математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми.
Утверждение о том, что какое-либо событие наступает с Вероятностью,равной, например,, ещё не представляет само по себе окончательной ценности, так как мы стремимся к достоверному знанию. Окончательную познавательную ценность имеют те результаты В. т., которые позволяют утверждать, что вероятность наступления какого-либо событияАвесьма близка к единице или (что то же самое) вероятность не наступления событияАвесьма мала. В соответствии с принципом «пренебрежения достаточно малыми вероятностями» такое событие справедливо считают практически достоверным. Ниже (в разделе Предельные теоремы) показано, что имеющие научный и практический интерес выводы такого рода обычно основаны на допущении, что наступление или не наступление событияАзависит от большого числа случайных, мало связанных друг с другом факторов (см. по этому поводу Больших чисел закон). Поэтому можно также сказать, что В. т. есть математическая наука, выясняющая закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов.
Предмет теории вероятностей.Для описания закономерной связи между некоторыми условиямиSи событиемА,наступление или не наступление которого при данных условиях может быть точно установлено, естествознание использует обычно одну из следующих двух схем:
а) при каждом осуществлении условийSнаступает событиеА.Такой вид, например, имеют все законы классической механики, которые утверждают, что при заданных начальных условиях и силах, действующих на тело или систему тел, движение будет происходить однозначно определённым образом.
б) При условияхSсобытиеАимеет определённую вероятностьP(A / S),равнуюр.Так, например, законы радиоактивного излучения утверждают, что для каждого радиоактивного вещества существует определённая вероятность того, что из данного количества вещества за данный промежуток времени распадётся какое-либо числоNатомов.
Назовем частотой событияАв данной серии изnиспытаний (то есть изnповторных осуществлений условийS) отношениеh = m/nчислаmтех испытаний, в которыхАнаступило, к общему их числуn.Наличие у событияАпри условияхSопределённой вероятности, равнойр,проявляется в том, что почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частота событияАприблизительно равнар.
Статистические закономерности, то есть закономерности, описываемые схемой типа (б), были впервые обнаружены на примере азартных игр, подобных игре в кости.Очень давно известны также статистические закономерности рождения, смерти (например, вероятность новорождённому быть мальчиком равна 0,515). Конец 19 в. и 1-я половина 20 в. отмечены открытием большого числа статистических закономерностей в физике, химии, биологии и т.п.
Возможность применения методов В. т. к изучению статистических закономерностей, относящихся к весьма далёким друг от друга областям науки, основана на том, что вероятности событий всегда удовлетворяют некоторым простым соотношениям, о которых будет сказано ниже (см. раздел Основные понятия теории вероятностей). Изучение свойств вероятностей событий на основе этих простых соотношений и составляет предмет В. т.
Основные понятия теории вероятностей.Наиболее просто определяются основные понятия В. т. как математической дисциплины в рамках так называемой элементарной В. т. Каждое испытаниеТ,рассматриваемое в элементарной В. т., таково, что оно заканчивается одним и только одним из событийE1, E2,..., ES(тем или иным, в зависимости от случая). Эти события называются исходами испытания. С каждым исходомEkсвязывается положительное числорк—вероятность этого исхода. Числаpkдолжны при этом в сумме давать единицу. Рассматриваются затем событияА,заключающиеся в том, что «наступает илиEi,илиEj,...,илиEk». ИсходыEi, Ej,..., Ekназываются благоприятствующимиА,и по определению полагают вероятностьР(А) событияА, равной сумме вероятностей благоприятствующих ему исходов:
P(A) =pi+ps+…+pk.(1)
Частный случайp1=p2=...ps=1/Sприводит к формуле
Р(А) =r/s.(2)
Формула (2) выражает так называемое классическое определение вероятности, в соответствии с которым вероятность какого-либо событияАравна отношению числаrисходов, благоприятствующихА,к числуsвсех «равновозможных» исходов. Классическое определение вероятности лишь сводит понятие «вероятности» к понятию «равновозможности», которое остаётся без ясного определения.
Пример. При бросании двух игральных костей каждый из 36 возможных исходов может быть обозначен (i,j), гдеi— число очков, выпадающее на первой кости,j —на второй. Исходы предполагаются равновероятными. СобытиюА —«сумма очков равна 4», благоприятствуют три исхода (1; 3), (2; 2), (3; 1). Следовательно,Р(A) = 3/36=1/12.
Исходя из каких-либо данных событий, можно определить два новых события: их объединение (сумму) и совмещение (произведение). СобытиеВназывается объединением событийA1, A2,..., Ar,-,если оно имеет вид: «наступает илиA1,илиА2,...,илиAr».
Событие С называется совмещением событийA1, А.2,..., Ar,если оно имеет вид: «наступает иA1, и A2,...,иAr».Объединение событий обозначают знаком ∪, а совмещение — знаком ∩. Таким образом, пишут:
B= A1∪A2∪ … ∪Ar,C=A1∩A2∩ … ∩Ar.
СобытияАиВназывают несовместными, если их одновременное осуществление невозможно, то есть если не существует среди исходов испытания ни одного благоприятствующего иА,иВ.
С введёнными операциями объединения и совмещения событий связаны две основные теоремы В. т. — теоремы сложения и умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей. Если событияA1,A2,...,Arтаковы, что каждые два из них несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей.
Так, в приведённом выше примере с бросанием двух костей событиеВ —«сумма очков не превосходит 4», есть объединение трёх несовместных событийA2,A3,A4, заключающихся в том, что сумма очков равна соответственно 2, 3, 4. Вероятности этих событий 1/36; 2/36; 3/36. По теореме сложения вероятностьР(В)равна
1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.
Условную вероятность событияВпри условииАопределяют формулой
что, как можно показать, находится в полном соответствии со свойствами частот. СобытияA1,A2,...,Arназываются независимыми, если условная вероятность каждого из них при условии, что какие-либо из остальных наступили, равна его «безусловной» вероятности (см. также Независимость в теории вероятностей).
Теорема умножения вероятностей. Вероятность совмещения событийA1,A2,...,Arравна вероятности событияA1,умноженной на вероятность событияA2, взятую при условии, чтоА1наступило,..., умноженной на вероятность событияArпри условии, чтоA1,A2,...,Ar-1наступили. Для независимых событий теорема умножения приводит к формуле:
P(A1∩A2∩ … ∩Ar) =P(A1)· P(A2)· … · P(Ar), (3)
то есть вероятность совмещения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Формула (3) остаётся справедливой, если в обеих её частях некоторые из событий заменить на противоположные им.
Пример. Производится 4 выстрела по цели с вероятностью попадания 0,2 при отдельном выстреле. Попадания в цель при различных выстрелах предполагаются независимыми событиями. Какова вероятность попадания в цель ровно три раза?
Каждый исход испытания может быть обозначен последовательностью из четырёх букв [напр., (у, н, н, у) означает, что при первом и четвёртом выстрелах были попадания (успех), а при втором и третьем попаданий не было (неудача)]. Всего будет 2·2·2·2 = 16 исходов. В соответствии с предположением о независимости результатов отдельных выстрелов следует для определения вероятностей этих исходов использовать формулу (3) и примечание к ней. Так, вероятность исхода (у, н. н, н) следует положить равной 0,2·0,8·0,8·0,8 = 0,1024; здесь 0,8 = 1—0,2 — вероятность промаха при отдельном выстреле. Событию «в цель попадают три раза» благоприятствуют исходы (у, у, у, н), (у, у, н, у), (у, н, у, у). (н, у, у, у), вероятность каждого одна и та же:
0,2·0,2·0,2·0,8 =...... =0,8·0,2·0,2·0,2 = 0,0064;
следовательно, искомая вероятность равна
4·0,0064 = 0,0256.
Обобщая рассуждения разобранного примера, можно вывести одну из основных формул В. т.: если событияA1, A2,..., Anнезависимы и имеют каждое вероятностьр,то вероятность наступления ровноmиз них равна
Pn(m)= Cnmpm(1 - p)n-m;(4)
здесьCnmобозначает число сочетаний изnэлементов поm(см. Биномиальное распределение). При большихnвычисления по формуле (4) становятся затруднительными. Пусть в предыдущем примере число выстрелов равно 100, и ставится вопрос об отыскании вероятностихтого, что число попаданий лежит в пределах от 8 до 32. Применение формулы (4) и теоремы сложения даёт точное, но практически мало пригодное выражение искомой вероятности
Приближённое значение вероятностихможно найти по теореме Лапласа (см. Лапласа теорема)
причём ошибка не превосходит 0,0009. Найденный результат показывает, что событие 8 ≤m≤ 32 практически достоверно. Это самый простой, но типичный пример использования предельных теорем (См. Предельные теоремы) В. т.
К числу основных формул элементарной В. т. относится также так называемая формула полной вероятности: если событияA1, A2,..., Arпопарно несовместны и их объединение есть достоверное событие, то для любого событияВего вероятность равна сумме
Теорема умножения вероятностей оказывается особенно полезной при рассмотрении составных испытаний. Говорят, что испытаниеТсоставлено из испытанийT1, T2,..., Tn-1, Tn, есликаждый исход испытанияТесть совмещение некоторых исходовAi, Bj,..., Xk, Ylсоответствующих испытанийT1, T2,..., Tn-1, Tn. Из тех или иных соображений часто бывают известны вероятности
P(Ai), P(Bj/Ai),…,P(Yl/Ai∩Bj∩ … ∩Xk). (5)
По вероятностям (5) с помощью теоремы умножения могут быть определены вероятностиР(Е) для всех исходовЕсоставного испытания, а вместе с тем и вероятности всех событий, связанных с этим испытанием (подобно тому, как это было сделано в разобранном выше примере). Наиболее значительными с практической точки зрения представляются два типа составных испытаний: а) составляющие испытания не зависимы, то есть вероятности (5) равны безусловным вероятностямP(Ai), P(Bj),..., P(Yl);б) на вероятности исходов какого-либо испытания влияют результаты лишь непосредственно предшествующего испытания, то есть вероятности (5) равны соответственно:P(Ai), P(Bj/Ai),..., P(Yi/ Xk). В этом случае говорят об испытаниях, связанных в цепь Маркова. Вероятности всех событий, связанных с составным испытанием, вполне определяются здесь начальными вероятностямиР(Аi) и переходными вероятностямиP(Bj/ Ai),..., P(Yl/ Xk) (см. также Марковский процесс).
Случайные величины. Если каждому исходуErиспытанияТпоставлено в соответствие числох,,то говорят, что задана случайная величинаX. Среди чиселx1,х2,......,xsмогут быть и равные; совокупность различных значенийхгприr =1, 2,...,sназывают совокупностью возможных значений случайной величины. Набор возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей называется распределением вероятностей случайной величины (см. Распределения). Так, в примере с бросанием двух костей с каждым исходом испытания (i, j) связывается случайная величинаХ = i + j— сумма очков на обеих костях. Возможные значения суть 2, 3, 4,..., 11, 12; соответствующие вероятности равны 1/36, 2/36, 3/36,..., 2/36, 1/36.
При одновременном изучении нескольких случайных величин вводится понятие их совместного распределения, которое задаётся указанием возможных значений каждой из них и вероятностей совмещения событий
{X1= x1}, {X2= x2}, …, {Xn= xn}, (6)
гдеxk—какое-либо из возможных значений величиныXk.Случайные величины называются независимыми, если при любом выбореxkсобытия (6) независимы. С помощью совместного распределения случайных величин можно вычислить вероятность любого события, определяемого этими величинами, например событияa< X1+ Х2+... + Xn< bи т.п.
Часто вместо полного задания распределения вероятностей случайной величины предпочитают пользоваться небольшим количеством числовых характеристик. Из них наиболее употребительны Математическое ожидание и Дисперсия.
В число основных характеристик совместного распределения нескольких случайных величин, наряду с математическими ожиданиями и дисперсиями этих величин, включаются коэффициенты корреляции (См. Корреляция) и т.п. Смысл перечисленных характеристик в значительной степени разъясняется предельными теоремами (см. раздел Предельные теоремы).
Схема испытаний с конечным числом исходов недостаточна уже для самых простых применений В. т. Так, при изучении случайного разброса точек попаданий снарядов вокруг центра цели, при изучении случайных ошибок, возникающих при измерении какой-либо величины, и т.д. уже невозможно ограничиться испытаниями с конечным числом исходов. При этом в одних случаях результат испытания может быть выражен числом или системой чисел, в других — результатом испытания может быть функция (например, запись изменения давления в данной точке атмосферы за данный промежуток времени), системы функций и т.п. Следует отметить, что многие данные выше определения и теоремы с незначительными по существу изменениями приложимы и в этих более общих обстоятельствах, хотя способы задания распределений вероятностей изменяются (см. Распределения, Плотность вероятности).
Наиболее серьёзное изменение претерпевает определение вероятности, которое в элементарном случае давалось формулой (2). В более общих схемах, о которых идёт речь, события являются объединениями бесконечного числа исходов (или, как говорят, элементарных событий), вероятность каждого из которых может быть равна нулю. В соответствии с этим свойство, выраженное теоремой сложения, не выводится из определения вероятности, а включается в него.
Наиболее распространённая в настоящее время логическая схема построения основ В. т. разработана в 1933 советским математиком А. Н. Колмогоровым. Основные черты этой схемы следующие. При изучении какой-либо реальной задачи — методами В. т. прежде всего выделяется множествоUэлементовu,называемых элементарными событиями. Всякое событие вполне описывается множеством благоприятствующих ему элементарных событий и потому рассматривается как некое множество элементарных событий. С некоторыми из событийАсвязываются определённые числаР(A), называемые их вероятностями и удовлетворяющие условиям
1. 0 ≤Р(А) ≤ 1,
2.P(U) = 1,
3. Если событияA1,...,Anпопарно несовместны иА— их сумма, то
Р(А)= Р(A1)+ P(A2)+ … + Р(An).
Для создания полноценной математической теории требуют, чтобы условие 3 выполнялось и для бесконечных последовательностей попарно несовместных событий. Свойства неотрицательности и аддитивности есть основные свойства меры множества. В. т. может, таким образом, с формальной точки зрения рассматриваться как часть меры теории (См. Меры теория). Основные понятия В. т. получают при таком подходе новое освещение. Случайные величины превращаются в измеримые функции, их математические ожидания — в абстрактные интегралы Лебега и т.п. Однако основные проблемы В. т. и теории меры различны. Основным, специфическим для В. т. является понятие независимости событий, испытаний, случайных величин. Наряду с этим В. т. тщательно изучает и такие объекты, как условные распределения, условные математические ожидания и т.п.
Предельные теоремы.При формальном изложении В. т. предельные теоремы появляются в виде своего рода надстройки над ее элементарными разделами, в которых все задачи имеют конечный, чисто арифметический характер. Однако познавательная ценность В. т. раскрывается только предельными теоремами. Так, Бернулли теоремапоказывает, что при независимых испытаниях частота появления какого-либо события, как правило, мало отклоняется от его вероятности, а Лапласа теорема указывает вероятности тех или иных отклонений. Аналогично смысл таких характеристик случайной величины, как её математическое ожидание и дисперсия, разъясняется законом больших чисел и центральной предельной теоремой (см. Больших чисел закон.Предельные теоремы теории вероятностей).
ПустьX1, Х2,..., Xn,... (7)
— независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение вероятностей сEXk= а,DXk= σ2иYn—среднее арифметическое первыхnвеличин из последовательности (7):
Yn=(X1+ X2+ … +Xn)/n.
В соответствии с законом больших чисел, каково бы ни было ε > 0, вероятность неравенства|Yn— a| ≤ εимеет приn →∞пределом 1, и, таким образом,Ynкак правило, мало отличается ота.Центральная предельная теорема уточняет этот результат, показывая, что отклоненияYnотаприближённо подчинены нормальному распределению (См. Нормальное распределение) со средним 0 и дисперсиейσ2/ n.Таким образом, для определения вероятностей тех или иных отклоненийYnотапри большихnнет надобности знать во всех деталях распределение величинXn,достаточно знать лишь их дисперсию.
В 20-х гг. 20 в. было обнаружено, что даже в схеме последовательности одинаково распределённых и независимых случайных величин могут вполне естественным образом возникать предельные распределения, отличные от нормального. Так, например, еслиX1время до первого возвращения некоторой случайно меняющейся системы в исходное положение,Х2—время между первым и вторым возвращениями и т.д., то при очень общих условиях распределение суммыX1+... +Xn(то есть времени доn-говозвращения) после умножения наn1/α(а— постоянная, меньшая 1) сходится к некоторому предельному распределению. Таким образом, время доn-говозвращения растет, грубо говоря, какn1/α,то есть быстрееn(в случае приложимости закона больших чисел оно было бы порядкаn).
Механизм возникновения большинства предельных закономерностей может быть до конца понят лишь в связи с теорией случайных процессов.
Случайные процессы.В ряде физических и химических исследований последних десятилетий возникла потребность, наряду с одномерными и многомерными случайными величинами, рассматривать случайные процессы (См. Случайный процесс),то есть процессы, для которых определена вероятность того или иного их течения. Примером случайного процесса может служить координата частицы, совершающей броуновское движение. В В. т. случайный процесс рассматривают обычно как однопараметрическое семейство случайных величинХ(t). В подавляющем числе приложений параметрtявляется временем, но этим параметром может быть, например, точка пространства, и тогда обычно говорят о случайной функции. В том случае, когда параметрtпробегает целочисленные значения, случайная функция называется случайной последовательностью. Подобно тому, как случайная величина характеризуется законом распределения, случайный процесс может быть охарактеризован совокупностью совместных законов распределения дляX(t1), X(t2),..., X(tn)для всевозможных моментов времениt1, t2,..., tnпри любомn> 0. В настоящее время наиболее интересные конкретные результаты теории случайных процессов получены в двух специальных направлениях.
Исторически первыми изучались марковские процессы (См. Марковский процесс). Случайный процессХ(t) называется марковским, если для любых двух моментов времениt0иt1(t0< t1) условное распределение вероятностейX(t1) при условии, что заданы все значенияХ(t) приt ≤ t0, зависит только отX(t0) (в силу этого марковские случайные процессы иногда называют процессами без последействия). Марковские процессы являются естественным обобщением детерминированных процессов, рассматриваемых в классической физике. В детерминированных процессах состояние системы в момент времениt0однозначно определяет ход процесса в будущем; в марковских процессах состояние системы в момент времениt0однозначно определяет распределение вероятностей хода процесса приt > t0, причём никакие сведения о ходе процесса до момента времениt0не изменяют это распределение.
Вторым крупным направлением теории случайных процессов является теория стационарных случайных процессов (См. Стационарный случайный процесс). Стационарность процесса, то есть неизменность во времени его вероятностных закономерностей, налагает сильное ограничение на процесс и позволяет из одного этого допущения извлечь ряд важных следствий (например, возможность так называемого спектрального разложения
гдеz(λ) случайная функция с независимыми приращениями). В то же время схема стационарных процессов с хорошим приближением описывает многие физические явления.
Теория случайных процессов тесно связана с классической проблематикой предельных теорем для сумм случайных величин. Те законы распределения, которые выступают при изучении сумм случайных величин как предельные, в теории случайных процессов являются точными законами распределения соответствующих характеристик. Этот факт позволяет доказывать многие предельные теоремы с помощью соответствующих случайных процессов.
Историческая справка. В. т. возникла в середине 17 в. Первые работы по В. т., принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма и голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Крупный успех В. т. связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли, установившего закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами (опубликовано в 1713).
Следующий (второй) период истории В. т. (18 в. и начало 19 в.) связан с именами А. Муавра (Англия), П. Лапласа (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). Это — период, когда В. т. уже находит ряд весьма актуальных применений в естествознании и технике (главным образом в теории ошибок наблюдений, развившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии, и в теории стрельбы). К этому периоду относится доказательство первых предельных теорем, носящих теперь названия теорем Лапласа (1812) и Пуассона (1837); А. Лежандром (Франция, 1806) и Гауссом (1808) в это же время был разработан способ наименьших квадратов.
Третий период истории В. т. (2-я половина 19 в.) связан в основном с именами русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова (старшего). В. т. развивалась в России и раньше (в 18 в. ряд трудов по В. т. был написан работавшими в России Л. Эйлером, Н. Бернулли и Д. Бернулли; во второй период развития В. т. следует отметить работы М. В. Остроградского по вопросам В. т., связанным с математической статистикой, и В. Я. Буняковского по применениям В. т. к страховому делу, статистике и демографии). Со 2-й половины 19 в. исследования по В. т. в России занимают ведущее место в мире. Чебышев и его ученики Ляпунов н Марков поставили и решили ряд общих задач в В. т., обобщающих теоремы Бернулли и Лапласа. Чебышев чрезвычайно просто доказал (1867) закон больших чисел при весьма общих предположениях. Он же впервые сформулировал (1887) центральную предельную теорему для сумм независимых случайных величин и указал один из методов её доказательства. Другим методом Ляпунов получил (1901) близкое к окончательному решение этого вопроса. Марков впервые рассмотрел (1907) один случай зависимых испытаний, который впоследствии получил название цепей Маркова.
В Западной Европе во 2-й половине 19 в. получили большое развитие работы по математической статистике (в Бельгии — А. Кетле, в Англии — Ф. Гальтон) и статистической физике (в Австрии — Л. Больцман), которые наряду с основными теоретическими работами Чебышева, Ляпунова и Маркова создали основу для существенного расширения проблематики В. т. в четвёртом (современном) периоде её развития. Этот период истории В. т. характеризуется чрезвычайным расширением круга её применений, созданием нескольких систем безукоризненно строгого математического обоснования В. т., новых мощных методов, требующих иногда применения (помимо классического анализа) средств теории множеств, теории функций действительного переменного и функционального анализа. В этот период при очень большом усилении работы по В. т. за рубежом (во Франции — Э. Борель, П. Леви, М. Фреше, в Германии — Р. Мизес, в США — Н. Винер, В. Феллер, Дж. Дуб, в Швеции — Г. Крамер) советская наука продолжает занимать значительное, а в ряде направлений и ведущее положение. В нашей стране новый период развития В. т. открывается деятельностью С. Н. Бернштейна, значительно обобщившего классические предельные теоремы Чебышева, Ляпунова и Маркова и впервые в России широко поставившего работу по применениям В. т. к естествознанию. В Москве А. Я. Хинчин и А. Н. Колмогоров начали с применения к вопросам В. т. методов теории функций действительного переменного. Позднее (в 30-х гг.) они (и Е. Е. Слуцкий) заложили основы теории случайных процессов. В. И. Романовский (Ташкент) и Н. В. Смирнов (Москва) поставили на большую высоту работу по применениям В. т. к математической статистике. Кроме обширной московской группы специалистов по В. т.,в настоящее время в СССР разработкой проблем В. т. занимаются в Ленинграде (во главе с Ю. В. Линником) и в Киеве.
Лит.:Основоположники и классики теории вероятностей.Bernoulli J., Ars conjectandi, opus posthumum, Basileae, 1713 (рус. пер., СПБ. 1913); Laplace [P. S.], Théorie analytique des probabilités, 3 éd.. P., 1886 (CEuvres complétes de Laplase, t. 7, livre 1—2); Чебышев П. Л., Поли. собр. соч., т. 2-3, М. — Л., 1947—48; Liapounoff A., Nouvelle forme du théoréme sur la limite de probabilité, СПБ, 1901 («Зап. АН по физико-математическому отделению, 8 серия», т. 12, №5); Марков А. А., Исследование замечательного случая зависимых испытаний, «Изв. АН, 6 серия», 1907, т 1 М 3.
Популярная и учебная литература.Гнеденко Б. В. и Хинчин А. Я., Элементарное введение в теорию вероятностей, 3 изд., М. — Л., 1952; Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 4 изд., М., 1965; Марков А. А., Исчисление вероятностей, 4 изд., М., 1924; Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М. — Л., 1946; Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложение (Дискретные распределения), пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1967.
Обзорыи монографии. Гнеденко Б. В. и Колмогоров А. Н., Теория вероятностей, в кн.: Математика в СССР за тридцать лет. 1917—1947. Сб. ст., М. — Л., 1948; Колмогоров А. Н., Теория вероятностей, в кн.: Математика в СССР за сорок лет. 1917—57. Сб. ст., т. 1, М., 1959; Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, пер. с нем., М.—Л., 1936; его же, Об аналитических методах в теории вероятностей, «Успехи математических наук», 1938, в. 5, с. 5—41; Хинчин А. Я., Асимптотические законы теории вероятностей, пер. с нем., М.—Л., 1936; Гнеденко Б. В. и Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.—Л., 1949; Дуб Дж. Л., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956: Чандрасекар С., Стохастические проблемы в физике и астрономии, пер. с англ., М., 1947; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, М., 1967.
Ю. В. Прохоров, Б. А. Севастьянов.