Математическая энциклопедия

СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ

- функция произвольного аргумента t(заданная на множестве Тего значений и принимающая числовые значения или, более общо, значения из какого-то векторного пространства) такая, что ее значения определяются с помощью нек-ро-го испытания и в зависимости от его исхода могут быть различными, причем для них существует определенное распределение вероятностей. В теории вероятностей основное внимание обычно уделяется числовым (т. е. скалярным) С. ф. X(t);векторные же С. ф. X(t)можно рассматривать как совокупность скалярных функций где пробегает конечное или счетное множество Аномеров компонент вектораX,т. е. как числовую С. заданную на новом множестве
Если множество Тконечно, то С. ф. X(t)на Тпредставляет собой конечный набор случайных величин, к-рый можно считать одной многомерной (векторной) случайной величиной, характеризуемой многомерной функцией распределения. Из числа С. ф. с бесконечным.наиболее изучен частный случай, когда tпринимает числовые (действительные) значения; в этом случае чаще всего tявляется временем, а С. ф. X(t)наз.случайным процессом(если же время.пробегает лишь целочисленные значения, то также ислучайной последовательностью,или временным рядом). Если значениями аргумента tявляются точки нек-рого многомерного многообразия (напр., k-мерного евклидова пространства Rk), то С. ф. X(t)наз.случайным полем.
Распределение вероятностей значений С.ф. X(t),определенной на бесконечном множествеТ,можно охарактеризовать совокупностью конечномерных распределений вероятностей для групп случайных величин отвечающих всевозможным
конечным подмножествам элементовТ,т. е. совокупностью соответствующих конечномерных функций распределения удовлетворяющих следующим условиям согласованности:

где i1, . . .,in- произвольная перестановка индексов 1, . . ., n. Такое задание распределения вероятностей С. ф. X(t)достаточно во всех случаях, когда интересуются лишь событиями, зависящими от значений X(t)на конечных множествах значений аргументаt.Однако такое задание С. ф. не позволяет определить вероятности свойств С. ф., зависящих от ее значений на непрерывном множестве значенийt,типа вероятности непрерывности или дифференцируемости С. ф. или вероятности того, что С. ф. X(t)на непрерывном множестве значений tбудет удовлетворять неравенству X(t)(см.Сепарабельный процесс).
Более общее задание С. ф. связано с ее описанием как совокупности случайных величин заданных на одном и том же вероятностном пространстве (где - непустое множество точек - выделенная алгебра подмножеств а Р - заданная а вероятностная мера) и отвечающих всевозможным точкам tмножестваТ.При таком подходе под С. ф. на множестве Тследует понимать функцию двух переменных и являющуюся A-измеримой функцией при каждом фиксированном значении t(т. е. при фиксированном.обращающуюся в случайную величину, определенную на вероятностном пространстве Фиксируя значение аргумента функции получают числовую функцию наТ,называемую реализацией (или выборочной функцией, или, если t- это время, траекторией) С. ф. X(t);-алгебра и мера Р при этом индуцируют -алгебру подмножеств и определенную на ной вероятностную меру в функциональном пространстве реализацией x(t),задание к-рой также можно считать эквивалентным заданию С. ф. Задание С. ф. как вероятностной меры, определенной на -алгебре подмножеств функционального пространства всевозможных реализаций x(t),можно рассматривать как частный случай общего задания С. ф. как функции двух переменных (где принадлежит вероятностному пространству соответствующий условию, что т. е. что элементарные события (точки исходного вероятностного пространства) с самого начала отождествляются с реализациями х(t)С. ф. X(t);с другой стороны, можно также показать, что к такому заданию С. ф. с помощью указания вероятностной меры на сводятся и все другие способы задания С. ф. X(t).В частности, задание совокупности всевозможных конечномерных функций распределения удовлетворяющих условиям согласованности (1) и (2), в силу фундаментальной теоремы Колмогорова о согласованных распределениях (см.Вероятностное пространство),определяет вероятностную меру на -алгебре подмножеств функционального пространства порожденной совокупностью цилиндрич. множеств вида гдеп -произвольное целое положительное число,а В" -произвольное борелевское множество n-мерного пространства векторов

Лит.см. при ст.Случайный процесс.
А. М. Яглом.

  1. случайная функция—СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ функция произвольного аргумента t iзаданная на множестве Т iего значений и сама принимающая или числовые значения или более общо значения из какогото ве...Большая советская энциклопедия
  2. случайная функция—функция произвольного аргумента tem заданная на множестве Тem его значений и сама принимающая или числовые значения или более общо значения из какогото векторного простра...Большая Советская энциклопедия II
  3. случайная функция—функция произвольного аргумента такая что ее значенияопределяются случайным исходом некоторого испытания причем для нихсуществует определенное распределение вероятностей....Большой энциклопедический словарь II
  4. случайная функция—СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ функция произвольного аргумента такая что ее значения определяются случайным исходом некоторого испытания причем для них существует определенное распред...Большой энциклопедический словарь III
  5. случайная функция—СЛУЧАЙНАЯ функция функция произвольного аргумента такая что ее значения определяются случайным исходом некоторого испытания причем для них существует определенное распре...Большой Энциклопедический словарь V
  6. случайная функция—функция х аргументов Xt Xti множество элементарных событий i произвольное множество. Если в вещественное множество и параметр ti интерпретировать как время то Xti назы...Геологическая энциклопедия
  7. случайная функция—функция произвольного аргумента такая что е значения определяются случайным исходом некрого испытания причм для них существует определ. распределение вероятностей. Поняти...Естествознание. Энциклопедический словарь
  8. случайная функция—Такая функция Xt которая при каждом значении аргумента t есть случайная величина. При этом t чаще всего время но может означать и пространственную координату. Значение С...Метеорологический словарь
  9. случайная функция—random function...Русско-английский машиностроительный словарь
  10. случайная функция—random function...Русско-английский морской словарь
  11. случайная функция—random function random function...Русско-английский политехнический словарь
  12. случайная функция—random function...Русско-английский словарь по машиностроению
  13. случайная функция—random function stochastic function...Русско-английский словарь по физике
  14. случайная функция—random function...Русско-английский технический словарь
  15. случайная функция—выпадковая функцыя...Русско-белорусский математический словарь
  16. случайная функция—funzione aleatoria trn]...Русско-итальянский политехнический словарь
  17. случайная функция—Zufallsfunktion...Русско-немецкий политехнический словарь
  18. случайная функция—випадкова функця...Русско-украинский политехнический словарь
  19. случайная функция—nhodn funkce...Русско-чешский словарь
  20. случайная функция—СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ функция произвольного аргумента такая что ее значения определяются случайным исходом некоторого испытания причем для них существует определенное распред...Современный энциклопедический словарь
  21. случайная функция—на множестве Т i семейство случайныхвеличин i помеченных элементами множества Тi наз. областью определенияС. ф. и заданных на одном и том же вероятностном пространстве .Н...Физическая энциклопедия
  22. случайная функция—СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ функция произвольного аргумента такая что ее значения определяются случайным исходом некоторого испытания причем для них существует определенное распре...Энциклопедический словарь естествознания