Большая Советская энциклопедия II

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

детерминант, особого рода математическое выражение, встречающееся в различных областях математики. Пусть дана Матрица порядкаn, т. е. квадратная таблица, составленная изп2элементов (чисел, функций и т. п.):
(каждый элемент матрицы снабжён двумя индексами: первый указывает номер строки, второй — номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент). Определителем матрицы (1) называется многочлен, каждый член которого является произведениемnэлементов матрицы (1), причём из каждой строки и каждого столбца матрицы в произведение входит лишь один сомножитель, т. е. многочлен вида
∑±a1αa2β...anγ. (2)
В этой формуле α, β, ..., γ есть произвольная перестановка чисел 1, 2, ...,n. Перед членом берётся знак +, если перестановка α, β, ..., γ чётная, и знак – , если эта перестановка нечётная. [Перестановку называют чётной, если в ней содержится чётное число нарушений порядка (или инверсий), т. е. случаев, когда большее число стоит впереди меньшего, и нечётной – в противоположном случае; так, например, перестановка 51243 – нечётная, т. к. в ней имеется 5 инверсий 51, 52, 54, 53, 43.] Суммирование производится по всем перестановкам α, β, ..., γ чисел 1, 2, ...,n.Число различных перестановокnсимволов равноn! = 1·2·3·...·n; поэтому О.содержитn! членов, из которых1/2n! берётся со знаком + и1/2n! со знаком –. Числоnназывается порядком О.
О., составленный из элементов матрицы (1), записывают в виде:
(или, сокращённо, в виде |aik|).Для О. 2-го и 3-го порядков имеем формулы:
a11a22–a12a21,
=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32–a11a23a32–a12a21a33–a13a22a31.
О. 2-го и 3-го порядков допускают простое геометрическое истолкование: a1= (x1,y1) иa2= (х2.у2), а a1=(x1,y1,z1),a2=(x2,у2, z2) иа3= (х3,y3,z3) (системы координат предполагаются прямоугольными).
Теория О. возникла в связи с задачей решения систем алгебраических уравнений 1-й степени (линейные уравнения (См. Линейное уравнение)). В наиболее важном случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, такая система может быть записана в виде:
Эта система имеет одно определённое решение, если О. |aik|, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю; тогда неизвестноеxm(m= 1, 2, ...,n) равно дроби, у которой в знаменателе стоит О.|aik|, а в числителе — О., получаемый из |aik| заменой элементовm-го столбца (т. е. коэффициентов прихт) числамиb1,b2, ...,bn. Так, в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными
решение даётся формулами
Еслиb1=b2= ..., =bn= 0, то систему (4) называется однородной системой линейных уравнений. Однородная система имеет отличные от нуля решения, только если |aik| = 0. Связь теории О. с теорией линейных уравнений позволила применить теорию О. к решению большого числа задач аналитической геометрии. Многие формулы аналитической геометрии удобно записывать при помощи О.; например, уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами (x1,y1,z1),(x2,y2, z2), (х3,y3,z3), может быть записано в виде:
О. обладают рядом важных свойств, которые, в частности, облегчают их вычисление. Простейшие из этих свойств следующие:
1) O. не изменяется, если в нём строки и столбцы поменять местами:
2) О. меняет знак, если в нём поменять местами две строки (или два столбца); так, например:
3) О. равен нулю, если в нём элементы двух строк (или двух столбцов) соответственно пропорциональны; так, например:
4) общий множитель всех элементов строки (или столбца) О. можно вынести за знак О.; так, например:
k
5) если каждый элемент какого-нибудь столбца (строки) О. есть сумма двух слагаемых, то О. равен сумме двух О., причём в одном из них соответствующий столбец (строка) состоит из первых слагаемых, а в другом — из вторых слагаемых, остальные же столбцы (строки) — те же, что и в данном О.; так, например:
6) О. не изменяется, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель; так, например:
=
7) О. может быть разложен по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца. Разложение О. (3) по элементамi-й строки имеет следующий вид:
ai1Ai1+ai2Ai2+ ...+ainAin.
КоэффициентAik, стоящий при элементеaikв этом разложении, называется алгебраическим дополнением элементаaik. Алгебраическое дополнение может быть вычислено по формуле:Aik=(–1)i+ kDik, гдеDik— минор (подопределитель, субдетерминант), дополнительный к элементуaik, то есть О. порядкаn-1, получающийся из данного О. посредством вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элементaik. Например, разложение О. 3-го порядка по элементам второго столбца имеет следующий вид:
= –a122232
Посредством разложения по элементам строки или столбца вычисление О.n-го порядка приводится к вычислениюnопределителей (n -1)-го порядка. Так, вычисление О. 5-го порядка приводится к вычислению пяти О. 4-го порядка; вычисление каждого из этих О. 4-го порядка можно, в свою очередь, привести к вычислению четырёх О. 3-го порядка (формула для вычисления О. 3-го порядка приведена выше). Однако, за исключением простейших случаев, этот метод вычисления О. практически применим лишь для О. сравнительно небольших порядков. Для вычисления О. большого порядка разработаны различные, практически более удобные методы (для вычисления О.n-го порядка приходится выполнять примерноn3арифметических операций).
Отметим ещё правило умножения двух О.n-го порядка: произведение двух О.n-го порядка может быть представлено в виде О. того жеn-го порядка, в котором элемент, принадлежащийi-й строке иk-му столбцу, получается, если каждый элементi-й строки первого множителя умножить на соответствующий элементk-го столбца второго множителя и все эти произведения сложить; иными словами, произведение О. двух матриц равно О. произведения этих матриц.
В математическом анализе О. систематически используются после работ немецкого математика К. Якоби (2-я четверть 19 в.), исследовавшего О., элементы которых являются не числами, а функциями одного или нескольких переменных. Из таких О. наибольший интерес представляет определитель Якоби (Якобиан)
Определитель Якоби равен коэффициенту искажения объёмов при переходе от неременныхх1,x2, ...,хпк переменным
y1=f1(x1, ...,xn),
y2=f2(x1, ...,xn),
………………….
yn=fn(x1, ...,xn).
Тождественное равенство в некоторой области этого О. нулю является необходимым и достаточным условием зависимости функцийf1(x1, ...,xn),f2(x1, ...,xn), ...,fn(x1, ...,xn).
Во 2-й половине 19 в. возникла теория О. бесконечного порядка. Бесконечными О. называются выражения вида:
(односторонний бесконечный О.) и
(двусторонний бесконечный О.). Бесконечный О. (5) есть предел, к которому стремится О.
при бесконечном возрастании числаn.Если этот предел существует, то О. (5) называется сходящимся, в противном случае — расходящимся. Исследование двустороннего бесконечного О. иногда можно привести к исследованию некоторого одностороннего бесконечного О.
Теория О. конечного порядка создана в основном во 2-й половине 18 в. и 1-й половине 19 в. (работами швейцарского математика Г. Крамера, французских математиков А. Вандермонда, П. Лапласа, О. Коши, немецких математиков К. Гаусса и К. Якоби). Термин «О.» («детерминант») принадлежит К. Гауссу, современное обозначение — английскому математику А. Кэли.
Лит. см. при статьях Линейная алгебра,Матрица.

  1. определитель—ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ детерминант особого рода матем. выражение встречающееся в различных областях математики. Пусть дана матрица iпорядка п iт. е. квадратная таблица составленная...Большая советская энциклопедия
  2. определитель—м. книжн. книга таблица classificatore мат. determinante Итальянорусский словарь. Синонимы автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фото...Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь
  3. определитель—determinant key...Большой русско-английский словарь биологических терминов
  4. определитель—м. tratado mem ndice m мат.em determinante m...Большой русско-испанский словарь
  5. определитель—сущ. муж. рода с.х. спец.визначник определитель растений книга визначник рослин...Большой русско-украинский словарь
  6. определитель—м. мат. dterminant m...Большой русско-французский словарь
  7. определитель—м. мат.dterminant m автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоопределитель этноопределитель якобиан...Большой французско-русский и русско-французский словарь
  8. определитель—детерминант составленное по определенному правилу из nчисел математическое выражение применяемое при решении и исследованиисистем алгебраических уравнений й степени. Чис...Большой энциклопедический словарь II
  9. определитель—ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ детерминант составленное по определенному правилу из n чисел математическое выражение применяемое при решении и исследовании систем алгебраических уравнений...Большой Энциклопедический словарь V
  10. определитель—детерминант составленное по определ. правилу из nsup чисел матсм. выражение применяемое при решении и исследовании систем алгебр. урний и степени. Число пi паз. порядком...Естествознание. Энциклопедический словарь
  11. определитель—Определитель definitorium determinator determinatorium...Латинский словарь
  12. определитель—я м.em То чем определяется обусловливается чтол. наша пропаганда и пропаганда всех социалдемократических рабочих входит одним из определителейu того будет революция или н...Малый академический словарь
  13. определитель—детерминант квадратной матрицы Аaijsubi порядка пнад ассоциативнокоммутативным кольцом K с единицей элемент кольца K равный сумме всех членов вида где isub . . . insu...Математическая энциклопедия
  14. определитель—корень ОПРЕДЕЛ суффикс И суффикс ТЕЛЬ нулевое окончаниеОснова слова ОПРЕДЕЛИТЕЛЬВычисленный способ образования слова Суффиксальный ОПРЕДЕЛ И ТЕЛЬ Слово Определите...Морфемный разбор слова по составу
  15. определитель—Начальная форма Определитель винительный падеж единственное число мужской род неодушевленное...Морфологический разбор существительных
  16. определитель—определитель м. То что определяет собою чтол. Книга служащая для справок при определении чегол....Новый толково-словообразовательный словарь русского языка
  17. определитель—определитель определитель я...Орфографический словарь
  18. определитель—u мu мн.u определители Р.u определителей автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоопределитель этноопределитель якобиан...Орфографический словарь русского языка
  19. определитель—анытауыш...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
  20. определитель—math...Политехнический русско-французский словарь
  21. определитель—определитель определители определителя определителей определителю определителям определитель определители определителем определителями определителе определителях...Полная акцентуированная парадигма по Зализняку
  22. определитель—Орфографическая запись слова определитель Ударение в слове определитель Деление слова на слоги перенос слова определитель Фонетическая транскрипция слова определитель [а...Полный фонетический разбор слов
  23. определитель—ница ви[о]значник ниця....Російсько-український словник (Українська академія наук)
  24. определитель—определитель яСинонимы автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоопределитель этноопределитель якобиан...Русский орфографический словарь
  25. определитель—М . xs. soraq kitab . tyinedici....Русско-азербайджанский словарь
  26. определитель—finder locator...Русско-английский машиностроительный словарь
  27. определитель—continuant...Русско-английский морской словарь
  28. определитель—determinant identifier определитель м.u мат.udeterminantраскрывать определитель expand a determinantопределитель Вронского Wronskianопределитель n [m]го порядка deter...Русско-английский политехнический словарь
  29. определитель—м. мат. determinant лингв.u qualifier...Русско-английский психологический словарь
  30. определитель—определитель м. мат.ideterminant...Русско-английский словарь
  31. определитель—f.determinant определитель Вронского WronskianСинонимы автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоопределитель этноопределитель якобиан...Русско-английский словарь математических терминов
  32. определитель—identifier автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоопределитель этноопределитель якобиан...Русско-английский словарь по машиностроению
  33. определитель—м. калибровочноинвариантный определитель кососимметричный определитель определитель преобразования координат определитель Якоби...Русско-английский словарь по физике
  34. определитель—detector determinant...Русско-английский строительный словарь
  35. определитель—detector determinant кубичный определитель определитель Вандермонда определитель вронского определитель Гессе определитель Грама определитель определителей определитель ф...Русско-английский технический словарь
  36. определитель—N...Русско-армянский словарь
  37. определитель—вызначнк...Русско-белорусский математический словарь
  38. определитель—Вызначальнк вызначальнк...Русско-белорусский словарь
  39. определитель—i вызначальнк муж.i мат.i вызначальнк муж.i...Русско-белорусский словарь II
  40. определитель—мат.i вызнаuчнк ка справочник устройствоi вызначаuльнк ка определитель матрицы...Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов
  41. определитель—мат. вызначнк ка справочник устройство вызначальнк ка...Русско-белорусский физико-математический словарь
  42. определитель—определи Синонимы автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоопределитель этноопределитель якобиан...Русско-ивритский словарь
  43. определитель—м. матем. determinante m бесконечномерный определитель определитель любого порядка функциональный определитель характеристический определитель...Русско-итальянский политехнический словарь
  44. определитель—анытаыш...Русско-казахский терминологический словарь «Биология»
  45. определитель—анытауыш...Русско-казахский терминологический словарь «История»
  46. определитель—анытауыш тех....Русско-казахский терминологический словарь «Машиностроение»
  47. определитель—м. . мат. аныктоочу . книга для справок аныктагыч справка берч китеп определитель растений смдктрд аныктагыч....Русско-киргизский словарь
  48. определитель—. . растений . . Синонимы автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоопределитель этноопределитель якобиан...Русско-китайский словарь
  49. определитель—nosactjs noteicjs...Русско-латышский словарь
  50. определитель—Determinante...Русско-немецкий политехнический словарь
  51. определитель—Determinante мат....Русско-немецкий экономический словарь
  52. определитель—определительм мат...Русско-новогреческий словарь
  53. определитель—...Русско-персидский словарь
  54. определитель—м кнжнu determinante fu руководство таблицаem ndice mu classificador mu матu determinante m автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоо...Русско-португальский словарь
  55. определитель—определитель муайянкунанда...Русско-таджикский словарь
  56. определитель—матем. визначник антисимметрический определитель антисиметричний визначник кососимметрический определитель кососиметричний визначник характеристический определитель ха...Русско-украинский политехнический словарь
  57. определитель—determinant pomocn znak urovatel...Русско-чешский словарь
  58. определитель—определитель опознаватель гессиан минор детерминант Словарь русских синонимов. определитель сущ. колво синонимов автоопределитель гессиан детерминант идентификато...Словарь синонимов II
  59. определитель—определитель опознаватель гессиан минор детерминант...Словарь синонимов
  60. определитель—ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ детерминант составленное по определенному правилу из n чисел математическое выражение применяемое при решении и исследовании систем алгебраических уравнений ...Современный энциклопедический словарь
  61. определитель—Определитель determiner элемент именного словосочетания служащий для определения количества предметов или для идентификации определенных предметов.Пример. Определители в...Терминологический словарь автоматизации строительства и производственных процессов
  62. определитель—ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ я м. . Устройство для определения чегон. а такжевообще то с помощью чего можно чтон. точно определить установить. Телефонс определителем номера. О. ритма. . ...Толковый словарь Ожегова
  63. определитель—ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ определителя м. книжн. . То что определяет выражает собою чтон. . Книга служащая для справок при определении чегон. науч. Определитель растений. Определитель...Толковый словарь русского языка II
  64. определитель—определитель определитель я м. Устройство для определения чегон. а также вообще то с помощью чего можно чтон. точно определить установить. Телефон с определителем номера....Толковый словарь русского языка II
  65. определитель—ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ я м. . Устройство для определения чегонибудь а также вообще то с помощью чего можно чтонибудь точно определить установить. Телефон с определителем номера. Оп...Толковый словарь русского языка
  66. определитель—Ударение в слове определительУдарение падает на букву иБезударные гласные в слове определитель...Ударение и правописание
  67. определитель—Rzeczownik определитель m wyznacznik m klucz m...Универсальный русско-польский словарь
  68. определитель—детерминант квадратнойматрицы А aijsubi порядка ni detAi многочлен п элементов матрицы Аiпричм из каждой строки и каждого столбца матрицыi в произведениевходит лишь оди...Физическая энциклопедия
  69. определитель—определитель определители определителя определителей определителю определителям определитель определители определителем определителями определителе определителях Источник...Формы слова
  70. определитель—Толлер Тол Тироль Тире Тир Тип Тилл Тепло Теперь Теор Тель Тело Ротель Рот Роп Ролл Рол Родитель Род Рио Риель Рет Рель Релит Реле Редеть Рдеть Пьет Пьеро Пьер Пье Птр Пр...Электронный словарь анаграмм русского языка
  71. определитель—Определитель Determinant. Решая два уравнения первой степени с двумя неизвестными аi sub х i bsub у i c а sub х i bsub у i c получаем следующие выражения для xi и уi x...Энциклопедический словарь
  72. определитель—Determinant. Решая два уравнения первой степени с двумя неизвестными аsubхem bsubуem c аsubхem bsubуem c получаем следующие выражения для xem и у xem c c a yem a...Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
  73. определитель—ОПРЕДЕЛИТЕЛЬили детерминант в математике запись чисел в виде квадратной таблицы в соответствие которой ставится другое число значение определителя. Очень часто под понят...Энциклопедия Кольера II
  74. определитель—или детерминант в математике запись чисел в виде квадратной таблицы в соответствие которой ставится другое число значение определителя. Очень часто под понятием определи...Энциклопедия Кольера