Физическая энциклопедия

ТЕНЗОР

- абстрактный объектТ,имеющий определ. систему компонент в каждой рассматриваемой системе координат, такой, что при преобразовании координат его компоненты преобразуются по вполне определ. закону. Каждая точкаx n-мерного пространства задаётся в выбранной системе координат наборомnчисел (х1, х2, ..., хn).Переход от одной системы координат к другой означает преобразование (x1, ...,хп) -> (х'1, ..., х'n).Будем рассматривать преобразования, обладающие след. свойствами: 1)i=1, ..., и, где ji-непрерывно дифференцируемые ф-ции, 2) якобиан преобразования, det

Простейшими примерами Т. являются с к а л я р, к-рый не меняет своего значения при переходе от одной системы координат к другой, и в е к т о р (а),характеризующийся в данной системе координат и компонентамиа'2, ..., а'n,связанными с компонентами в первоначальной системе координат след. образом:


Пусть -одна из набора ф-ций от переменныхx1, ...,хn(число верх, индексов равноr, а число ниж.индексов равноs). Этиnr+sвеличин являются компонентами Т, ранга (порядка, валентности)r+sпри условии, что его компоненты в др. системе координат, х'1, .,,,х'2,даются след. ф-лой:


(все индексы принимают значения от 1 доп).Здесь и далее предполагается, что по встречающимся дважды (один раз внизу и один раз вверху) индексам производится суммирование от 1 доn, причём в производных видадA/дxkиндексkсчитается нижним. Такой Т. наз. к о н т р а в а р и а н т-н ы м рангаrи к о в а р и а н т н ы м ранга 5. Верх. индексы являются контравариантными индексами, а нижние - ко-вариантными. Если Т. имеет только контравариантные (верх.) индексы, он наз. контравариантным; если он имеет только ковариантные (ниж.) индексы, он наз, ковариант-ным. Т., имеющий и контравариантные и ковариантные индексы, наз. сметанным. Из (I) видно, что при переходе от одной системы координат к другой компоненты Т. преобразуются линейно и однородно. Если областью определения описанного выше объекта является только одна точка в каждой системе координат, то его обычно наз. просто Т. Если же его область определения - нек-рая область h-мерного пространства, то его наз. т е н з о р н ы м п о л е м. Теория, изучающая тензорные поля, наз.тензорным анализом,

Говорить о том, что нек-рая физ. величина является Т. того или иного ранга, можно только, имея в виду определ.группупреобразований координат в пространстве, в к-ром эта величина рассматривается. При этом если величину можно считать Т. относительно нек-рой группы преобразований, то она является Т, и относительно любой подгруппы этой группы.

Т. о., Т, ранга 0, т. е. Т., имеющий только одну компоненту с одним и тем же значением во всех координатных системах, является скаляром. Примеры скаляров в физике- масса, темп-pa, заряд, кривизна пространства. Т. ранга 1 является вектором. Примеры векторов в трёхмерном пространстве - скорость, импульс, сила, напряжённости электрич. и магн. полей. Нек-рые Т. ранга 2 также имеют спец. названия в геометрии и в физике: напр.,метрический тензорв теории римановых пространств и в теории относительности, Т. напряжений (см.Напряжение механическое)и Т.деформацийв механике сплошной среды, Т.диэлектрической проницаемостив электродинамике сплошной среды,тензор энергии-импульсав теории относительности, Т.электромагнитного поляв электродинамике.

Действия над тензорами.Так как Т. задаются своими компонентами в разл. системах координат, то действия над Т. определяются ф-лами, связывающими в каждой системе координат компоненты результата действия через компоненты Т., над к-рыми производятся действия. Алгеб-раич. действия над Т. являются обобщением соответствующих действий над векторами иматрицами.

а) Сложение и вычитание Т. С у м м о й двух Т.АиВс компонентами имеющих одно и то же строение, т. е. одно и то же число контравариантных и ковариантных индексов, наз. Т.Sс компонентами


а их разностью - Т.Dс компонентами


б) Свёртывание смешанного Т. С в ё р т ы в а н и е м сме- шанного Т. наз, операция приравнивания одного контрава- риантного индекса нек-рому ковариантному индексу с по- следующим суммированием по этому индексу. В резуль- тате одного свёртывания ранг Т. уменьшается на два. Если число контравариантных индексов совпадает с числом ко- вариантных индексов, то при полном свёртывании по всем индексам получается инвариант (скаляр).

в) Умножение Т. Произведением (в н е ш н и м п р о и зв е д е н и е м) двух Т.АиВс компонентами (быть может разл. строения) наз. Т.С = АВс компонентами


Произведение Т. ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения, но, вообще говоря, некоммутативно, т. к. порядок следования индексов в ф-ле (4) является существенным.

В н у т р е н н и м п р о и з в е д е н и е м двух Т.АиВназ. Т., получаемый путём свёртки тензораС[ф-ла. (4)] по. одному или неск. индексам. В общем случае можно образовать неск. таких внутренних произведений.

Т. наз. а с с о ц и и р о в а н н ы м с т е н з о р о м , если он может быть получен из него подниманием или опусканием нек-рого числа индексов при. помощи внутр. произведений вида или где ф у н д а м е н т а л ь н ы й м е т р и ч е с к и й Т.,Gik= Gki-алгебраич. дополнениеgikвопределителеg).Т., ранг к-рого больше единицы, имеет неск. различных ассоциированных Т.

Т., полученные из данного Т. в результате перестановки каких-нибудь верх. (либо ниж.) индексов, наз. изомерами данного Т. Множество изомеров Т.Авсегда содержитА.Для всякого Т. контравариантного порядкаrи ковари-антного порядкаsможно получитьr!s!изомеров, но, вообще говоря, не все эти Т. будут различными. Если множество изомеров Т. содержит единственный Т.А,тоАназ. симметричным Т.

При рассмотрении прямоугольных координат можно не различать ковариантные и контравариантные индексы, т. к. в этом случае метрич. Т.gikимеет наиб. простой вид (единичная матрица).

Признак тензора.Для того чтобы объектXбыл Т., необходимо и достаточно, чтобы для каждого Т.Анек-рого определённого фиксированного ранга и типа внешнее произведениеХАили какое-нибудь внутреннее произведение объектаXиАбыло Т. определённого фиксированного ранга и типа.

Лит.:Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Кильчевский H. А., Элементы тензорного исчисления и его приложения к механике, М., 1954; Схо-утен Я.-А,, Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965; Сокольников И., Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии и в механике сплошных сред, пер. с англ., М., 1971; Векуа И. H.,Основы тензорного анализа и теории ковариантов, М., 1978.С. И. Азаков.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.


Синонимы:
аффинор, гексавектор


  1. тензорот лат. tensus напряжнный натянутый математический термин появившийся в середине в. и с тех пор применяющийся в двух различных смыслах. Наибольшее распространение терми...Большая Советская энциклопедия II
  2. тензорсущ. муж. рода...Большой русско-украинский словарь
  3. тензормен. чол. роду...Большой украинско-русский словарь
  4. тензора ч.i мат.i Багатокомпонентна величина що характеризуться певною поведнкою трансформацйними властивостями при перетворенях системи координат. Узагальнення понять скаляра...Великий тлумачний словник (ВТС) сучасної української мови
  5. тензортензор а...Дзвона чи дзвону? або -А (-Я) чи -У (-Ю) в родовому відмінку
  6. тензорна векторном пространстве Vнад нолем k элемент tвекторного пространства где ViHomV ki i пространство сопряженное с V.i Говорят что тензор tявляется рраз контравариантн...Математическая энциклопедия
  7. тензорматематический термин название объекта частным случаем которого является вектор в простых случаях изображается матрицей или строкой strong О тензор! Что я наделал Зачем я...Мир Лема - словарь и путеводитель
  8. тензорНачальная форма Тензор винительный падеж единственное число мужской род неодушевленное...Морфологический разбор существительных
  9. тензортензор тензор а...Орфографический словарь
  10. тензорu мu мн.u тензоры Р.u тензоров аффинор гексавектор...Орфографический словарь русского языка
  11. тензортензор менник чоловчого роду...Орфографічний словник української мови
  12. тензортензор...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
  13. тензортензор...Орысша-қазақша «Энергетика» терминологиялық сөздік
  14. тензорtenseur...Политехнический русско-французский словарь
  15. тензорОрфографическая запись слова тензор Ударение в слове тензор Деление слова на слоги перенос слова тензор Фонетическая транскрипция слова тензор [тэнзар] Характеристика вс...Полный фонетический разбор слов
  16. тензортензор аСинонимы аффинор гексавектор...Русский орфографический словарь
  17. тензорtensor...Русско-английский аэрокосмический словарь
  18. тензорtensor...Русско-английский машиностроительный словарь
  19. тензорtensor...Русско-английский морской словарь
  20. тензорtensor матем. тензор м.u мат. мех.utensorантисимметрический тензор antisymmetric [alternating] tensorкососимметрический тензор antisymmetric [alternating] tensorтензор...Русско-английский политехнический словарь
  21. тензорм. анат. напрягающая мышцаem tensor...Русско-английский психологический словарь
  22. тензорm.tensor тензор деформации strain tensor deformation tensor тензор напряжения stress tensor тензор скорости деформации strain velocity tensor тензор проводимости conducti...Русско-английский словарь математических терминов
  23. тензорtensor...Русско-английский словарь по авиации
  24. тензорtensor аффинор гексавектор...Русско-английский словарь по машиностроению
  25. тензорtensor...Русско-английский словарь по нефти и газу
  26. тензорм. абсолютно антисимметричный тензор адронный тензор антисимметричный тензор ассоциированный тензор базисный тензор безразмерный тензор бесследовый тензор взвешенный тенз...Русско-английский словарь по физике
  27. тензорtensor...Русско-английский словарь по электронике
  28. тензорtensor...Русско-английский строительный словарь
  29. тензорaffinor axiator tensor антисимметрический тензор тензор деформации тензор напряжения тензор проводимости тензор свернутый тензор энергииимпульса транспонированный тензорт...Русско-английский технический словарь
  30. тензорtensor...Русско-английский химический словарь
  31. тензортэнзар...Русско-белорусский математический словарь
  32. тензортэuнзар ра тензор деформаций тензор метрический тензор произвольный...Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов
  33. тензортэнзар ра...Русско-белорусский физико-математический словарь
  34. тензорtensor...Русско-испанский автотранспортный словарь
  35. тензорм. матем. мех. tensore m тензор второго ранга тензор второй валентности tensore di ordine di secondo rango тензор первого ранга тензор первой валентности tensore di or...Русско-итальянский политехнический словарь
  36. тензортензор...Русско-казахский терминологический словарь «Горное дело и металлургия»
  37. тензор. Синонимы аффинор гексавектор...Русско-китайский словарь
  38. тензорDrehstrecker Tensor...Русско-немецкий политехнический словарь
  39. тензорматем. техн. физ. тензор аксиальный тензор антисимметрический тензор аффинный тензор градиентный тензор двухвалентный тензор единичный тензор канонический тензор ...Русско-украинский политехнический словарь
  40. тензорtenseur...Русско-французский словарь по химии
  41. тензорtensor tenzor...Русско-чешский словарь
  42. тензортензор [тэ\]Синонимы аффинор гексавектор...Русское словесное ударение
  43. тензортензор лат.em tendere натягивать напрягать мат.em величина особого рода напр.em т. напряжений т. деформации задаваемая числами и законами их преобразования является разви...Словарь иностранных слов русского языка
  44. тензортензор аксиатор гексавектор Словарь русских синонимов. тензор сущ. колво синонимов аффинор гексавектор Словарь синонимов ASIS.В.Н. Тришин. . Синонимы аффинор гексаве...Словарь синонимов II
  45. тензортензор аксиатор гексавектор...Словарь синонимов
  46. тензортензор ч. лат. напружений узагальнення понять скаляра вектора напр. тензор напруження тензор деформац. тензор задаться набором з r чисел особливими законами перетворення...Словник іншомовних слів
  47. тензортензор вд лат. tensus напружений узагальнення понять скаляра вектора напр. Т. напруження Т. деформац. Т. задаться набором з r чисел особливими законами перетворення. Чи...Словник іншомовних слів Мельничука
  48. тензорТЕНЗОР а ч. спец.Узагальнення понять величин як характеризуються розмром напрямом.На рзних тектончних структурах було становлено закономрний звязок мж тензором магнтно с...Словник української мови у 20 томах
  49. тензортензор [lt лат. tendere натягивать напрягать] мат. величина особого рода напр. т. напряжений т. деформации задаваемая числами и законами их преобразования является разви...Толковый словарь иностранных слов
  50. тензорТЕНЗОР [тэ] а м. В математике упорядоченное в виде строки матрицыпараллелепипеда множество какихн. математических элементов. Г. деформации.II прил. тензорный ая ое. Тензо...Толковый словарь Ожегова
  51. тензортензор тензор тэ а м. В математике упорядоченное в виде строки матрицы параллелепипеда множество какихн. математических элементов. Т. деформации.прил. ный ая ое. Тензорн...Толковый словарь русского языка II
  52. тензорТЕНЗОР [тэ] а м. В математике упорядоченное в виде строки матрицы параллелепипеда множество какихнибудь математических элементов. Г. деформации. прилагательное тензорный...Толковый словарь русского языка
  53. тензора ч. мат. Багатокомпонентна величина що характеризуться певною поведнкою трансформацйними властивостями при перетворенях системи координат. Узагальнення понять скаляра в...Толковый словарь украинского языка
  54. тензорУдарение в слове тензорУдарение падает на букву еБезударные гласные в слове тензор...Ударение и правописание
  55. тензорматем. техн. физ. тензор...Украинско-русский политехнический словарь
  56. тензормат.антисиметричний тензор antisymmetric tensor...Українсько-англійський словник
  57. тензор[tenzor]...Українсько-польський словник
  58. тензорRzeczownik тензор m Matematyczny tensor m...Универсальный русско-польский словарь
  59. тензорТенор Тензор Теор Рот Рон Рет Терн Тоз Рено Резон Рез Отрез Орн Тон Тонер Трен Онер Озен Нтр Нто Зет Зеро Зерно Зер Енот Трон Зонт Зот Нер Тор Орт...Электронный словарь анаграмм русского языка
  60. тензор[tensor] математический термин появившийся в середине XIX в. и с тех пор применяемый в двух разных смыслах. Наибольшее распространение термин тензор получил в современно...Энциклопедический словарь по металлургии
  61. тензорТЕНЗОРв математике величина обладающая компонентами в каждой из заданного множества систем координат причем компоненты при переходе от одной системы координат к другой пр...Энциклопедия Кольера II