Математическая энциклопедия

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

детерминант, квадратной матрицыА=||aij||порядка пнад ассоциативно-коммутативным кольцом K с единицей 1 - элемент кольца K, равный сумме всех членов вида


гдеi1, . . ., in-перестановка чисел 1, . . .,п,a t- число инверсий перестановкиi1,...,in. О. матрицы обозначается



О. матрицы Асодержитп!членов; при n-1 det A =a11, прип=2detА=а11а22-a2la12.Наиболее важные для приложений случаи: K - поле (в частности, числовое поле),К -кольцо функций (в частности, кольцо многочленов), K - кольцо целых чисел.

Всюду ниже К- ассоциативно-коммутативное кольцо с 1,Мп(К)-совокупность всех квадратных матриц порядка пнад K,Еп-единичная матрица над А. Пусть , а а1, . . .,ап-строки матрицы А(все далее изложенное справедливо и для столбцов матрицы А).О. матрицы A удобно рассматривать как функцию от ее строк:


Отображение


подчинено следующим трем условиям:

1) d(A)-линейная функция любой строки матрицы А:


где l, ;

2) если матрица Вполучена из Азаметной строкиаiстрокой,, то;

3)

Условия 1) - 3) однозначно определяют отображениеd,т.е. если отображение удовлетворяет условиям 1) - 3), то h(A)=detА.Таким образом получается аксиоматич. построение теории О.

Пусть отображение удовлетворяет условию:

1а) если Вполучается из матрицы Л умножением одной строки на ,то . Очевидно, В случае, когда К- поле, совокупность условий 1) - 3) оказывается равносильной условиям 1а), 2), 3).

О. диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. Отсюда вытекает сюръективность отображения . О. треугольной матрицы также равен произведению ее диагональных

элементов. Для матрицы , где Ви С- квадратные матрицы,


Из свойств перестановок вытекает, что > гдеТ-знак транспонирования. Если матрица Аимеет две одинаковые строки, то ее определитель равен 0; если поменять местами две строки матрицыА,то ее О. изменит знак;


при ; дляА и В из Мп(К)


Таким образом, отображение dесть эпиморфизм мультипликативных полугруппМп(К).и K.

Пусть есть (mx n) матрица, есть (nx m) - матрица над K, аС=АВ.Тогда верна формула Вине-Коши:


Пусть , aAij-алгебраич. дополнение элементаaij.Тогда верны формулы


где - символ Кронекера. Для вычислений О. часто используются разложение его по элементам строки или столбца, т. е. формулы (1), теорема Лапласа (см.Алгебраическое дополнение).и преобразования матрицыА,не меняющие О. Для матрицы АизМп(К).тогда и только тогда существует обратная матрицаА-1вМп(К),когда в Кимеется элемент, обратный элементу delA .Следовательно, отображение


где GL (п, К)-группа всех обратимых матриц вМп(К),т. е. полная линейная группа, аК*-группа обратимых элементов K, есть эпиморфизм этих групп. Квадратная матрица над полем обратима тогда и только тогда, когда ее О. отличен от нуля, n-мервые векторы a1...,апнад полем Fлинейно зависимы тогда и только тогда, когда


О. матрицы Апорядка n>1 над полем равен 1 тогда и только тогда, когда Аесть произведение элементарных матриц вида


где , aeij-матрица, единственный ненулевой элемент к-рой равен 1 и расположен на позиции (i, j). Теория О. возникла в связи с задачей решения систем линейных уравнений:


гдеaij,bj-элементы нек-рого поляF.Если , где - матрица системы (2), то эта система имеет единственное решение, вычисляемое по формулам Крамера (см.Крамера правило).В случае, когда система (2) задана над кольцом Ки det Аобратим вК,система также имеет единственное решение, определяемое теми же формулами Крамера.

Теория О. построена также и для матриц над некоммутативным ассоциативным телом. О. матрицы над телом k(определитель Дьёдонне) вводится следующим образом. Тело kрассматривается как полугруппа и строится ее коммутативный гомоморфный образ .k -группаk*с внешне присоединенным нулем 0, а в качестве берется также группа с внешне присоединенным нулем , где - факторгруппа группыk*по коммутанту. Эпиморфизм задается канонич. эпиморфизмом групп и условием . Очевидно, - единица полугруппы

Теория О. над телом основана на следующей теореме. Существует единственное отображение


удовлетворяющее следующим трем аксиомам:

I) если матрица Вполучена из матрицы Аумножением слева одной строки на , то ;

II) если Вполучена из Азаменой строки aiстрокойai+aj, где , то ;

III)

Элемент наз. определителем матрицы Аи обозначается detA.Для коммутативного тела аксиомы I), II), III) совпадают с условиями 1а), 2), 3) соответственно, и, следовательно, в этом случае получаются обычные О. над полем. Если A = diag [an,...,аап],тотаким образом, отображение сюръективно. Матрица АизMn(k).обратима тогда и только тогда, когда. Справедливо равенство . Как и в коммутативном случае, det Ане изменится, если строкуаiматрицы Азаменить строкой , где При тогда и только тогда, когда Апроизведение элементарных матриц вида , . Если , то


В отличие от коммутативного случая, detATможет и не совпадать с detА.Напр., для матрицы


над теломкватернионов, а

Бесконечные О., то есть О. бесконечных матриц, определяются как предел, к к-рому стремится О. конечной подматрицы при бесконечном возрастании ее порядка. Если этот предел существует, то О. наз. сходящимся, в противном случае - расходящимся.

Понятие "О." восходит к Г. Лейбницу (G. Leibnitz, 1678); первая публикация принадлежит Г. Крамеру (G. Cramer, 1750). Теория О. создана трудами А. Ван-дермонда (A. Vandermonde), П. Лапласа (P. Laplace), О. Коши (A. Cauchy) и К. Якоби (С. Jacobi). Термин "О." встречается впервые у К. Гаусса (С. Gauss, 1801). Современное обозначение введено А. Кэли (A. Cayley, 1841).

Лит.:[1] Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975; [2] Кострикин А. И., Введение в алгебру, М., 1977; [3] Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970; L4] Тышкевич Р. И., Феденко А. С., Линейная алгебра и аналитическая геометрия, 2 изд., Минск, 1976;[5] А р т и н Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969; М Б у р б а к и Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [7] Каган В. Ф., Основания теории определителей, Одесса, 1922. Д.А.


Синонимы:
автоопределитель, гессиан, детерминант, минор, опознаватель, пылеопределитель, фотоопределитель, этноопределитель, якобиан


  1. определитель—ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ детерминант особого рода матем. выражение встречающееся в различных областях математики. Пусть дана матрица iпорядка п iт. е. квадратная таблица составленная...Большая советская энциклопедия
  2. определитель—детерминант особого рода математическое выражение встречающееся в различных областях математики. Пусть дана Матрица порядка nem т. е. квадратная таблица составленная из п...Большая Советская энциклопедия II
  3. определитель—м. книжн. книга таблица classificatore мат. determinante Итальянорусский словарь. Синонимы автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фото...Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь
  4. определитель—determinant key...Большой русско-английский словарь биологических терминов
  5. определитель—м. tratado mem ndice m мат.em determinante m...Большой русско-испанский словарь
  6. определитель—сущ. муж. рода с.х. спец.визначник определитель растений книга визначник рослин...Большой русско-украинский словарь
  7. определитель—м. мат. dterminant m...Большой русско-французский словарь
  8. определитель—м. мат.dterminant m автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоопределитель этноопределитель якобиан...Большой французско-русский и русско-французский словарь
  9. определитель—детерминант составленное по определенному правилу из nчисел математическое выражение применяемое при решении и исследованиисистем алгебраических уравнений й степени. Чис...Большой энциклопедический словарь II
  10. определитель—ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ детерминант составленное по определенному правилу из n чисел математическое выражение применяемое при решении и исследовании систем алгебраических уравнений...Большой Энциклопедический словарь V
  11. определитель—детерминант составленное по определ. правилу из nsup чисел матсм. выражение применяемое при решении и исследовании систем алгебр. урний и степени. Число пi паз. порядком...Естествознание. Энциклопедический словарь
  12. определитель—Определитель definitorium determinator determinatorium...Латинский словарь
  13. определитель—я м.em То чем определяется обусловливается чтол. наша пропаганда и пропаганда всех социалдемократических рабочих входит одним из определителейu того будет революция или н...Малый академический словарь
  14. определитель—корень ОПРЕДЕЛ суффикс И суффикс ТЕЛЬ нулевое окончаниеОснова слова ОПРЕДЕЛИТЕЛЬВычисленный способ образования слова Суффиксальный ОПРЕДЕЛ И ТЕЛЬ Слово Определите...Морфемный разбор слова по составу
  15. определитель—Начальная форма Определитель винительный падеж единственное число мужской род неодушевленное...Морфологический разбор существительных
  16. определитель—определитель м. То что определяет собою чтол. Книга служащая для справок при определении чегол....Новый толково-словообразовательный словарь русского языка
  17. определитель—определитель определитель я...Орфографический словарь
  18. определитель—u мu мн.u определители Р.u определителей автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоопределитель этноопределитель якобиан...Орфографический словарь русского языка
  19. определитель—анытауыш...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
  20. определитель—math...Политехнический русско-французский словарь
  21. определитель—определитель определители определителя определителей определителю определителям определитель определители определителем определителями определителе определителях...Полная акцентуированная парадигма по Зализняку
  22. определитель—Орфографическая запись слова определитель Ударение в слове определитель Деление слова на слоги перенос слова определитель Фонетическая транскрипция слова определитель [а...Полный фонетический разбор слов
  23. определитель—ница ви[о]значник ниця....Російсько-український словник (Українська академія наук)
  24. определитель—определитель яСинонимы автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоопределитель этноопределитель якобиан...Русский орфографический словарь
  25. определитель—М . xs. soraq kitab . tyinedici....Русско-азербайджанский словарь
  26. определитель—finder locator...Русско-английский машиностроительный словарь
  27. определитель—continuant...Русско-английский морской словарь
  28. определитель—determinant identifier определитель м.u мат.udeterminantраскрывать определитель expand a determinantопределитель Вронского Wronskianопределитель n [m]го порядка deter...Русско-английский политехнический словарь
  29. определитель—м. мат. determinant лингв.u qualifier...Русско-английский психологический словарь
  30. определитель—определитель м. мат.ideterminant...Русско-английский словарь
  31. определитель—f.determinant определитель Вронского WronskianСинонимы автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоопределитель этноопределитель якобиан...Русско-английский словарь математических терминов
  32. определитель—identifier автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоопределитель этноопределитель якобиан...Русско-английский словарь по машиностроению
  33. определитель—м. калибровочноинвариантный определитель кососимметричный определитель определитель преобразования координат определитель Якоби...Русско-английский словарь по физике
  34. определитель—detector determinant...Русско-английский строительный словарь
  35. определитель—detector determinant кубичный определитель определитель Вандермонда определитель вронского определитель Гессе определитель Грама определитель определителей определитель ф...Русско-английский технический словарь
  36. определитель—N...Русско-армянский словарь
  37. определитель—вызначнк...Русско-белорусский математический словарь
  38. определитель—Вызначальнк вызначальнк...Русско-белорусский словарь
  39. определитель—i вызначальнк муж.i мат.i вызначальнк муж.i...Русско-белорусский словарь II
  40. определитель—мат.i вызнаuчнк ка справочник устройствоi вызначаuльнк ка определитель матрицы...Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов
  41. определитель—мат. вызначнк ка справочник устройство вызначальнк ка...Русско-белорусский физико-математический словарь
  42. определитель—определи Синонимы автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоопределитель этноопределитель якобиан...Русско-ивритский словарь
  43. определитель—м. матем. determinante m бесконечномерный определитель определитель любого порядка функциональный определитель характеристический определитель...Русско-итальянский политехнический словарь
  44. определитель—анытаыш...Русско-казахский терминологический словарь «Биология»
  45. определитель—анытауыш...Русско-казахский терминологический словарь «История»
  46. определитель—анытауыш тех....Русско-казахский терминологический словарь «Машиностроение»
  47. определитель—м. . мат. аныктоочу . книга для справок аныктагыч справка берч китеп определитель растений смдктрд аныктагыч....Русско-киргизский словарь
  48. определитель—. . растений . . Синонимы автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоопределитель этноопределитель якобиан...Русско-китайский словарь
  49. определитель—nosactjs noteicjs...Русско-латышский словарь
  50. определитель—Determinante...Русско-немецкий политехнический словарь
  51. определитель—Determinante мат....Русско-немецкий экономический словарь
  52. определитель—определительм мат...Русско-новогреческий словарь
  53. определитель—...Русско-персидский словарь
  54. определитель—м кнжнu determinante fu руководство таблицаem ndice mu classificador mu матu determinante m автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоо...Русско-португальский словарь
  55. определитель—определитель муайянкунанда...Русско-таджикский словарь
  56. определитель—матем. визначник антисимметрический определитель антисиметричний визначник кососимметрический определитель кососиметричний визначник характеристический определитель ха...Русско-украинский политехнический словарь
  57. определитель—determinant pomocn znak urovatel...Русско-чешский словарь
  58. определитель—определитель опознаватель гессиан минор детерминант Словарь русских синонимов. определитель сущ. колво синонимов автоопределитель гессиан детерминант идентификато...Словарь синонимов II
  59. определитель—определитель опознаватель гессиан минор детерминант...Словарь синонимов
  60. определитель—ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ детерминант составленное по определенному правилу из n чисел математическое выражение применяемое при решении и исследовании систем алгебраических уравнений ...Современный энциклопедический словарь
  61. определитель—Определитель determiner элемент именного словосочетания служащий для определения количества предметов или для идентификации определенных предметов.Пример. Определители в...Терминологический словарь автоматизации строительства и производственных процессов
  62. определитель—ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ я м. . Устройство для определения чегон. а такжевообще то с помощью чего можно чтон. точно определить установить. Телефонс определителем номера. О. ритма. . ...Толковый словарь Ожегова
  63. определитель—ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ определителя м. книжн. . То что определяет выражает собою чтон. . Книга служащая для справок при определении чегон. науч. Определитель растений. Определитель...Толковый словарь русского языка II
  64. определитель—определитель определитель я м. Устройство для определения чегон. а также вообще то с помощью чего можно чтон. точно определить установить. Телефон с определителем номера....Толковый словарь русского языка II
  65. определитель—ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ я м. . Устройство для определения чегонибудь а также вообще то с помощью чего можно чтонибудь точно определить установить. Телефон с определителем номера. Оп...Толковый словарь русского языка
  66. определитель—Ударение в слове определительУдарение падает на букву иБезударные гласные в слове определитель...Ударение и правописание
  67. определитель—Rzeczownik определитель m wyznacznik m klucz m...Универсальный русско-польский словарь
  68. определитель—детерминант квадратнойматрицы А aijsubi порядка ni detAi многочлен п элементов матрицы Аiпричм из каждой строки и каждого столбца матрицыi в произведениевходит лишь оди...Физическая энциклопедия
  69. определитель—определитель определители определителя определителей определителю определителям определитель определители определителем определителями определителе определителях Источник...Формы слова
  70. определитель—Толлер Тол Тироль Тире Тир Тип Тилл Тепло Теперь Теор Тель Тело Ротель Рот Роп Ролл Рол Родитель Род Рио Риель Рет Рель Релит Реле Редеть Рдеть Пьет Пьеро Пьер Пье Птр Пр...Электронный словарь анаграмм русского языка
  71. определитель—Определитель Determinant. Решая два уравнения первой степени с двумя неизвестными аi sub х i bsub у i c а sub х i bsub у i c получаем следующие выражения для xi и уi x...Энциклопедический словарь
  72. определитель—Determinant. Решая два уравнения первой степени с двумя неизвестными аsubхem bsubуem c аsubхem bsubуem c получаем следующие выражения для xem и у xem c c a yem a...Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
  73. определитель—ОПРЕДЕЛИТЕЛЬили детерминант в математике запись чисел в виде квадратной таблицы в соответствие которой ставится другое число значение определителя. Очень часто под понят...Энциклопедия Кольера II
  74. определитель—или детерминант в математике запись чисел в виде квадратной таблицы в соответствие которой ставится другое число значение определителя. Очень часто под понятием определи...Энциклопедия Кольера