Математическая энциклопедия

ПОЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

1) П. р. линейного преобразования - разложение линейного преобразования конечномерного евклидова (или унитарного) пространства Lв произведение самосопряженного и ортогонального (соответственно унитарного) преобразования. Каждое линейное преобразование Апространства Lдопускает П. р.

A=S.U,

гдеS -положительно полуопределенное самосопряженное линейное преобразование, aU -ортогональное (или унитарное) линейное преобразование, причем Sопределяется единственным образом. Если Аневырожденно, то преобразование Sявляется даже положительно определенным, а Uтакже определяется однозначно. Для одномерного унитарного пространства П. р. совпадает с представлением комплексного числа z в тригонометрия, форме.А. Л. Онищик.

2) П. р. оператора - представление оператора А, действующего в гильбертовом пространстве, в видеA = UT,

гдеU -частично изометрический, аТ -положительный операторы. Всякий замкнутый оператор Адопускает П. р., причемТ=(А*А)1/2(часто используют обозначение T=|A|), a Uотображает замыкание области определения сопряженного оператора Ана замыкание области значений оператора А(теорема Неймана, см. [1]). П. р. становится единственным, если потребовать, чтобы начальное и конечное подпространства оператора Uсовпадали соответственно с и .С другой стороны, Uвсегда можно выбрать унитарным, изометрическим или коизометриче-ским - в зависимости от соотношения коразмерностей подпространств иRA.В частности, если


то можно выбрать Uунитарным и найти такой эрмитов оператор Ф, что U=ехр(iФ). Тогда П. р. оператора Азапишется в видеА = |A|ехр(iФ), полностью аналогичном П. р. комплексного числа. Перестановочность сомножителей в П. р. имеет место тогда и только тогда, когда оператор нормален.

Получен (см. [2], |3]) аналог П. р. для операторов в пространстве с индефинитной метрикой.

3) П. р. функционала на алгебре Неймана - представление нормального функционала f на алгебре НейманаА ввиде f=up,гдер -положительный нормальный функционал наА,- частичная изометрия (то естьи*ииии*- проекторы), умножение понимается как действие на функционал роператора, сопряженного к левому умножению на ив А:f(x)=p(ux).для всех. П. р. всегда можно осуществить таким образом, чтобы выполнялось условие:u*f=p.При этом условии П. р. определено однозначно.

Всякий ограниченный линейный функционал f на произвольной C*-алгебре Аможно рассматривать как нормальный функционал на универсальной обертывающей алгебре НейманаА";соответствующее П. р. f=upназ. обертывающим полярным разложением функционала f. Сужение функционала рна Аназывается абсолютной величиной функционала и обозначается |f|; следующие свойства однозначно определяют функционал


В случае, когдаА=С(Х)-алгебра всех непрерывных функций на компакте, абсолютная величина функционала соответствует полной вариации определенной им меры.

П. р. функционала во многом позволяет сводить изучение функционалов на C*-алгебрах к изучению положительных функционалов. С его помощью, напр., можно построить для каждого такое представление p, алгебрыА,в к-ром f реализуется векторно (т. е. существуют векторы x, h из Hpтакие, что f(x) = (p(x)x, h), ),- таким свойством будет обладать представление p|f|, построенное по положительному функционалу p|f| с помощью конструкции Гельфанда - Наймарка - Сегала ГНС-конструкции).

4) П. р. элементаС*-алгебры - представление элемента С*-алгебры в виде произведения положительного элемента на частично изометрический. П. р. возможно не для всех элементов: в обычном П. р. оператора Тв гильбертовом пространстве положительный сомножитель принадлежит С*-алгебре, порожденнойТ,но о частично изометрическом сомножителе можно утверждать лишь, что он принадлежит порожденной Талгебре Неймана. Поэтому определяют и используют т. н. обертывающее П. р. элемента : a=ut,где - частично изометрич. элемент универсальной обертывающей алгебры НейманаА "(предполагается, что Аканонически вложена вА ").

Лит.:[1] Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; [2] Воgnar J., "Stud. Scient. Math. Hung.", 1966, t. 1, № 1/2, p. 97-102; [3] Диксмье Ж., С*-алгебры и их представления, пер. с франц., М., 1974. В.С. Шульман.


  1. полярное разложение—палярны расклад...Русско-белорусский математический словарь
  2. полярное разложение—полярний розклад...Русско-украинский политехнический словарь