Математическая энциклопедия

ПОПЕРЕЧНИК

множества - величина, характеризующая уклонение множества в метрич. пространстве от нек-рой системы объектов (как правило, конечномерных) при определенном методе приближения, а также величина, характеризующая точность восстановления элемента из данного множества при определенном методе кодирования. Наиболее изучены П., характеризующие возможность аппроксимации множества конечномерными компактами и конечномерными линейными многообразиями (поперечники по Александрову и поперечник по Колмогорову).

ПустьX -нормированное пространство с единичным шаромВ,-аппроксимируемое подмножество в ,- нек-рая совокупность аппроксимирующих подмножеств, F(С, А)-нек-рая совокупность отображений , наконец, - заданная совокупность отображений из аппроксимируемого в аппроксимирующее множества. Число

(1)

характеризует величину уклонения аппроксимируемого множества Сот совокупности аппроксимируемых множеств при методе аппроксимации .

Большинство П., характеризующих аппроксимационные свойства того или иного аппарата приближения, задаются по типу (1).

Если -совокупность {МN}всех линейных многообразий (т. е. сдвигов линейных подпространств) размерности , a F(С, МN)-совокупность всех отображений из С вМN,то величина (1), называемаяN-поперечником по Колмогорову множества Си обозначаемая обычноdN(C, X),характеризует минимальное уклонение данного множества С

от N-мерных линейных многообразий, т.dNтаковы (см. [1]):

(1')

Если (или= - совокупности всех подпространств{LN}размерности , а F(С, MN)(F(C, LN))-совокупность всех аффинных (линейных) непрерывных отображений из С вMN(LN),то величина (1), обозначаемая aN(С, Х).lN(С, X)).и называемая аффинным (линейным)N-поперечником, характеризует аппроксимативные возможности аффинных (линейных) N-мерных отображений.

Если есть совокупность{КN}всех N-мерных компактов (или, равнозначно, всех N-мерных полиэдров), a F(C, KN)-множество всех непрерывных отображений из С вKN,то величина (1), называемаяN-пoперечником по Александрову и обозначаемаяаN(С, X),характеризует степень аппроксимации множестваС N-мерными компактами.

Если - совокупность {xN} всех N-точечных множеств xN{х1, ... , xN} вX,a F(C,xN) - совокупность всех отображений из С в xN, то П. (1), обозначаемый eN(С, X),характеризует наименьшее уклонение данного Сот N-точечных множеств, т. е. характеризует аппроксимативные возможности N-точечных множеств.

Все введенные выше аппроксимативные П. зависят от объемлющего пространства Xи могут изменяться при погружении Сс его метрикой в другое нормированное пространство.

Другой тип П. связан с задачами "кодирования" элементов множества Сэлементами другой природы или, как этот процесс еще иначе называют, с задачей восстановления. ПустьС -метрич. пространство,Z={z}-нек-рая совокупность "кодирующих" множеств, j(С, z) - нек-рая совокупность отображений f : С z. Наконец, - заданная совокупность методов кодирования. Величина

(2)

где через D(Е).обозначен диаметр множестваЕ,характеризует восстановимость элементов множества Спо информации, "закодированной" элементами множеств z из Zс помощью отображений из Ф. Большинство П., связанных с процессами восстановления, задается по типу (2).

Если Ф - совокупность всевозможных отображений из СвZ,состоящего из одного множества (1, ... , N}, то П. (2), обозначаемый eN(C), характеризует точность восстановления элемента с помощью таблицы, состоящей из N элементов. Если Слежит в линейном нормированном пространстве Xи Ф - совокупность всех непрерывных аффинных отображений из Xв RN, то величина,, равнаярф(С)/2,гдерф(С).определено в (2). называемая N-поперечником по Гельфанду и обозначаемаяdN(C),характеризует точность восстановления элементов но их образам при аффинных отображениях в . Для центрально-симметричных множеств величиныdNимеется другое равносильное определение:

(2')

гдеLN- замкнутое подпространство коразмерности N. Пусть Zсостоит из всех N-мерных компактов{KN},j (С, KN)-совокупность всех непрерывных отображений из С в , тогда (2) называется

N-поперечником по Урысону и обозначаетсяuN(C).Другое равносильное и общепринятое определение поперечника Урысона таково:uN(C).есть нижняя грань диаметров покрытий множества Скратности N+1. Поперечник по Урысону характеризует степень N-мерности (с точки зрения брауэровской размерности) множестваС.

Впервые величину, названную впоследствии П., ввел в 1923 П. С. Урысон (см. [2]), когда он определилuN. В 1933 П. С. Александров [3] вскрыл аппроксимативные аспекты теории размерности, что привело его к определениюaN. В 1936 А. Н. Колмогоров [1] определил dN- именно этот П. наиболее интенсивно изучался далее в теории приближений. В 1931 Л. С. Понтрягин и Л. Г. Шнирельман (см. [4]) выразили размерность (топологич. характеристику), использовав асимптотическую метрич. характеристику Ne(С).(обратную к поперечнику eN(C)), равную для метрич. пространства Снаименьшему числу элементов 2e-покрытия для множестваС.Интерес к подобным величинам возрос в 50-х гг., когда А. Н. Колмогоров [5], базируясь на идеях теории информации, ввел величину Ne(С, X).(обратную к поперечнику eN(С, X)).и сформулировал программу исследований величин типа Ne(C), Ne(C, X).и им подобных как специальный раздел теории приближений, связанный с вопросами наилучшего табулирования функций. Двоичный логарифм величины Ne(C, X).получил название e-энтропиимножестваС,a log2Ne(С)-абсолютной e-энтропии множестваС.

Получено множество конкретных результатов, где те или иные П. (названные выше и иные) вычислялись для различных функциональных классов и геометрич. объектов. Такие вычисления можно разделить на две группы - асимптотические и точные.

Вот нек-рые результаты, касающиеся асимптотич. вычислений П. соболевских классов. ПустьWrp-совокупность функций r(.).па конечном отрезке (скажем, на [0, 1]), у к-рых (r-1)-я производная абсолютно непрерывна и для r-й производной выполнено неравенство


Доказана следующая асимптотич. формула:

(3)

Из частных случаев верхней строки формулы (3) следует, что асимптотически наилучшим аппроксимирующим пространством является пространство тригонометрич. полиномов или пространство сплайнов с равномерно распределенными узлами.

Ожидалось, что всегда имеет место такая асимптотика, т. е. подпространство тригонометрич. полиномов данной степени всегда будет асимптотически экстремальным. Однако оказалось, что это не так (см. [10], [13]). Тригонометрич. полиномы lin {cosnt,sinnt,0 nN} оказались асимптотически не экстремальными. Однако в ряде случаев "переставленные" гармоники, т. е. Nгармоник, взятых в "неправильном" порядке, все-таки оказались экстремальными.

Решение задачи о П. соболевских классов опирается на исследование вопроса о поперечнике n-октаэдров в :


При величина определяется точно; приpточно вычислена величина , она оказалась равной . Принципиальную роль при вычислении колмогоровских П. соболевских классов играют следующие оценки (см. [13]):

A) ;

Б)

гдеА -постоянная;

B) если , то при имеет место неравенство


Рассмотрен вопрос и об асимптотич. поведении александровских П. соболевских классов. Оказалось, что


Решить вопрос о точном вычислении П.- это найти экстремальный для данного класса аппарат приближения. Первый результат этого рода принадлежит А. Н. Колмогорову [1], к-рый решил задачу о вычислении поперечника и аналогичную задачу для периодич. класса в метрике L2([-p, p]).

Для вычисления точного значения поперечника впервые привлечены (см. [7]) топологич. методы (теорема о поперечнике шара, сводящаяся к теореме Борсука об антиподах). Эта теорема была обобщена (см. [12]) и применена к нахождению других точных решений. Впоследствии обнаружились интересные связи с вариационным исчислением и оптимальным управлением (см. [9]).

О поперечниках eN, eNи обратных к ним величинах Ne(C).и Ne(C, X).см. e-энтропия.

Вопросы о П. имеют тесное соприкосновение с разнообразными задачами геометрии. Напр., задача об асимптотике величины тесно связана с задачей о наилучшем замощении пространства сферами. Зависимость асимптотических П. от объемлющего пространства привела к идее введения абсолютных П.- величин


где нижняя грань берется по всем вложениямС сего метрикой в объемлющее пространствоX.При этом оказывается (см. [9]), напр., что


Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Ann. Math.", 1936, v. 37, p. 107-10; [2] Урысон П. С., Труды по топологии и другим областям математики, т. 1, М.- Л., 1951, с. 483; [3] Александров П. С., "Fund, math.", 1933, v. 20, p. 140-50; [4] Понтрягин Л., Шнирельман Л. Г., в кн.: Гуревич В., Волмэн Г., Теория размерности, пер. с англ., М., 1948, с. 210-18; [5] Колмогоров А. Н., "Докл. АН СССР", 1956, т. 108, М 3, с. 385-88; [6] Брудный Ю. А., Тима н А. Ф., там же, 195", т. 126, № 5, с. 927-30; [7] Тихомиров В. М., "Успехи матем. наук", I960, т. 15, в. 3, с. 81 - 120; 1965, т: 20, в. 1, с. 227-30;' E8] его же, Некоторые вопросы теории приближений, М., 1976; [9] его же, в кн.: Теория приближения функций. Тр. Межд. конф. по теории приближения функций. Калуга. 1975, М., 1977, с. 359-65; [10] Исмагилов Р. С., в кн.: Геометрия линейных пространств и теория операторов, Ярославль, 1977, с. 75-113; [11] его же, "Успехи матем. наук", 1974, т. 29, в. 3, с. 161-78; [12] Маковоз Ю. И., "Матем. сб.", 1972, т. 87, № 1, с. 136-42; [13] Кашин Б. С., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1977, т. 41, № 2, с. 334-51; [14] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории приближения, М., 1976.

В. М. Тихомиров.


Синонимы:
вопречник, встречник, диаметр, перечник, поперетчик, прекословник, сагома, упрямец


  1. поперечник—протяженностьstrong поперекstrong сечение поперечные размеры проводов.поперечник поперечный симметричный размер.диаметр.калибр.охват. в обхват. в три обхвата дерево ...Идеографический словарь русского языка
  2. поперечник—поперечная дорога. EdwART.Словарь автомобильного жаргона Синонимы вопречник встречник диаметр перечник поперетчик прекословник сагома упрямец...Автомобильный словарь
  3. поперечник—м. diametro два метра в поперечнике due cinque metri di diametro Итальянорусский словарь. Синонимы вопречник встречник диаметр перечник поперетчик прекословник сагома уп...Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь
  4. поперечник—поперечник м Durchmesser m dСинонимы вопречник встречник диаметр перечник поперетчик прекословник сагома упрямец...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  5. поперечник—мDurchmesser m вопречник встречник диаметр перечник поперетчик прекословник сагома упрямец...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  6. поперечник—м.dimetro mпять меuтров в попереuчнике cinco metros de dimetro...Большой русско-испанский словарь
  7. поперечник—сущ. муж. рода...Большой русско-украинский словарь
  8. поперечник—м. diamtre m пять метров в поперечнике cinq mtres de diamtre...Большой русско-французский словарь
  9. поперечник—ПОПЕРЕЧНИК крестовина спортивного оружия....Большой словарь оружия
  10. поперечник—мен. чол. роду...Большой украинско-русский словарь
  11. поперечник—м.diamtre mпять метров в поперечнике cinq mtres de diamtre вопречник встречник диаметр перечник поперетчик прекословник сагома упрямец...Большой французско-русский и русско-французский словарь
  12. поперечник—а ч.i Уявна або зроблена лня по ширин чогонебудь. Те саме що даметр. рдкоi. Те саме що поперечка....Великий тлумачний словник (ВТС) сучасної української мови
  13. поперечник—поперечник а...Дзвона чи дзвону? або -А (-Я) чи -У (-Ю) в родовому відмінку
  14. поперечник—Поперечник diametros i f dimetiens entis f...Латинский словарь
  15. поперечник—а м.em Ширина любого круглого или кажущегося круглым предмета вместилища пространства.И вот перед нами озеро водная равнина версты четыре в поперечнике.em Гоголь Мертвые...Малый академический словарь
  16. поперечник—корень ПОПЕРЕЧ суффикс НИК нулевое окончаниеОснова слова ПОПЕРЕЧНИКВычисленный способ образования слова Суффиксальный ПОПЕРЕЧ НИК Слово Поперечник содержит следующие...Морфемный разбор слова по составу
  17. поперечник—Начальная форма Поперечник винительный падеж единственное число мужской род неодушевленное...Морфологический разбор существительных
  18. поперечник—поперечник . м. Размер в ширину диаметр. . м. местн. Тот кто делает все наперекор своевольный своенравный человек....Новый толково-словообразовательный словарь русского языка
  19. поперечник—поперечник поперечник а...Орфографический словарь
  20. поперечник—u мu мн.u поперечники Р.u поперечников вопречник встречник диаметр перечник поперетчик прекословник сагома упрямец...Орфографический словарь русского языка
  21. поперечник—поперечник менник чоловчого роду...Орфографічний словник української мови
  22. поперечник—клденедк...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
  23. поперечник—поперечник поперечники поперечника поперечников поперечнику поперечникам поперечник поперечники поперечником поперечниками поперечнике поперечниках...Полная акцентуированная парадигма по Зализняку
  24. поперечник—Орфографическая запись слова поперечник Ударение в слове поперечник Деление слова на слоги перенос слова поперечник Фонетическая транскрипция слова поперечник [папирэнк]...Полный фонетический разбор слов
  25. поперечник—Поперечник ка ники кв...Правописний словник Голоскевича
  26. поперечник—поперечник поперек шир шириня. Два аршина в ке два аршини ушир завширшки. ник круга см. Диаметр....Російсько-український словник (Українська академія наук)
  27. поперечник—поперечник аСинонимы вопречник встречник диаметр перечник поперетчик прекословник сагома упрямец...Русский орфографический словарь
  28. поперечник—М . tex. diametr . bax поперечина . qarnalt yhrd palanda....Русско-азербайджанский словарь
  29. поперечник—поперечник м.u .strong ширина напр. круглого предмета пространство diameter .strong размер напр. частиц particle size acrossчастицы с поперечником мм a particle size of...Русско-английский политехнический словарь
  30. поперечник—поперечник м.idiameter пять метров в поперечнике five metres in diameter five metres across...Русско-английский словарь
  31. поперечник—m.diameter width nпоперечник по Колмогорову Kolmogorov nwidthСинонимы вопречник встречник диаметр перечник поперетчик прекословник сагома упрямец...Русско-английский словарь математических терминов
  32. поперечник—м.diameter size acrossв поперечнике о размерахem across...Русско-английский словарь по физике
  33. поперечник—diameter отризательное поперечник поперечник крыла поперечник частицыСинонимы вопречник встречник диаметр перечник поперетчик прекословник сагома упрямец...Русско-английский технический словарь
  34. поперечник—папярочнк...Русско-белорусский математический словарь
  35. поперечник—Папярочнк дыяметр десять сантиметров в поперечнике дзесяць сантыметра у дыяметры у папярочнку...Русско-белорусский словарь
  36. поперечник—тех.i папярочнк муж. дыяметр муж.iдесять сантиметров в поперечнике дзесяць сантыметра у дыяметры у папярочнку...Русско-белорусский словарь II
  37. поперечник—вопречник встречник диаметр перечник поперетчик прекословник сагома упрямец...Русско-ивритский словарь
  38. поперечник—diametral...Русско-испанский автотранспортный словарь
  39. поперечник—м. diametro m dimensione f sezione f trasversale...Русско-итальянский политехнический словарь
  40. поперечник—клдене тстама...Русско-казахский терминологический словарь «Водное хозяйство»
  41. поперечник—м. тех. поперечник туура диаметр....Русско-киргизский словарь
  42. поперечник—zhjngСинонимы вопречник встречник диаметр перечник поперетчик прекословник сагома упрямец...Русско-китайский словарь
  43. поперечник—caurmrs sedulkas siksna...Русско-латышский словарь
  44. поперечник—skersmuo ens b...Русско-литовский словарь
  45. поперечник—поперечникм ....Русско-новогреческий словарь
  46. поперечник—rednica...Русско-польский словарь
  47. поперечник—мdimetro m вопречник встречник диаметр перечник поперетчик прекословник сагома упрямец...Русско-португальский словарь
  48. поперечник—поперечник утр утри доира...Русско-таджикский словарь
  49. поперечник—м аркылысы пять метров в поперечнике аркылысы биш метр...Русско-татарский словарь
  50. поперечник—мap kutur tru вопречник встречник диаметр перечник поперетчик прекословник сагома упрямец...Русско-турецкий словарь
  51. поперечник—матем. физ. поперечник поперечник окрестности Синонимы вопречник встречник диаметр перечник поперетчик прекословник сагома упрямец...Русско-украинский политехнический словарь
  52. поперечник—krtk pekop prmr pnk...Русско-чешский словарь
  53. поперечник—.strong diameeter.strong juhtme ristlige lbimt...Русско-эстонский словарь
  54. поперечник—поперечникСинонимы вопречник встречник диаметр перечник поперетчик прекословник сагома упрямец...Русское словесное ударение
  55. поперечник—поперечник поперетчик прекословник перечник упрямец диаметр Словарь русских синонимов. поперечник см. упрямец Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. ...Словарь синонимов II
  56. поперечник—поперечник поперетчик прекословник перечник упрямец диаметр...Словарь синонимов
  57. поперечник—h поперечникbig сущ.муж.неод.i ед.пр. не более верст в поперечнике.Пр....Словарь языка Грибоедова
  58. поперечник—кола дяметр Р. поперечка поперечина....Словник синонімів Караванського
  59. поперечник—ДАМЕТРstrong вдрзок прямо що сполуча дв точки кола проходить через його центр ПОПЕРЕЧНИКstrong ПРОМРstrong дал. Велика велика площа. Далеко на ншому боц площ ямка дамет...Словник синонімів української мови
  60. попере́чник—ПОПЕРЕЧНИК а ч. . Уявна або зроблена лня по ширин чогонебудь. Богдан Хмельницький знав клька форм таборв найчастше робили у чотири ряди з крилами довшими за поперечники ...Словник української мови в 11 томах
  61. поперечник—ПОПЕРЕЧНИК а ч. Уявна або зроблена лня по ширин чогонебудь.Богдан Хмельницький знав клька форм таборв найчастше робили у чотири ряди з крилами довшими за поперечники П. ...Словник української мови у 20 томах
  62. поперечник—ПОПЕРЕЧНИК а м. Размер в ширину...Толковый словарь Ожегова
  63. поперечник—ПОПЕРЕЧНИК поперечника м. . чн. Диаметр тех. Дерево шести вершков в поперечнике. . шн. То же что поперчина спец. Ремень перекинутый через седелку и подтягивающий оглобли...Толковый словарь русского языка II
  64. поперечник—поперечник поперечник а м. Размер в ширину диаметр. П. трубы....Толковый словарь русского языка II
  65. поперечник—ПОПЕРЕЧНИК а м. Размер в ширину диаметр. Поперечник трубы....Толковый словарь русского языка
  66. поперечник—а ч. Уявна або зроблена лня по ширин чогонебудь. Те саме що даметр. рдкоem. Те саме що поперечка....Толковый словарь украинского языка
  67. поперечник—Ударение в слове поперечникУдарение падает на букву еБезударные гласные в слове поперечник...Ударение и правописание
  68. поперечник—астр. матем. диаметр поперечник тычок...Украинско-русский политехнический словарь
  69. поперечник—Diameterпять метрв у поперечнику five metres in diameter five metres across...Українсько-англійський словник
  70. поперечник—em...Українсько-китайський словник
  71. поперечник—а m . rednica . pas w uprzy...Українсько-польський словник (Мар'ян Юрковський, Василь Назарук)
  72. поперечник—техн. поперечник...Українсько-російський словник
  73. поперечник—Rzeczownik поперечник m rednica f...Универсальный русско-польский словарь
  74. поперечник—поперечник поперечники поперечника поперечников поперечнику поперечникам поперечник поперечники поперечником поперечниками поперечнике поперечниках Источник Полная акцент...Формы слова
  75. поперечник—Рок Роение Роек Рнк Рио Ринк Рин Рико Рик Речник Репник Репин Рено Рение Проч Прок Прион Преп Прение Почин Почерк Поч Попрек Попик Поперечник Поперек Поп Пончик Пони Покр...Электронный словарь анаграмм русского языка