Большая советская энциклопедия

РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ

РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ,важный частный случайсходимости.Последовательность функцийfn(x)(n = 1, 2, . . .) наз. равномерно сходящейся на данном множестве к предельной функцииf(x),если для каждого е>0 существует такоеN = N(E),что |f(x)-fn(x)|<Eприn>Nдля всех точекхиз данного множества. Напр., последовательность функцийfn(x)=xnравномерно сходится на отрезке [0, 1/2] к предельной функцииf(x) = 0,так как |f(x)-fn(x)|=<(1/2)n<Eдля всех 0=<x=<1/2, если только n>ln(1/8)/ln2, но она не будет равномерно сходящейся на отрезке [0, 1], где предельной функцией является f(x)=0 при 0=<х<1и f(l) = l, т. к. для любого сколько угодно большого заданногопсуществуют точки n, удовлетворяющие неравенствам корень в n-ой степени из 1/2<n<1, для к-рых |f(n) - fn(n)|=nn> 1/2. Понятие Р. с. допускает простую геометрич. интерпретацию: если последовательность функцийfn(x)равномерно сходится на нек-ром отрезке к функцииf(x),то это означает, что для любого E>0 все кривыеy=fn(x) сдостаточно большим номером будут расположены внутри полосы ширины 2е, ограниченной кривымиу=f(x) ± Eдля любогохиз этого отрезка (см. рис.).

Равномерно сходящиеся последовательности функций обладают важными свойствами; напр., предельная функция равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций также непрерывна (приведённый выше пример показывает, что предельная функция последовательности непрерывных функций, к-рая не является равномерно сходящейся, может быть разрывной). Важную роль в математич. анализе играет теорема Вейерштрасса: каждая непрерывная на отрезке функция может быть представлена как предел равномерно сходящейся последовательности многочленов (или тригонометрич. полиномов). См.также Приближение и интерполирование функций.




  1. равномерная сходимость—важный частный случай сходимости См. Сходимость. emПоследовательность функций femn subxem emn em em . называется равномерно сходящейся на данном множестве к предельной ф...Большая Советская энциклопедия II
  2. равномерная сходимость—последовательности функций отображений свойство последовательности где X произвольное множество Y i метрич. пространство n. к функции отображению означающее что для лю...Математическая энциклопедия
  3. равномерная сходимость—uniform convergence...Русско-английский политехнический словарь
  4. равномерная сходимость—uniform convergence...Русско-английский словарь по физике
  5. равномерная сходимость—uniconvergence...Русско-английский словарь по электронике
  6. равномерная сходимость—ранамерная збежнасць...Русско-белорусский математический словарь
  7. равномерная сходимость—convergenza uniforme...Русско-итальянский политехнический словарь
  8. равномерная сходимость—см. абсолютная сходимость...Русско-украинский политехнический словарь
  9. равномерная сходимость—rovnomrn konvergence...Русско-чешский словарь