РАВНОМЕРНАЯ ПОДГРУППА
локально компактной топологической группыG -такая замкнутая подгруппа , что фактор-пространствоG/Hкомпактно. С понятием Р. п. близко связано понятие квазиравномерной подгруппы вG,т. е. такой замкнутой подгруппы H вG,для к-рой наG/Hсуществует G-инвариантная мера Напр., подгруппаSL2(Z).группыSL2(R).квазиравномерна, но не равномерна в ней. С другой стороны, подгруппа Твсех верхнетреугольных матриц изSL2(R) - Р.п. вSL2(R),не являющаяся квазиравномерной (на факторпространствеSL2(R)/TнетSL2(R)-инвариантных мер). Однако всякая связная квазиравномерная подгруппа в группе Ли Gявляется Р. п. (см. [1]), а всякая дискретная Р. п. в G квазиравномерна [2]. (О дискретных Р. п. в группах Ли см.Дискретная подгруппа.).ЕслиG -связная группа Ли иН -Р. п. в G, то нормализаторNG(H0).в G связной компоненты единицыН0группы Нсодержит максимальную связную треугольную подгруппу группы G (см. [3]). Алгебраич. подгруппа Нсвязной алгебраической комплексной линейной группы Ли G тогда и только тогда является Р. п., когдаН -параболич. подгруппа в G. Описаны все связные Р. п. в полупростых группах Ли (см. [4]). Недискретная Р. п. Нсвязной полупростой группы Ли G обладает свойством сильной жесткости (см. [5]), к-рое состоит в том, что в Gимеется конечное число таких подгруппHi, i= 1,. . .,т,что любая подгруппа , изоморфнаяН,сопряжена одной из подгруппHi.Важные примеры равномерных и квазиравномерных подгрупп строятся следующим образом. Пусть G - линейная алгебраич. группа, определенная над полем рациональных чисел Q,GA- ее группа аделей и - подгруппа главных аделей. Тогда GQ--'дискретная подгруппа вGA,причем GQявляется Р. п. вGAтогда и только тогда, когда 1) У группы G нет нетривиальных рациональных характеров, определенных над полем Q, и 2) все унипотентные элементы группы GQпринадлежат ее радикалу (см. [6], [7]). В частности, еслиG -унипотентная алгебраич. группа, определенная над Q, то GQесть Р. п. вGA.Условие 1) является необходимым и достаточным для квазиравномерности GQвGA.
Лит.:[1] Моstоw G. D., "Ann. Math.", 1962, v. 75, № 1, p. 17-37; [2] Pагунатан М., Дискретные подгруппы групп Ли, пер. с англ., М., 1977; [3] Онищик А. Л., "Матем. сб.", 1966, т. 71, № 4, с. 483-94; [4] его же, там же, 1967, т. 74, А'" 3, о. 398-416; [5] Gоtо М., Wang H.- С., "Math. Ann.", 1972, Bd 198, Н. 4, S. 259-86; [6] Борель А.,"Математика", 1964, т. 8, JN" 2, с. 73-75; [7] Моstоw G. D., Тamagawа Т., "Ann. Math.", 1962, v. 76, № 3, p. 446-63.
В. Л. Попов.