Математическая энциклопедия

ТЕЙЛОРА РЯД

- степенной ряд


где числовая функция f определена в нек-рой окрестности точких0и имеет в этой точке производные всех порядков. Частными суммами Т. р. являютсяТейлора многочлены.
Если х0-комплексное число, функция f определена в нек-рой окрестности точки x0во множестве комплексных чисел и дифференцируема в точке х0, то существует окрестность этой точки, на к-рой функция f является суммой своего Т.р. (1) (см.Степенной ряд).Если же х0-действительное число, функция f определена в нек-рой окрестности точки х0во множестве действительных чисел и имеет в точке х0производные всех порядков, то функция f может ни в какой окрестности точки х0не быть суммой своего Т. р. Напр., функция


бесконечно дифференцируема на всей действительной оси, не равна тождественно нулю ни в какой окрестности точких=0,а все коэффициенты ее Т. р. в этой точке равны нулю.
Если функция раскладывается в нек-рой окрестности данной точки в степенной ряд, то такой ряд единствен и является ее Т. р. в этой точке. Однако один и тот же степенной ряд может являться Т. р. для разных действительных функций. Так, степенной ряд, у к-рого все коэффициенты равны нулю, является как Т. р. функции, тождественно равной нулю на всей действительной оси, так и Т. р. функции (2) в точкеx=0.
Достаточным условием сходимости Т. р. (1) к действительной функции f на интервале (х0-h, х0-h)является ограниченность в совокупности всех ее производных на этом интервале.
Т. р. обобщается на случай отображения подмножеств линейных нормированных пространств в подобные же пространства, в частности на числовые функции нескольких переменных и функции матричного аргумента.
Ряд (1) был опубликован Б. Тейлором (В. Taylor) в 1715; ряд. сводящийся к ряду (1) простым преобразованием, был опубликован И. Бернулли (I. Bernoulli) в 1694.

Лит.:[1] Ильин В. А., Садовничий В. А., С ендов Б. X., Математический анализ, М., 1979; [2] Никольский С. М., Курс матемачического анализа, 3 изд. т. 1, М., 19S3.
Л. Д. Кудрявцев.

  1. тейлора ряд—Степенной ряд вида где f emxem функция имеющая при хem аem производные всех порядков. Во многих практически важных случаях этот ряд сходится к f emxem на некотором и...Большая Советская энциклопедия II
  2. тейлора ряд—степенной ряд вида где fа f а f а. значениязаданной функции fх и ее последовательных производных при ха если ато Тейлора ряда называют рядом Маклорена. Частные суммы Тей...Большой энциклопедический словарь II
  3. тейлора ряд—ТЕЙЛОРА РЯД степенной ряд вида где fа fа fа. значения заданной функции fх и ее последовательных производных при ха если а то Тейлора ряда называют рядом Маклорена. Частн...Большой энциклопедический словарь III
  4. тейлора ряд—ТЕЙЛОРА ряд степенной ряд вида где fа f а f а. значения заданной функции fх и ее последовательных производных при ха если а то Тейлора ряда называют рядом Маклорена. Ча...Большой Энциклопедический словарь V
  5. тейлора ряд—степенной ряд вида где fa fa fa . i значения заданной функции Дл и е последовательных производных при х а iесли а то Т. р. наз. рядом Маклорена. Частные суммы Т. р. в...Естествознание. Энциклопедический словарь
  6. тейлора ряд—Тэйлара шэраг...Русско-белорусский математический словарь
  7. тейлора ряд—ТЕЙЛОРА РЯД степенной ряд вида где fа fа fа . значения заданной функции fх и ее последовательных производных при ха если а то Тейлора ряда называют рядом Маклорена. Част...Современный энциклопедический словарь
  8. тейлора ряд—степенной ряд описывающий поведение данной фции fi хi в окрестности заданной точки. Точнее если fxi в точке хisub имеет бесконечное число производных то е Т. р. имеет вид...Физическая энциклопедия
  9. тейлора ряд—ТЕЙЛОРА РЯД степенной ряд вида где fа fа fа. значения заданной функции fх и ее последовательных производных при ха если а то Тейлора ряда называют рядом Маклорена. Част...Энциклопедический словарь естествознания