух, трёх, вообще любого конечного или бесконечного множества множеств называется множество всех элементов, общих всем данным множествам. Пересечение даже двух непустых множеств может быть пустым. Разностью между множествомВи множествомАназывается множество всех элементов изВ, не являющихся элементами изА: разность между множествомВи его частьюАназывается дополнением множестваАв множествеВ.
Операции сложения и пересечения множеств удовлетворяют условиям сочетательности и переместительности (см. Ассоциативность, Коммутативность). Операция пересечения, кроме того, распределительна по отношению к сложению и вычитанию. Эти действия обладают тем общим свойством, что если их производить над множествами, являющимися подмножествами одного и того же множестваМ, то и результат будет подмножеством множестваМ. Указанным свойством не обладает т. н. внешнее умножение множеств: внешним произведением множествХиYназывается множествоХ×Увсевозможных пар (х, у), гдех∈Х,y∈Y. Другим в этом смысле «внешним» действием является «возведение в степень»: степеньюYXназывается множество всех отображений множестваХв множествоY. Можно определить внешнее умножение любого множества множеств так, что в случае совпадения множителей оно перейдёт в возведение в степень. Если ξ и η мощности множествХиY, то ξη и ηξопределяются соответственно как мощности множествХ×YиYХ, что в случае конечных множеств согласуется с умножением и возведением в степень натуральных чисел. Аналогично определяется сумма мощностей как мощность суммы попарно непересекающихся множеств с заданными мощностями.
Упорядоченные множества.Установить в данном множествеХпорядок — значит установить для некоторых парx', х"элементов этого множества какое-то правило предшествования (следования), выражаемое словами «элементx'предшествует элементух", x'<х"», или, что то же, «элементx'следует за элементомх", x'<х"», причём предполагается выполненным условие транзитивности: еслих<x'иx'<х",тох<х".Множество, рассматриваемое вместе с каким-нибудь установленным в нём порядком, называется «частично упорядоченным множеством»; иногда вместо «частично упорядоченное множество» говорят «упорядоченное множество» (Н. Бурбаки). Однако чаще упорядоченным множеством называется такое частично упорядоченное множество, в котором порядок удовлетворяет следующим дополнительным требованиям («линейного порядка»): 1) никакой элемент не предшествует самому себе; 2) из всяких двух различных элементовх, x'один предшествует другому, т. е. илих<x', илиx’<х.
Примеры. 1) Всякое множество х, является «частично упорядоченным "по включению "»:х<x', еслих⊂x'.
2) Любое множество функцийf, определённых на числовой прямой, частично упорядочено, если положитьf1<f2, тогда и только тогда, когда для каждого действительного числа х имеемf1(x) ≤f2(x).
3) Всякое множество действительных чисел линейно упорядочено: меньшее из двух чисел считается предшествующим большему.
Два упорядоченных множества называются подобными между собой, или имеющими один и тот же порядковый тип, если между ними можно установить (1—1)-соответствие, сохраняющее порядок. Элемент упорядоченного множества называется первым, если он предшествует в этом упорядоченном множестве всем остальным элементам; аналогично определяется и последний элемент. Примеры: в упорядоченном множестве всех действительных чисел нет ни первого, ни последнего элемента; в упорядоченном множестве всех неотрицательных чисел нуль есть первый элемент, а последнего элемента нет; в упорядоченном множестве всех действительных чиселx, удовлетворяющих неравенствама≤х≤b, числоаесть первый элемент,b— последний.
Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если оно само и всякое его правильное подмножество имеют первый элемент. Порядковые типы вполне упорядоченных множеств называются порядковыми, или ординальными, числами. Если вполне упорядоченное множество конечно, то его порядковое число есть обычное порядковое число элементарной арифметики. Порядковые типы бесконечных вполне упорядоченных множеств называются трансфинитными числами (См. Трансфинитные числа).
Точечные множества.Теория точечных множеств, т. е. в первоначальном понимании слова — теория множеств, элементами которых являются действительные числа (точки числовой прямой), а также точки двух-, трёх- и вообщеn-мерного пространства, основана Г. Кантором, установившим понятие предельной точки (См. Предельная точка) множества и примыкающие к нему понятия замкнутого множества (См. Замкнутые множества) и др. Дальнейшее развитие теории точечных множеств привело к понятиям метрического пространства (См. Метрическое пространство) и топологического пространства (См. Топологическое пространство), изучением которых занимается общая Топология. Наиболее самостоятельное существование ведёт дескриптивная теория множеств. Основанная французскими математиками Р. Бэром и А. Лебегом в связи с классификацией разрывных функций (1905), дескриптивная М. т. началась с изучения и классификации т. н. борелевских множеств (B-множеств). Борелевские множества определяются как множества, могущие быть построенными, отправляясь от замкнутых множеств, применением операций сложения и пересечения в любых комбинациях, но каждый раз к конечному или к счётному множеству множеств. А. Лебег показал, что те же множества — и только они — могут быть получены как множества точек, в которых входящая в Бэра классификацию (См. Бэра классификация) действительная функцияf(x) обращается в нуль или, более общо, удовлетворяет условию видаа<f(x) ≤b. Дальнейшее развитие дескриптивной М. т. было осуществлено преимущественно русскими и польскими математиками, особенно московской школой, созданной Н. Н. Лузиным (П. С. Александров, М. Я. Суслин, М. А. Лаврентьев, А. Н. Колмогоров, П. С. Новиков). Александров доказал теорему (1916) о том, что всякое несчётное борелевское множество имеет мощность континуума. Аппарат этого доказательства был применен Суслиным для построения теорииА-множеств, охватывающих как частный случай борелевские (илиВ-) множества (считавшиеся до того единственными множествами, принципиально могущими встретиться в анализе). Суслин показал, что множество, дополнительное кА-множествуМ, является самоА-множеством только в том случае, когда множествоМ— борелевское (дополнение к борелевскому множеству есть всегда борелевское множество). При этомА-множества оказались совпадающими с непрерывными образами множества всех иррациональных чисел. ТеорияА-множеств в течение нескольких лет оставалась в центре дескриптивной М. т. до того, как Лузин пришёл к общему определению проективных множеств, которые могут быть получены, отправляясь от множества всех иррациональных чисел при помощи повторного применения операции вычитания и непрерывного отображения. К теорииА-множеств и проективных множеств относятся также работы Новикова и др. Дескриптивная М. т. тесно связана с исследованиями по основаниям математики (с вопросами эффективной определимости математических объектов и разрешимости математических проблем).
Значение М. т.Влияние М. т. на развитие современной математики очень велико. Прежде всего, М. т. явилась фундаментом ряда новых математических дисциплин (теории функций действительного переменного, общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и др.).
Постепенно теоретико-множественные методы находят всё большее применение и в классических частях математики. Например, в области математического анализа они широко применяются в качественной теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении, теории вероятностей и др.
Наконец, М. т. оказала глубокое влияние на понимание самого предмета математики (См. Математика) или таких её больших отделов, как Геометрия. Только М. т. позволила отчётливо сформулировать понятие Изоморфизма систем объектов, заданных вместе со связывающими их отношениями, и привела к пониманию того обстоятельства, что каждая математическая теория в её чистой абстрактной форме изучает ту или иную систему объектов лишь «с точностью до изоморфизма», т. е. может быть без всяких изменений перенесена на любую систему объектов, изоморфную той, для изучения которой теория была первоначально создана.
Что касается М. т. в вопросах обоснования математики, т. е. создания строгого, логически безупречного построения математических теорий, то следует иметь в виду, что сама М. т. нуждается в обосновании применяемых в ней методов рассуждения. Более того, все логические трудности, связанные с обоснованием математического учения о бесконечности (см. Бесконечность в математике), при переходе на точку зрения общей М. т. приобретают лишь большую остроту (см. Аксиоматическая теория множеств, Логика, Конструктивная математика, Континуум).
Лит.:Лузин Н. Н., Теория функций действительного переменного, 2 изд., М., 1948; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л., 1948; Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М. — Л., 1937.
П. С. Александров.