РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ

важный частный случай сходимости (См. Сходимость).Последовательность функцийf_n(x)(n=1, 2, ...) называется равномерно сходящейся на данном множестве к предельной функцииf(x),если для каждого ε > 0 существует такоеN=N(ε),что |f(x)— f_n(x)| < ε приn>Nдля всех точекхиз данного множества. Например, последовательность функцийf_n(x)=xⁿравномерно сходится на отрезке [0,¹/₂] к предельной функцииf(x) = 0, так как |f(x)— f_n(x)| ≤ (¹/₂)ⁿ< ε для всех 0 ≤ x ≤¹/₂, если только n > ln (¹/_ε)/ln2, но она не будет равномерно сходящейся на отрезке [0, 1], где предельной функцией являетсяf(x) =0 при 0 ≤x< 1 иf(1) = 1, т.к.для любого сколько угодно большого заданногоnсуществуют точки η, удовлетворяющие неравенствам f (η)— f_n(η)| =ηⁿ>¹/_2.Понятие Р. с. допускает простую геометрическую интерпретацию: если последовательность функцийf_n(x) равномерно сходится на некотором отрезке к функцииf(x),то это означает, что для любого ε > 0 все кривыеу=f_n(x) с достаточно большим номером будут расположены внутри полосы ширины 2ε, ограниченной кривымиу=f(x)± ε для любогохиз этого отрезка (см.рис.).

Равномерно сходящиеся последовательности функций обладают важными свойствами; например, предельная функция равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций также непрерывна (приведённый выше пример показывает, что предельная функция последовательности непрерывных функций, которая не является равномерно сходящейся, может быть разрывной). Важную роль в математическом анализе играет теорема Вейерштрасса: каждая непрерывная на отрезке функция может быть представлена как предел равномерно сходящейся последовательности многочленов (или тригонометрических полиномов). См. также Приближение и интерполирование функций.

Рис. к ст. Равномерная сходимость.