Математическая энциклопедия

ТЕНЗОР

на векторном пространстве Vнад нолем k - элемент tвекторного пространства

гдеV*=Hom(V, k)-пространство, сопряженное сV.Говорят, что тензор tявляется рраз контравариантным и qраз ковариантным или что tимеет тип (р, q).Число р наз. контравариантной валентностью,q -ковариантной валентностью, а число р+q - общей валентностью тензораt.Пространство Т0,0(V)отождествляется сk.Тензоры типа (р,0) наз. контравариантными, типа (0, q)-ковариантными, а остальные - смешанными.

Примеры Т.

1) Вектор пространства V(Т. типа , (1,0)).

2) Ковектор пространства V(Т. типа (0, 1)).

3) Каждый ковариантный Т.


где определяет q-линейную форму на Vпо формуле


отображение пространства Т0,qв пространствоLq(V)всех q-линейных форм на Vлинейно и инъектив-но; если dim то это отображение является изоморфизмом, так что любая q-линейная форма отвечает нек-рому Т. типа (0, q).

4) Аналогично, каждый контравариантный Т. изТр,0(V)определяет нек-рую р-линейную форму наV*,а если Vконечномерно, то верно и обратное.

5) Каждый Т.


где определяет линейное преобразование пространстваV,заданное формулой


если то любое линейное преобразование пространства Vопределяется Т.типа (1, 1).

6) Аналогично, любой Т. типа (1, 2) определяет в Vбилинейную операцию, т.е.структуру k-алгебры; при этом, если dim то любая структура k-алгебры в Vопределяется век-рым Т. типа (1, 2), к-рый наз. структурным тензором алгебры.

Пусть Vконечномерно и v1, . ..,vn-его базис, v1, . . ., vn-сопряженный базис пространстваV*.Тогда Т.


составляют базис пространстваTp,q(V).Координаты тензора в этом базисе наз. также к о-ординатами тензора tвбазисе v1, . . .,vnпространстваV.Напр., координаты вектора и ковектора совпадают с их обычными координатами в базисах и , координаты Т. типа (0, 2) совпадают с элементами матрицы соответствующей билинейной формы, координаты Т. типа (1, 1) - с элементами матрицы соответствующего линейного преобразования, координаты структурного Т. алгебры - с ее структурными константами. Если - другой базис пространства то координаты тензора tв этом базисе определяются по формулам

Здесь, как это часто делается в тензорном исчислении, применимо правило суммирования Эйнштейна: по каждой паре одинаковых индексов, один из к-рых - верхний, а другой - нижний, подразумевается суммирование от 1 доп.Обратно, если системапp+qэлементов поляk,зависящая от базиса пространстваV,изменяется при переходе от базиса к базису по формулам (1), то эта система является набором координат нек-рого Т. типа (р,q).
В векторном пространствеТp,q(V)определены операции сложения Т. и умножения Т. на екаляр изk.При этих операциях соответствующие координаты Т. складываются или умножаются на скаляр. Определена также операция умножения Т. разных типов, к-рая вводится следующим образом. Имеет место естественный изоморфизм векторных пространств


переводящий

в

Поэтому для любых и элемент может рассматриваться как Т. типа (p+r,q+s),к-рый и наз. произведением тензоров tии.Координаты произведения вычисляются по формуле

Пусть р>0, q>0 и пусть фиксированы числа и где Тогда определено линейное отображение


такое, что

Оно наз. свертыванием (или сверткой) по -му контравариантному и -му ковариантному индексам. В координатах свертка записывается формулами

Напр., свертка типа (1, 1) есть след соответствующего линейного преобразования.
Аналогично определяются Т. на произвольном унитарном модуле Vнад коммутативно-ассоциативным кольцом с единицей. Перечисленные выше примеры и свойства Т. переносятся с соответствующими изменениями на этот случай, причем иногда надо предполагать, что V- свободный или конечно порожденный свободный модуль.
Пусть в конечномерном векторном пространстве над полем kфиксирована невырожденная билинейная форма g(напр., V - евклидово или псевдоевклидово пространство над форму gназывают в этом случае метрическим тензором. Метрический Т. определяет изоморфизм по формуле

Пусть р>0 и пусть фиксирован индекс Тогда формула

определяет изоморфизм называемый опусканием -го контравариантного индекса. Иначе,

В координатах опускание индекса имеет вид

Аналогично определяется изоморфизм подъема -го ковариантного индекса

отображающий на В координатах подъем индекса записывается формулой

где В частности, подъем сначала 1-го, а потом и оставшегося ковариантного индекса метрич. тензора gприводит к Т, типа (2, 0) с координатамиgkll(контравариантный метрический тензор). Иногда опущенный (поднятый) индекс не передвигают на первое (последнее) место, а пишут на том же месте в нижней (верхней) группе индексов, ставя на образовавшемся пустом месте точку. Напр., для координаты Т. записывают в виде

Любое линейное отображение векторных пространств над k естественным образом определяет линейные отображения


и

Если f - изоморфизм, то определяется также линейное отображение

причем Соответствие обладает функторными свойствами. В частности, оно определяет линейное представление группы GL(V) в пространствеTp,q(V)(тензорное представление).

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [2] Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, 4 изд., М., 1971; [З] Кострикин А. И., Манин Ю. И., Линейная алгебра и геометрия, М., 1980; [4] Постниковы. М., Линейная алгебра и дифференциальная геометрия, М., 1979; [5] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967.
А. Л. Онищик.

Синонимы:
аффинор, гексавектор


  1. тензор—от лат. tensus напряжнный натянутый математический термин появившийся в середине в. и с тех пор применяющийся в двух различных смыслах. Наибольшее распространение терми...Большая Советская энциклопедия II
  2. тензор—сущ. муж. рода...Большой русско-украинский словарь
  3. тензор—мен. чол. роду...Большой украинско-русский словарь
  4. тензор—а ч.i мат.i Багатокомпонентна величина що характеризуться певною поведнкою трансформацйними властивостями при перетворенях системи координат. Узагальнення понять скаляра...Великий тлумачний словник (ВТС) сучасної української мови
  5. тензор—тензор а...Дзвона чи дзвону? або -А (-Я) чи -У (-Ю) в родовому відмінку
  6. тензор—математический термин название объекта частным случаем которого является вектор в простых случаях изображается матрицей или строкой strong О тензор! Что я наделал Зачем я...Мир Лема - словарь и путеводитель
  7. тензор—Начальная форма Тензор винительный падеж единственное число мужской род неодушевленное...Морфологический разбор существительных
  8. тензор—тензор тензор а...Орфографический словарь
  9. тензор—u мu мн.u тензоры Р.u тензоров аффинор гексавектор...Орфографический словарь русского языка
  10. тензор—тензор менник чоловчого роду...Орфографічний словник української мови
  11. тензор—тензор...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
  12. тензор—тензор...Орысша-қазақша «Энергетика» терминологиялық сөздік
  13. тензор—tenseur...Политехнический русско-французский словарь
  14. тензор—Орфографическая запись слова тензор Ударение в слове тензор Деление слова на слоги перенос слова тензор Фонетическая транскрипция слова тензор [тэнзар] Характеристика вс...Полный фонетический разбор слов
  15. тензор—тензор аСинонимы аффинор гексавектор...Русский орфографический словарь
  16. тензор—tensor...Русско-английский аэрокосмический словарь
  17. тензор—tensor...Русско-английский машиностроительный словарь
  18. тензор—tensor...Русско-английский морской словарь
  19. тензор—tensor матем. тензор м.u мат. мех.utensorантисимметрический тензор antisymmetric [alternating] tensorкососимметрический тензор antisymmetric [alternating] tensorтензор...Русско-английский политехнический словарь
  20. тензор—м. анат. напрягающая мышцаem tensor...Русско-английский психологический словарь
  21. тензор—m.tensor тензор деформации strain tensor deformation tensor тензор напряжения stress tensor тензор скорости деформации strain velocity tensor тензор проводимости conducti...Русско-английский словарь математических терминов
  22. тензор—tensor...Русско-английский словарь по авиации
  23. тензор—tensor аффинор гексавектор...Русско-английский словарь по машиностроению
  24. тензор—tensor...Русско-английский словарь по нефти и газу
  25. тензор—м. абсолютно антисимметричный тензор адронный тензор антисимметричный тензор ассоциированный тензор базисный тензор безразмерный тензор бесследовый тензор взвешенный тенз...Русско-английский словарь по физике
  26. тензор—tensor...Русско-английский словарь по электронике
  27. тензор—tensor...Русско-английский строительный словарь
  28. тензор—affinor axiator tensor антисимметрический тензор тензор деформации тензор напряжения тензор проводимости тензор свернутый тензор энергииимпульса транспонированный тензорт...Русско-английский технический словарь
  29. тензор—tensor...Русско-английский химический словарь
  30. тензор—тэнзар...Русско-белорусский математический словарь
  31. тензор—тэuнзар ра тензор деформаций тензор метрический тензор произвольный...Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов
  32. тензор—тэнзар ра...Русско-белорусский физико-математический словарь
  33. тензор—tensor...Русско-испанский автотранспортный словарь
  34. тензор—м. матем. мех. tensore m тензор второго ранга тензор второй валентности tensore di ordine di secondo rango тензор первого ранга тензор первой валентности tensore di or...Русско-итальянский политехнический словарь
  35. тензор—тензор...Русско-казахский терминологический словарь «Горное дело и металлургия»
  36. тензор—. Синонимы аффинор гексавектор...Русско-китайский словарь
  37. тензор—Drehstrecker Tensor...Русско-немецкий политехнический словарь
  38. тензор—матем. техн. физ. тензор аксиальный тензор антисимметрический тензор аффинный тензор градиентный тензор двухвалентный тензор единичный тензор канонический тензор ...Русско-украинский политехнический словарь
  39. тензор—tenseur...Русско-французский словарь по химии
  40. тензор—tensor tenzor...Русско-чешский словарь
  41. тензор—тензор [тэ\]Синонимы аффинор гексавектор...Русское словесное ударение
  42. тензор—тензор лат.em tendere натягивать напрягать мат.em величина особого рода напр.em т. напряжений т. деформации задаваемая числами и законами их преобразования является разви...Словарь иностранных слов русского языка
  43. тензор—тензор аксиатор гексавектор Словарь русских синонимов. тензор сущ. колво синонимов аффинор гексавектор Словарь синонимов ASIS.В.Н. Тришин. . Синонимы аффинор гексаве...Словарь синонимов II
  44. тензор—тензор аксиатор гексавектор...Словарь синонимов
  45. тензор—тензор ч. лат. напружений узагальнення понять скаляра вектора напр. тензор напруження тензор деформац. тензор задаться набором з r чисел особливими законами перетворення...Словник іншомовних слів
  46. тензор—тензор вд лат. tensus напружений узагальнення понять скаляра вектора напр. Т. напруження Т. деформац. Т. задаться набором з r чисел особливими законами перетворення. Чи...Словник іншомовних слів Мельничука
  47. тензор—ТЕНЗОР а ч. спец.Узагальнення понять величин як характеризуються розмром напрямом.На рзних тектончних структурах було становлено закономрний звязок мж тензором магнтно с...Словник української мови у 20 томах
  48. тензор—тензор [lt лат. tendere натягивать напрягать] мат. величина особого рода напр. т. напряжений т. деформации задаваемая числами и законами их преобразования является разви...Толковый словарь иностранных слов
  49. тензор—ТЕНЗОР [тэ] а м. В математике упорядоченное в виде строки матрицыпараллелепипеда множество какихн. математических элементов. Г. деформации.II прил. тензорный ая ое. Тензо...Толковый словарь Ожегова
  50. тензор—тензор тензор тэ а м. В математике упорядоченное в виде строки матрицы параллелепипеда множество какихн. математических элементов. Т. деформации.прил. ный ая ое. Тензорн...Толковый словарь русского языка II
  51. тензор—ТЕНЗОР [тэ] а м. В математике упорядоченное в виде строки матрицы параллелепипеда множество какихнибудь математических элементов. Г. деформации. прилагательное тензорный...Толковый словарь русского языка
  52. тензор—а ч. мат. Багатокомпонентна величина що характеризуться певною поведнкою трансформацйними властивостями при перетворенях системи координат. Узагальнення понять скаляра в...Толковый словарь украинского языка
  53. тензор—Ударение в слове тензорУдарение падает на букву еБезударные гласные в слове тензор...Ударение и правописание
  54. тензор—матем. техн. физ. тензор...Украинско-русский политехнический словарь
  55. тензор—мат.антисиметричний тензор antisymmetric tensor...Українсько-англійський словник
  56. тензор—[tenzor]...Українсько-польський словник
  57. тензор—Rzeczownik тензор m Matematyczny tensor m...Универсальный русско-польский словарь
  58. тензор—абстрактный объект Тi имеющий определ. систему компонент в каждой рассматриваемой системе координат такой что при преобразовании координат его компоненты преобразуются по...Физическая энциклопедия
  59. тензор—Тенор Тензор Теор Рот Рон Рет Терн Тоз Рено Резон Рез Отрез Орн Тон Тонер Трен Онер Озен Нтр Нто Зет Зеро Зерно Зер Енот Трон Зонт Зот Нер Тор Орт...Электронный словарь анаграмм русского языка
  60. тензор—[tensor] математический термин появившийся в середине XIX в. и с тех пор применяемый в двух разных смыслах. Наибольшее распространение термин тензор получил в современно...Энциклопедический словарь по металлургии
  61. тензор—ТЕНЗОРв математике величина обладающая компонентами в каждой из заданного множества систем координат причем компоненты при переходе от одной системы координат к другой пр...Энциклопедия Кольера II