Математическая энциклопедия

РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ

последовательности функций (отображений) - свойство последовательности , где X- произвольное множество,Y -метрич. пространство, n=1,2,..., к функции (отображению) , означающее, что для любого e>0 существует такой номер пe,что для всех номеров п>neи всех точек выполняется неравенство


Это условие равносильно тому, что


Чтобы последовательность {fn} равномерно сходилась на множестве Xк функции f, необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая числовая последовательность {an}, что и существовал такой номерn0, что для всехn>n0и всех выполнялось неравенство


Пример. Последовательностьfn(x)=xn, п=1,2,..., равномерно сходится на любом отрезке [0, а], 0

Необходимое и достаточное условие Р. с. последовательности функций без использования понятия предельной функции даетНоши критерийравномерной сходимости.

Свойства равномерно сходящихся последовательностей.

1. ЕслиY -линейное нормированное пространство и последовательности отображений и , n=1, 2,.. ., равномерно сходятся на множествеX,то при любых и последовательность {lfn+mgn} также равномерно сходится наX.

2. ЕслиY -линейное нормированное кольцо, последовательность отображений , 2,. . ., равномерно сходится на множестве Xи g:XY -ограниченное отображение, то последовательность {gfn} также равномерно сходится наX.

3.ЕслиX -топологич. пространство,Y -метрич. пространство и последовательность непрерывных в точке отображений равномерно на множестве Xсходится к отображению , то это отображение также непрерывно в точкеx0, то есть


Условие равномерной сходимости последовательности {fn} на Xявляется в этом утверждении существенным в том смысле, что существуют даже последовательности числовых непрерывных на отрезке функций, сходящиеся во всех его точках к функции, не являющейся непрерывной на рассматриваемом отрезке. Примером такой последовательности являетсяfn(x)=xn, n=1,2,. . ., на отрезке [0, 1]. Р. с. последовательности непрерывных функций не есть необходимое условие непрерывности предельной функции. Однако если множество X- компакт, Y- множество действительных чисел , последовательность непрерывных функций во всех точках одновременно возрастает или убывает и имеет конечный предел,


то для того, чтобы функция f была непрерывной на множествеX,необходимо и достаточно, чтобы последовательность {fn} сходилась равномерно на этом множестве. Необходимые и одновременно достаточные условия для непрерывности предела последовательности непрерывных функций в общем случае даются в терминахквазиравномерной сходимостипоследовательности.

4. Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций ,n=1,2,. . .,равномерно на отрезке [а, b],сходится к функции , то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого имеет место равенство

(*)

и сходимость последовательности на отрезке [а, b]к функции равномерна. Формула (*) обобщается на случайСтилтьеса интеграла.Если же последовательность интегрируемых на отрезке [а, b]функцийfn,п=1, 2, . . ., просто сходится в каждой точке этого отрезка к интегрируемой же на нем функции f, то формула (*) может не иметь места.

5. Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, b]функций ,п=1, 2,. . ., сходится в нек-рой точке , а последовательность их производных равномерно сходится на [а, b],то последовательность {fn} также равномерно сходится на отрезке [а, b],ее предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией и


ПустьX -произвольное множество, а Y - метрич. пространство. Семейство функций (отображений) fa:ХY,, где - топологич. пространство, наз. равномерно сходящимся при к функции (отображению) , если для любого e>0 существует такая окрестность U(a0) точки a0, что для всех и всех выполняется неравенство


Для равномерно сходящихся семейств функций имеют место свойства, аналогичные указанным выше свойствам Р. с. последовательностей функций.

Понятие Р. с. отображений обобщается на случай, когда Y - равномерное пространство, в частности, когда Y - топологич. группа.

Лит.:[1] Александров П. С., Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] Колмогорова. Н., ФоминС. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [3] Келли Д ж. Л., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1981.

Л. Д. Кудрявцев.


  1. равномерная сходимость—РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ важный частный случай сходимости. iПоследовательность функций fnx in . . . наз. равномерно сходящейся на данном множестве к предельной функции f...Большая советская энциклопедия
  2. равномерная сходимость—важный частный случай сходимости См. Сходимость. emПоследовательность функций femn subxem emn em em . называется равномерно сходящейся на данном множестве к предельной ф...Большая Советская энциклопедия II
  3. равномерная сходимость—uniform convergence...Русско-английский политехнический словарь
  4. равномерная сходимость—uniform convergence...Русско-английский словарь по физике
  5. равномерная сходимость—uniconvergence...Русско-английский словарь по электронике
  6. равномерная сходимость—ранамерная збежнасць...Русско-белорусский математический словарь
  7. равномерная сходимость—convergenza uniforme...Русско-итальянский политехнический словарь
  8. равномерная сходимость—см. абсолютная сходимость...Русско-украинский политехнический словарь
  9. равномерная сходимость—rovnomrn konvergence...Русско-чешский словарь