РАВНОВЕЛИКИЕ И РАВНОСОСТАВЛЕННЫЕ ФИГУРЫ
- две фигуры в R2, имеющие равные площади и соответственно два многоугольникаM1иМ2такие, что их можно разрезать на многоугольники так, что части, составляющиеМ1,соответственно конгруэнтны частям, составляющимМ2.
Для , равновеликость означает равенство объемов; равносоставленность многогранников определяется аналогично с . Эти понятия обобщаются также на неевклидовы геометрии.
Площадь (многоугольника) есть функция s(M),удовлетворяющая следующим аксиомам:
(a) для любого многоугольника М;
(b) если Месть объединение многоугольниковМ1,...,Mk,попарно не имеющих общих точек, то
s(M)=s(M1)+...+s(Mk);(g) еслиM1иM2конгруэнтны, то s(M1)=s(M2);
(d) площадь квадрата, стороной которого является единица длины, равна 1.
С помощью этих аксиом определяется площадь прямоугольника.
Теорема. Если два многоугольника равносостав-лены, то они равновелики.
На этой теореме основан метод разбиения, известный еще Евклиду: для вычисления площади многоугольника пытаются разбить его на конечное число частей, из к-рых можно составить фигуру известной площади. Напр., параллелограмм равносоставлен с прямоугольником, имеющим то же основание и ту же высоту (см.рис. 1); треугольник равносоставлен с параллелограммом, имеющим то же основание и вдвое меньшую высоту (см. рис. 2).
Таким образом, вся теория площадей многоугольников может быть построена на основе теоремы о площади прямоугольника.
Существует и другой способ вычисления площадей, основанный на аксиомах (b) и (g),- метод дополнения. Два многоугольника наз. равнодополняемыми, если их можно дополнить соответственно конгруэнтными частями так, чтобы получились конгруэнтные многоугольники.
Напр., параллелограмм и прямоугольник с одинаковыми основаниями и одинаковыми высотами равнодополняемы (см. рис. 3) и потому равновелики.
В евклидовой плоскости два многоугольника в том и только в том случае равновелики, если они равносоставлены (а также если они равнодополняемы). Аналогичная теорема справедлива в плоскости Лобачевского и в эллиптической плоскости. Напротив, в неархимедовой геометрии эквивалентны лишь равновеликость и равнодополняемость; равновеликость же им не эквивалентна.
Теория объемов в базируется на аксиомах (а), (b), (g), (d), аналогичных аксиомам площади. Однако для вычисления объема тетраэдра со времен Евклида используется предельный переход ("чертова лестница"), а в современных учебниках - интеграл, определение к-рого также связано с предельным переходом. Обоснование использования "лишнего" (по сравнению с планиметрией) предельного перехода, доказательство того, что методами разбиения и дополнения невозможно вычислить объем произвольного тетраэдра, составили третью проблему Гильберта. В 1900 М. Ден (М. Dehn), решил третью проблему, доказав, что правильный тетраэдр и равновеликий ему куб не равносоставлены. Для равносоставленности двух равновеликих многогранниковMiиМ2в необходимо и достаточно, чтобы для каждого инварианта Дена f(М).(нек-рой функции от длин ребер и величин соответствующих двугранных углов, см. [2]) выполнялось равенство f(М1)=f(M2).
Имеются многомерные обобщения инвариантов Дена, с помощью к-рых сформулировано необходимое условие равносоставленности и доказано, что при правильный re-мерный симплекс не равносоставлен с равновеликим ему кубом. В необходимое условие равносоставленности является также и достаточным. ПустьG -нек-рая группа движений плоскости. Два многоугольникаМ1иМ2наз. G-конгруэнтными, если существует такое движение , что g(M1)=M2.Два многоугольникаМ1иМ2наз. G-равносоставленными, если их можно разрезать на части таким образом, что части, доставляющиеM1,соответственно конгруэнтны частям, составляющимM2Аналогично определяется G-равносоставленность многогранников.
ПустьS -группа движений, состоящая из всех параллельных переносов и центральных симметрии. Понятия равносоставленности и S-равносоставленности вR2эквивалентны. В частности, равновеликие многоугольники можно разбить на части таким образом, что соответствующие их части не только конгруэнтны, но и имеют соответственно параллельные стороны.
Равносоставленность в том и только в том случае эквивалентна G-равносоставленности, если в случае и в случае , гдеD0-группа всех движений, сохраняющих ориентацию.
Ниже приводится определение флаговых инвариантов, позволяющих дать необходимое и достаточное условие T-равносоставленности, гдеТ -группа всех параллельных переносов. Пусть - такая последовательность подпространств пространства , что (верхний индекс означает размерность). Пусть, далее, для каждогоj=i+l,. . ., nфиксировано одно из двух полупространств, на к-рое разбивается подпространством ; это полупространство наз. "положительным" и обозначено черезPj.Последовательность Ф= (Рп, . ..,Pi+1).наз. флагом порядкаi в.Пусть, наконец, Q= (Мп-1, . . .,Мi)-такая последовательность граней многогранника , что . ЕслиMj||RJдля всехj = i,. . ., п-1, то полагают
где |Мi|есть i-мерный объем граниМi,а ej=+1 в зависимости от того, примыкает лиМj+1к Mjсположительной стороны или нет. Если же хотя бы для одного j, тоНф(Q)=0;Нф(Мп)-сумма SНф(Q).по всем последовательностямQ,составленным из граней многогранникаМп.
Два равновеликих многогранника в том и только в том случае Г-равносоставлены, если для каждого флангового инвариантаНфего значения на этих многогранниках одинаковы.
Многогранник наз.k-кратной суммой Минковского, если существуют такие многогранникиN1,. . ., Nk(положительных размерностей), несущие плоскости к-рых порождают разложение пространства в такую прямую сумму, чтоMn=N1+. . . +Nk, (в смысле векторной суммы множеств). Многогранник называется принадлежащим классу , еслиМпможно разбить на конечное число многогранников, каждый из к-рых T-равносоставлен с многогранником, представляющимся в виде k-кратной суммы Минковского.
Многогранник в том и только в том случае, еслиНф(Мп)=0для всех флаговых инвариантовHФпорядков, меньшихk.
Пусть Г - группа, состоящая из всех гомотетий с положительными коэффициентами и параллельных переносов. В Rnлюбые два многогранника Г-равносоставлены. Рис. 4 иллюстрирует Г-равносоставленность треугольника и прямоугольника (одинаковыми цифрами обозначены Г-конгруэнтные многоугольники).
Пусть при гомотетии с коэффициентом l>0 объем n-мерного многогранника увеличивается в lnраз. Если принять это утверждение как аксиому, то объем любого многогранника может быть найден методом разбиения.
Пусть группа движенийG в n-мерном евклидовом, гиперболическом или эллиптич. пространстве почти транзитивна (т. е. орбита точки всюду плотна); два многогранника в этом пространстве тогда и только тогда G-равнодополняемы, когда они G-равносоставлены.
Лит.:[1] Проблемы Гильберта, М., 1969; [2] Болтянский В. Г., Равновеликие и равносоставленные фигуры, М., 1956; [3] его же, Третья проблема Гильберта, М., 1977; [4] Xадвигер Г., Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии, пер. с нем., 1966; [5] Iessen В., Тhorup A., "Math. Scand.", 1978, v. 43, fasc. 2, p. 211-40.
В. Г. Болтянский.
- равновеликие и равносоставленные фигуры—РАВНОВЕЛИКИЕ И РАВНОСОСТАВЛЕННЫЕ ФИГУРЫ. Равновеликие фигуры плоские пространственные фигуры одинаковой площади объма равносоставленные фигуры фигуры крые можно разреза...Большая советская энциклопедия
- равновеликие и равносоставленные фигуры—Равновеликие фигуры плоские пространственные фигуры одинаковой площади объма равносоставленные фигуры фигуры которые можно разрезать на одинаковое число соответственно ...Большая Советская энциклопедия II
- равновеликие и равносоставленные фигуры—ронавялкя ранаскладзеныя фгуры...Русско-белорусский математический словарь