АБСТРАКЦИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ОСУЩЕСТВИМОСТИ

АБСТРАКЦИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ОСУЩЕСТВИМОСТИ— Метод мысленного отвлечения, лежащий в основе идеи так называемойпотенциальной бесконечности.

Как правило, неограниченное развитие какого-либоконструктивного процесса,являющегося конкретным воплощением этой идеи, требует проведения анализа все возрастающего количества составляющих этот процессконструктивных актови попытки реального осущестевления этого анализа даже в том случае, когда начальные шаги процесса осуществимы фактически, рано или поздно сталкиваются с препятствиями чисто материального характера: для совершения очередного шага этого анализа начинает недоставать времени, места и материала. Абстракция потенциальной осуществимости представляет собой способ, позволяющий отвлечься от всей совокупности осложнений указанного рода полностью, считать их несущественными. Тем самым шаги, осуществимость которых носит лишь воображаемый характер, начинают мыслиться совместно и равноправно с реально выполнимыми.

Для примера мы разберем простейший вопрос изпростейшейобласти математики — из арифметики. А именно, вопрос о том, как в рамках рассматриваемых нами представлений может бытьпростейшимобразом определенопростейшееее понятие — понятиенатурального числа.Вопроса о «системах счисления» — напр., о «десятичной» или даже «двоичной» — мы для большей простоты касаться не будем. Как правило, не будем касаться и выполнения арифметических операций.

Мы начнем с определенияположительных целыхчисел. Для этого мы возьмем один-единственный знак «I» («палочку») и положительными целыми числами мы будем называть следующие горизонтальныезнакосочетания:I, II, III, IIIIи т.д. Каждое из них может быть получено, исходя из предыдущего, путем приписывания к нему справа еще одной «палочки» — « I ».Эти знакосочетания мы и будем считать положительными целыми числами: «один», «два», «три» и «четыре».

Чтобы получитьнатуральные числа,мы к имеющемуся у нас знаку «I» добавим еще одинчетко отличающийся от негознак «О» — «овал».Натуральными числамимы теперь будем считать как этот знак «О» (и это будет число «нуль»), так и всякое знакосочетание, состоящее из нуля и приписанного к нему справа положительного целого числа. (Если же допускать и «письмо справа-налево», то можно будет и к положительному целому числу приписывать нуль слева; этот факт можно было быточнодоказать без выхода за границы рассматриваемой нами абстракции, но мы этого делать не станем.)

Этой несколько непривычной для нас системой записи натуральных чисел мы здесь и будем пользоваться. В ней будут нестандартным образом следовать друг за другом д в а различных знака — «О» и «I» — в их приводимых ниже «комбинациях». Заметим, однако, что здесь будет легко усматриваться определенная «правильность» в следовании их друг за другом: сначала 0 (нуль); затем 01 (один); затемOil(два); затем 0Iff (три), затем ОНИ (четыре) и т.д. А кроме того, в них будет просматриваться и операция перехода в них к следующему числу путем приписывания к нему справа знака «I».

И мысленно рассматривая конструктивный процесс построения натурального ряда — «нуль», «один», «два», «три», «четыре» и т.д. — (процесса, принципиально незавершаемого), мы принимаем решение, что совместно и равноправно со всяким натуральным числомпмы будем рассматривать инепосредственно следующее за ним(натуральное же) число, получаемое нами в результате прибавления кпсправа «единицы» — т.е. натурального числа «один».

Мысленно осуществляя вывод в рамках какой-либо формальной дедуктивной теории, мы принимаем решение считать, что вслед за любым шагом этого вывода может быть совершен и еще один — следующий за ним. То же самое абстракция потенциальной осуществимости разрешает делать и в применении к любому другому конструктивному процессу. А именно, вообразив выполненным определенный этап этого процесса, мы соглашаемся мыслить процесс продвинувшимся (согласно правилам его развертыания) и еще на один шаг.

В логическом аспекте принятие абстракции потенциальной осуществимости ведет к обоснованию метода так называемой полной — или совершённой — индукции. Наряду с абстракцией отождествления, абстракция потенциальной осуществимости является необходимой предпосылкой построения теорииконструктивных процессовиконструктивных объектов,что определяет ту исключительную роль, которую она сыграла в развитииАЛ. Марковымегоконструктивного направления в математике,в котором в качестве объектов рассмотрения допускаются лишьконструктивные объекты,а высказывания об ихсуществованиипонимаются лишь как высказывания об ихпотенциальной осуществимости.Однако во избежание недоразумений отметим, что в отдельных, особенно простых ситуациях абстракция потенциальной осуществимости могла применяться и втеоретико-множественной программе Г. Кантора,н что уровень абстрактности любой теории должен измерятьсямаксимальнойстепенью употребляемых в данной программе абстракций. ВслучаеКантора этоабстракция актуальной бесконечности.

Впервые термин «абстракция потенциальной осуществимости» был введен в рассмотрениеАЛ. Марковымво 2-й половине 40-х гг. 20 столетия в ходе анализа математических абстракций, предпринятого им в связи с разработкой основ уже упоминавшегося выше егоконструктивного направления в математике.Отмечая, что абстракция потенциальной осуществимости, как и абстракция актуальной бесконечности, включает в себя известный элемент воображения, он тем не менее указывал на то, что в отношении отхода от действительности абстракции эти находятся на двух качественно различных уровнях. Его размышления того времени в силу сложившейся тогда в науке ситуации были опубликованы лишь в 1958. «Абстракции необходимы в математике, — писал он, — однако они не должны проводиться ради них самих и заводить туда, откуда нет возврата на "землю". Мы всегда должны помнить о переходе от абстрактного мышления к практике, как о необходимом этапе познания человеком объективной действительности». Там же он дал глубочайший прогноз дальнейшего развития основ математического анализа. К настоящему времени прогноз этот подтвердился самым блестящим образом.

Лит.:Марков А.А.Теория алгорифмов // Тр. математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. Т. 42. М.— Л., 1954.;Он же.О конструктивных функциях. Там же. Т. 52. М. — Л., 1958.;Он же.О конструктивной математике //Там же.Т. 62. М. — Л., 1962.; О логике конструктивной математики. М., 1962.;Марков А.А., Нагорный Н.М.Теория алгорифмов. М., 1984 (2-е изд. 1996);Шанин НА.Конструктивные вещественные числа и конструктивные функциональные пространства // Тр. математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. Т. 67. М.—Л., 1962.