Математическая энциклопедия

ЧЕБЫШЕВА МНОГОЧЛЕНЫ

первого рода - многочлены, ортогональные на отрезке [-1, 1] с весовой функцией

Для стандартизованных Ч. м. справедливы формула


и рекуррентное соотношение


с помощью к-рых находят последовательно

T0(x) = 1, T1(x)= x, Т2(х)=2х2-1,

T3(x) = 4x3- Зх, T4(x) = 8x4- 8x2+ 1,

Т5(х)= 16x5- 20x3+ 5х, ....
Ортонормированные Ч. м.:

Старший коэффициент многочленаТn(х)при равен 2n-1. Поэтому Ч. п. с единичным старшим коэффициентом определяются формулой

Нули многочленаТп(x),определяемые равенством


часто применяются в качество узлов интерполяционных и квадратурных формул. МногочленТп(х)является решением дифференциального уравнения

Многочлен наименее отклоняется от нуля на отрезке [-1, 1], т. е. для всякого другого многочлена степени пс единичным старшим коэффициентом выполняется условие

С другой стороны, для всякого многочленаQn(x)степени не выше и, удовлетворяющего условию

при любом имеет место неравенство
Если функция f(x)непрерывна на отрезке [-1, 1] и ее модуль непрерывности удовлетворяет условию Дини

то эта функция разлагается в ряд Фурье - Чебышева сходящийся равномерно на отрезке [-1, 1].Коэффициенты этого ряда определяются по формуле

Если же функция f(х)непрерывно дифференцируема рраз на отрезке [-1, 1], причем ее р-я производная f(Р)(х)удовлетворяет условию Липшица порядка т. е. то имеет место неравенство

где постоянная с1не зависит от пих.
Ч. м. второго рода определяются равенством

Эти многочлены ортогональны на отрезке [-1, 1] с весовой функцией

Для всякого многочлена с единичным старшим коэффициентом справедливо неравенство

Ч. м. были введены в 1854 П. Л. Чебышевым (см. [1]).
Обе системы Ч. м. являются частными случаямиультрасферических многочленовиЯкоба многочленов.

Лит.:[1] Чебышев П. Л., Полн. собр. соч., т.2,М.- Л., 1947, с. 23-51; [2] Сегё Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962.
П. К.Суетин.

  1. чебышева многочлены—Ч. м. го рода специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n em . определяются формулой emВ частности Т em Temsub хem Tsub emxemsup ...Большая Советская энциклопедия II
  2. чебышева многочлены—ЧЕБЫШЕВА МНОГОЧЛЕНЫ специальная система многочленов ортогональных с весом Чебышева многочлен го рода или с весом Чебышева многочлен го рода на отрезке [ ] см. Ортогональн...Большой энциклопедический словарь III
  3. чебышева многочлены—ЧЕБЫШЕВА МНОГОЧЛЕНЫ специальная система многочленов ортогональных с весом Чебышева многочлен го рода или с весом Чебышева многочлен го рода на отрезке ЧЕБЫШЕВА ПАРАЛЛЕЛО...Большой Энциклопедический словарь V
  4. чебышева многочлены—спец. система многочленов ортогональных с весом корень из хsupgti supЧ.м. го рода или с весом корень из хsupgt iЧ.м. го рода на отрезке [ ] см. Ортогональная система функ...Естествознание. Энциклопедический словарь
  5. чебышева многочлены—Чабышова мнагасклады...Русско-белорусский математический словарь
  6. чебышева многочлены—ЧЕБЫШЕВА МНОГОЧЛЕНЫ специальная система многочленов ортогональных с весом Чебышева многочлен го рода или с весом Чебышева многочлен го рода на отрезке [ ] см. Ортогональн...Современный энциклопедический словарь
  7. чебышева многочлены—ЧЕБЫШЕВА МНОГОЧЛЕНЫ специальная система многочленов ортогональных с весом Чебышева многочлен го рода или с весом Чебышева многочлен го рода на отрезке [ ] см. Ортогональ...Энциклопедический словарь естествознания