Физическая энциклопедия

ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ

- раздел математики, в к-ром строят и изучают матем. модели случайных явлении.

Случайность присуща в той или иной степени подавляющему большинству протекающих в природе процессов. Обычно она присутствует там, где существ. влияние на ход процесса оказывает очень большое число незначительных по отдельности факторов (как, напр., при движении броуновской частицы или в классич. примере с бросанием монеты), особенно в том случае, когда система динамически неустойчива; статистич. характер имеют также законы квантовой механики. Внешне случайность проявляется как недостаточная регулярность в массовых явлениях, к-рая не позволяет с достоверностью предсказывать наступление определ. событий, т. е. не допускает описания этих явлений в рамках детерминиров. моделей. Тем не менее при изучении таких явлений выявляются определ. закономерности. Свойственная случайным событиям нерегулярность, как правило, компенсируется наличием т. н. статистич. закономерности, стабилизации частот наступлений случайных событий в длинном ряду испытаний; тогда говорят, что данные случайные события имеют определ. вероятность Пусть при каждом осуществлении нек-рого воспроизводимого комплекса условийСможет наступать или не наступать событиеА.Наличие у событияАпри условияхСопредел. вероятностирозначает, что в достаточно длинной серии испытаний (повторных осуществлений условий С; предполагается, что эти испытания в нек-ром смысле независимы) частота наступления событияА,т. А наступило, к общему их числу, приблизительно равнаp.T. о., для описания связи случайных событий с условиями их наступления вместо обычного для классич.естествознания утверждения "в условияхСнаступает событиеА"приходится ограничиваться утверждением "при условияхСсобытиеАимеет вероятность р". Именно для таких случайных событий, имеющих определ. вероятность, удалось построить содержат. матем. теорию, к-рая и носит название В. т. На практике особенно часто используют такие её результаты, к-рые позволяют утверждать, что вероятностьP(А)наступления определ. событияАблизка к 1, т. е. чтоАпрактически достоверно. Такие результаты относятся, как правило, к области предельных теорем В. т., к-рые и являются её осн. содержанием.

Статистич. закономерности были известны давно, понятия В. т. возникли в сер. 17 в. в работах Б. Паскаля (В. Pascal), П. Ферма (P. Fermat) и X. Гюйгенса (Ch. Huygens), Существ. вклад в развитие В. т. внесли Я. Бернулли (J. Bernoulli), П. Лаплас (P. Laplace), К. Гаусс (С. Gauss), C. Пуассон (S. Poisson), П. Л. Чебышев. В кон. 19 - нач. 20 вв. открыто большое кол-во статистич. закономерностей в физике, биологии и др. науках (радиоакт. распад, законы Менделя и т. д.). Следует отметить, что статистич. закономерности возникают и в неслучайных схемах (напр., в распределении цифр в таблицах ф-ций и т. п.); это обстоятельство используется при "моделировании" (имитации) случайных явлений, напр. вМонте-Карло методе.

Основные понятия теории вероятностей. Для вероятностей случайных событий справедливы след. простые соотношения. ПустьАиВ -события, относящиеся к условиямС.Обозначим черезАВобъединение событийАиВ(событие "наступаетАилиВ"),а через - достоверное событие, т. е. событие, наступающее при каждом осуществлении условийС.СобытияAuBназ. несовместными, если их одноврем. наступление невозможно. Из частотной интерпретации вероятности следует:


для несовместныхАиВ.Последнее свойство обобщается и на любое конечное число попарно несовместных событий; это свойство наз. теоремой сложения вероятностей.

Строгую В. т. можно построить, исходя лишь из этих соотношений. В наиб. простом её варианте (элементарной В. т.) предполагают, что испытание заканчивается одним из конечного набора исходов , к-рые наз. элементарными событиями. Каждому исходу приписывают вероятность О, причём . Рассматриваемые в элементарной В. т. события имеют вид "наступает , или , ..., или "; исходы наз. благоприятствующимиА .Событие наз. достоверным. ВероятностьP (А)событияАравна сумме вероятностей благоприятствующих ему исходов: . Именно так устроена любая числовая ф-ция, заданная на классе всех подмножеств и удовлетворяющая условиям (1-3) (при этом определяют как объединение наборов благоприятствующихАиВисходов, а несовместными наз. события, не имеющие общих благоприятствующих исходов).

В. т. развивалась вначале в рамках частного случая элементарной В. т., в к-ром и, следовательно, вероятность событияАравна отношению числа благоприятствующихАисходов к общему числуN"равновозможных" исходов (т. н. классическое определение вероятности; именно оно имеется в виду, когда говорят о случайном выборе одного из нек-рой совокупности предметов). Такое определение вероятности является, по существу, спец. формой записи симметрии случайного явления и поэтому часто встречается при использовании дискретных вероятностных моделей (напр., в статистич. физике, биологии и т. п.). Вычисление вероятностей при этом сводится к подсчёту числа благоприятствующих исходов, т. е. к комбинаторной задаче.

В рамках элементарной В. т. можно также наиб. просто определить осн. понятия В. т. Совмещением (или пересечением) событийАиВназ. событие = "наступает иАиВ" (т. е. набор благоприятствующих ему исходов равен пересечению множеств исходов, благоприятствующихАиВ).Все эти определения обобщаются и на любое конечное число событий. Наряду с символами , в В. т. широко используют и др. теоретико-множеств. обозначения (что естественно, поскольку события в ней отождествляются с множествами исходов). Так, -дополнительное (или противоположное) кАсобытие (образованное всеми неблагоприятствующимиАисходами); запись означает, что появление событияАвлечёт наступлениеВ.Приведём простейшие свойства вероятности [все они вытекают из 1)-3)]: 4) ; 5) если , то ; 6) [значит, для произвольныхАиВв 3) вместо равенства должен стоять знак].

Условная вероятность событияАпри условииВопределяется как , т. е. вероятность событияАна подмножестве тех событий, где выполненоВ.Такое определение хорошо согласуется с частотной интерпретацией вероятностей. На практике часто используют след. соотношения между вероятностями случайных событий. ПустьB1, ...,Bn- ,попарно несовместные события и их объединение есть достоверное событие W. Формула полной вероятности


для любого событияАпозволяет вычислить его вероятность по условным вероятностям , найти к-рые часто значительно легче, чемP(A),Формулу Бейеса широко используют в статистике, события при этом наз. гипотезами,P(B1)-их априорными вероятностями, а -апостериорной вероятностью (вероятность справедливости гипотезыBj,если известно, что наступило событиеА).

СобытияAиBназ. независимыми, если условная вероятность одного из них при условии наступления другого равна его безусловной вероятности, или, что то же, если . Аналогично событияA1, А2, ..., Anназ. независимыми, если для любых


(Отметим, что из попарной независимости событий отнюдь не вытекает их независимость в совокупности.) Последнее равенство наз. теоремой умножения вероятностей. Ф-ла (1) останется справедливой, если нек-рые изAiзаменить в обеих частях на дополнительные к ним события

Пример. Пусть событияА1,...,Anнезависимы и имеют каждое вероятностьр.Эти события можно интерпретировать как "успехи" в наблюдении нек-рого случайного события впнезависимых испытаниях. Тогда вероятность наступления ровноmуспехов равна


Действительно, можно взять , всеik=0 или 1}, гдеik=l соответствует наступлениюАk,аik=0 - его ненаступлению. Наступлениютуспехов благоприятствуют те исходы (i1, ...,in),у к-рых средиikровнотединиц; всего таких исходов , а вероятность каждого такого исхода в силу независимостиAk,свойства (4) и ф-лы (1) равна.

К этому примеру непосредственно примыкает одна из первых (и важнейших) предельных теорем В. т.- теорема Бернулли (простейшая формабольших чисел закона),согласно к-рой вероятность значит. уклонения частоты успеховvот вероятностирпри большихпстановится сколь угодно малой. Т.

Скорость стремления частоты nкpоценивают с помощью теоремы Лапласа (частный случайцентральной предельной теоремы). Сростомnвероятность стремится кФ(b)-Ф(а),где - ф-ция стандартного нормального распределения (Гаусса распределения).

Частота n является типичным примером др. объекта В. случайной величины. Так называется любая ф-цияX, ставящая в соответствие каждому исходу числоxi,при этом средиxiмогут быть и равные. Конкретный вид отображения часто несуществен, достаточно знать лишь распределение случайной величиныX,т. е. набор разл. возможных значений и приписываемых им вероятностей.Математическое ожиданиеслучайной величиныXопределяется как число

Пример. Пусть в предыдущем примере для исхода (i1, ...,ik, ..., ii), k=1,...,n, т. е. случайные величины принимают наN=2nисходах лишь два возможных значения: 0 и 1, с вероятностями 1-рирсоответственно, так что

Частота успехов , при этом равна (2), т.е.nnимеетбиномиальное распределение.

В этом примере рассматривался набор случайных величинX=(X1, ..., Xn),или случайный вектор. Основной характеристикой случайного вектора, как и случайной величины, является его распределение (совместное распределение случайных величинX1, ...,Xn),т. е. набор возможных его значений (x1, ...,хп)и их вероятностей, равных вероятностям совмещений событий . Если эти события для всех наборов (x1, ...,xn) оказываются независимыми, то случайные величиныX1, ..., Xnтакже наз. независимыми. О важнейших числовых характеристиках случайных величин см.Дисперсия, Моментыслучайной величины,Корреляции коэффициент.

Аксиоматика теории вероятностей.Элементарная В. т. недостаточна для описания случайных явлений уже в простых ситуациях. Модель с конечным числом исходов непригодна, напр., для понятия "случайно выбранной на отрезке точки". Такого рода трудности позволяет преодолеть схема, предложенная A. H. Колмогоровым в 1933 и ставшая с тех пор общепринятой.

Осн. эле. пространство элементарных событий , к-рое может быть множеством произвольной природы, нек-рый класс его подмножеств, т. е. множеств элементарных событий, к-рые наз. событиями, и числовая ф-цияPна, к-рая удовлетворяет условиям 1)-3) и наз. вероятностью. Для корректности матем. модели требуют, чтобы класс был s-алгеброй (т. е. чтобы сам было событием и, значит, принадлежало , чтобы наряду с любым событиемАклассу принадлежало бы и его дополнение и чтобы для любой бесконечной последовательности событийA1, A2,... их объединение также было событием), а ф-цияPбыла счётно-аддитивной, т. е. чтобы вместе со свойством 3) имело место следующее: если событияA1, A2, ...попарно несовместны, то [это означает, чтоPявляется мерой на измеримом пространстве ]. Тройка наз. вероятностным пространством. Очевидно, что элементарная В. т. является на самом деле частным случаем реализации этой схемы; её осн. определения остаются в силе и в общем случае. Одно из существ. отличий заключается в определении случайной величины : требуют, чтобы множества принадлежали классу при всехx. Для таких ф-цийXможно определить абстрактный интеграл Лебега, к-рый и наз. матем. ожиданием случайной величиныX.Задавать случайную величинуXудобнее всего с помощью её ф-ции распределения

Предельные теоремы.Осн. задача В. т.- находить по вероятностям одних случайных событий вероятности других, связанных к.-л. образом с первыми. Типичный пример-определение вероятности события , гдеXk-независимые случайные величины, имеющие одно и то же известное распределение. Однако при большихпнепосредств. вычисление вероятностиP(An)становится очень трудоёмким и практически невозможным. В таких случаях полезны предельные теоремы В. т., к-рые позволяют найти приближённые значения искомых вероятностей. Так, если в нашем примере матем. ожидание

, то в силу закона больших

чисел при любыха<р < bвероятностьP (An)с ростомпстремится к 1. Центральная предельная теорема уточняет этот результат: если дисперсия конечна, то случайная величина имеет приблизительно нормальное распределение со среднимри дисперсией , т. е. при , иавероятность событияAnстремится с ростомпк Ф (b) - Ф (а). Т. о., для сходимости распределения случайной величины к нормальному достаточно лишь наличия у слагаемыхXkконечной дисперсии, а в остальном вид распределенияXkне важен; этим объясняется широта распространения нормального распределения в практич. применениях В. т. Не менее естеств. образом при суммировании случайных величин с бесконечной дисперсией в качестве предельных распределений появляютсяустойчивые распределения,отличные от нормального (напр.,Коши распределение).На практике весьма полезны и т. н. теоремы о больших отклонениях, к-рые позволяют с высокой относит. точностью аппроксимировать малые вероятности. Осн. метод доказательства предельных теорем основан на использованиихарактеристических функций.Аналогичные предельные теоремы доказаны и для случайных векторов (в т. ч. бесконечномерных), известны также предельные теоремы для объектов более общей алгебраич. природы: случайных матриц, элементов группы и т. д. Кроме того, можно ослабить условие независимости

Случайные процессы.Одним из осн. разделов В. т. является теорияслучайных процессови полей, важность к-рой обусловлена огромным кол-вом её приложений. Случайным процессом наз. однопараметрич. семейство случайных величинX(t).B большинстве приложений параметрtявляется временем, и термин "случайный процесс" относится именно к этому случаю; когда одномерный параметрtне имеет смысла времени, часто говорят ослучайной функции,а в случае многомерногоt -о случайном поле. Если параметрtцелочисленный, то случайный процесс наз. случайной последовательностью или временным рядом. Случайный процесс, как и случайную величину, можно охарактеризовать его распределением; для этого достаточно задать его конечномерные распределения, т. е. совокупность совместных распределений случайных величин для всевозможных ип.Для случайных процессов, как и для случайных величин, доказано большое кол-во предельных теорем (иногда их наз. функциональными предельными теоремами).

Наиб. развита теория двух спец. классов случайных процессов, к-рые в то же время чаще всего встречаются в применениях:марковских случайных процессовистационарных случайных процессов.Случайный процесс наз. марковским (или процессом без последействия), если для любых условное распределениеX (t2)при условии, что известно поведениеX (t)при, зависит только от значенияX(t1) (т. е. "будущее" при фиксиров. "настоящем" от "прошлого" не зависит). Такие процессы являются естеств. обобщением детерминиров. процессов, рассматриваемых, напр., в классич. механике, для к-рых состояния системы в моменты времени однозначно определяются её состоянием в моментt1; мн. задачи для марковских процессов сводятся к дифференц. ур-ниям для ф-ций, определяющих распределения вероятностей процессов.

Стационарность случайного процесса означает неизменность во времени его вероятностных закономерностей. В В. т. рассматривают два вида стационарности: стационарность в узком смысле, когда конечномерные распределения инвариантны относительно сдвига времени, и стационарность в широком смысле, когда от времениtне зависят лишь матем. ожидания и . На практике чаще используют предположение о стационарности в широком смысле.

Важнейшей областью применения результатов В. т. и источником новых задач для неё является математическая статистика - раздел математики, посвящённый матем. методам обработки и использования статистич. данных. Типичными для матем. статистики являются задачи, в известном смысле обратные задачам В. т.: если в последней, напр., требуется, зная "природу" случайного явления (распределение соотв. вероятностей), указать, как будут себя вести наблюдаемые в эксперименте характеристики этого явления, то в матем. статистике, наоборот, требуется по эксперим. данным сделать выводы о природе случайного явления. Осн. задачами матем. статистики являютсястатистическое оцениваниеи проверкастатистических гипотез.

Лит.:Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., M., 1969; Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., т. 1-2, [3 изд.], M., 1984; Смирнов H. В., Дунин Барковский И. В., Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений, 3 изд., M., 1969; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., M., 1973; Боровков А. А., Теория вероятностей, M., 1976.

К. А. Боровков.


Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.


  1. вероятностей теория—математическая наука позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий связанных какимлибо образом с первыми. Утверждение ...Большая Советская энциклопедия II
  2. вероятностей теория—раздел математики в кром по данным вероятностям одних случайных событий находят вероятности др. событий связанных к.л. образом с первыми. В. т. изучает также случайные ве...Большой энциклопедический политехнический словарь
  3. вероятностей теория—раздел математики в котором по данным вероятностямодних случайных событий находят вероятности других событий связанныхкакимлибо образом с первыми. Теория вероятностей изу...Большой энциклопедический словарь II
  4. вероятностей теория—ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ раздел математики в котором по данным вероятностям одних случайных событий находят вероятности других событий связанных какимлибо образом с первыми. Т...Большой энциклопедический словарь III
  5. вероятностей теория—ВЕРОЯТНОСТЕЙ Теория раздел математики в котором по данным вероятностям одних случайных событий находят вероятности других событий связанных какимлибо образом с первыми. ...Большой Энциклопедический словарь V
  6. вероятностей теория—раздел математики изучающий закономерности в случайных явлениях. Осн. понятием В.т. является вероятность случайного события края выражается действительным числом заключнн...Военный энциклопедический словарь
  7. вероятностей теория—раздел математики в кром по данным вероятностямi одних случайных событий находят вероятности др. событий связанных к.л. образом с первыми. В. т. изучает также случайные в...Естествознание. Энциклопедический словарь
  8. вероятностей теория—раздел математики в котором по данным вероятностям одних случайных событий находят вероятности других событий связанных некоторым образом с первыми. Теория вероятностей и...Концепции современного естествознания. Словарь основных терминов
  9. вероятностей теория—раздел математики в котором по данным вероятностям одних случайных событий находят вероятности других событий связанных некоторым образом с первыми. Теория вероятностей и...Концепции современного естествознания. Словарь основных терминов
  10. вероятностей теория—раздел математики в кром поданным вероятностей одних случайных событий находят вероятности в др. событий связанных какимлибо образом с первыми. В.т. изучает также случайн...Криминалистическая энциклопедия
  11. вероятностей теория—математическая наука позволяющая по вероятностямi одних случайных событий находить вероятности других случайных событий связанных к.л. образом с первыми. Утверждение о т...Математическая энциклопедия
  12. вероятностей теория—математическая наука позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий связанных сложными нелинейными зависимостями с перв...Прикладные аспекты современной психологии
  13. вероятностей теория—мавернасця тэорыя...Русско-белорусский математический словарь
  14. вероятностей теория—ытималдытар теориясы...Русско-казахский терминологический словарь «Философия и политология»
  15. вероятностей теория—ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ раздел математики в котором по данным вероятностям одних случайных событий находят вероятности других событий связанных какимлибо образом с первыми. Т...Современный энциклопедический словарь
  16. вероятностей теория—математическая дисциплина изучающая математический аспект феномена случайного в соответствии с чем центральным понятием этой теории является понятие В. количественной мер...Социологическая энциклопедия
  17. вероятностей теория—наука о массовых случайных событиях м. с. с. т. е. случайных событиях эквивалентных друг другу в отношении какихто определенных свойств или способных многократно повторят...Философский энциклопедический словарь
  18. вероятностей теория—ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ раздел математики в котором по данным вероятностям одних случайных событий находят вероятности других событий связанных какимлибо образом с первыми. ...Энциклопедический словарь естествознания
  19. вероятностей теория—ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯзанимается изучением событий наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о разумности ожидания наступления одних событий по сравнен...Энциклопедия Кольера II
  20. вероятностей теория—математическая концепция позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий связанных сложными нелинейными зависимостями с ...Этнопсихологический словарь