ЧЕБЫШЕВСКОЕ МНОЖЕСТВО
такое множество.в метрич. пространстве что для любого в Мсуществует единственныйнаилучшего приближения элемент,т. е. элемент для к-рого Существование и единственность элемента наилучшего приближения являются простейшими, естественными требованиями, весьма удобными как с теоретической, так и с вычислительной точек зрения.Это и определяет роль Ч. м. в теории приближений и теории банаховых пространств. Логически понятие Ч. м. является развитием понятияЧебышева системы.
Конечномерное векторное подпространство с бaзисом тогда и только тогда является Ч. м. (чебышевским подпространством), когда функции образуют систему Чебышева (т. е. удовлетворяютХаара условию).В евклидовом пространстве Ч. м. являются прямые, плоскости, выпуклые фигуры и тела. Нетривиальные примеры Ч. м. рассматривал впервые П. Л. Чебышев [1]. Это - подпространство алгебраич. многочленов степени и множество рациональных функций с фиксированными степенями числителя и знаменателя в пространстве С[а, b].В евклидовых пространствах множество является Ч. м. в том и только в том случее, когда оно замкнуто и выпукло.
В геометрии Лобачевского Ч. м. не обязано быть выпуклым [7]. В двумерном нормированном пространстве, если оно негладко, легко строится невыпуклое Ч. м. пространство, а также условия, эквивалентные выпуклости для Ч. м. (см.Аппроксимативная компактность).
Поскольку Ч. м. могут быть невыпуклыми, изучаются другие их характеристики. Ч. м. Мназ. солнцем [2], если для любых и (гдех'- точка вМ,ближайшая для - луч с вершинойх',проходящий через х)точках'является ближайшей в Мдля z. В гладких пространствах условия лM - выпукло