ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

или детерминант, - в математике запись чисел в виде квадратной таблицы, в соответствие которой ставится другое число ("значение" определителя). Очень часто под понятием "определитель" имеют в виду как значение определителя, так и форму его записи. Определители позволяют удобно записывать сложные выражения, возникающие, например, при решении линейных уравнений в аналитической геометрии и в математическом анализе. Открытие определителей приписывают японскому математику С. Кова (1683) и, независимо, Г. Лейбницу (1693). Современная теория восходит к работам Ж. Бине, О. Коши и К. Якоби в начале 19 в. Простейший определитель состоит из 4 чисел, называемых элементами и расположенных в виде 2-х строк и 2-х столбцов. О таком определителе говорят, что он 2-го порядка. Например, таков определитель

значение которого равно 2*5 - 3*1 (т.е. 10 - 3 или 7). В общем случае определитель 2-го порядка принято записывать в виде

а его значение равно a1b2 - a2b1, где a и b - числа или функции. Определитель 3-го порядка состоит из 9 элементов, расположенных в виде 3-х строк и 3-х столбцов. В общем случае определитель n-го порядка состоит из n2 элементов, и обычно его записывают как

Первый индекс каждого элемента указывает номер строки, второй - номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, поэтому aij - элемент i-й строки и j-го столбца. Часто такой определитель записывают в виде |aij|. Один из методов вычисления определителя, почти всегда используемый при вычислении определителей высокого порядка, состоит в разложении по "минорам". Минором, соответствующим любому элементу определителя, называется определитель меньшего на 1 порядка, получаемый из исходного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Например, минором, соответствующим элементу a2 из определителя

"Алгебраическим дополнением" элемента называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент, четна, и со знаком минус, если она нечетна.В приведенном выше примере элемент a2 состоит в 1-м столбце и во 2-й строке; сумма (1 + 2) нечетна, и поэтому алгебраическое дополнение элемента a2 равно его минору, взятому со знаком минус, т.е.

Значение определителя равно сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) на их алгебраические дополнения. Например, определитель

разложенный по первому столбцу, имеет вид

а его разложение по второй строке, имеет вид

Вычислив каждый минор и умножив его на коэффициент, нетрудно убедиться в том, что оба выражения совпадают. Значение определителя. Под значением определителя

принято понимать сумму всех произведений из n элементов, т.е.

В этой формуле суммирование ведется по всем перестановкам j1, ј, jn чисел 1, 2, ј, n и перед членом ставится знак плюс, если перестановка четна, и минус, если эта перестановка нечетна. Такая сумма насчитывает ровно n! членов, половина которых берется со знаком плюс, половина - со знаком минус. Каждый член суммы содержит по одному члену из каждого столбца и каждой строки определителя. Можно доказать, что эта сумма совпадает с выражением, получаемым при разложении определителя по минорам.
Свойства определителя.Среди наиболее важных свойств определителя назовем следующие. (i) Если все элементы любой строки (или любого столбца) равны нулю, то и значение определителя равно нулю:

(ii) Если элементы двух строк (или двух столбцов) равны или пропорциональны, то значение определителя равно нулю:

(iii) Значение определителя не изменится, если все его строки и столбцы поменять местами, т.е. записать первую строку в виде первого столбца, вторую строку - в виде второго столбца и т.д. (такая операция называется транспонированием). Например,

(iv) Значение определителя не изменится, если к элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на произвольный множитель. В следующем примере элементы второй строки умножаются на -2 и прибавляются к элементам первой строки:

(v) Если поменять местами две строки (или два столбца), то определитель изменит знак:

(vi) Если все элементы одной строки (или одного столбца) содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя:

Пример. Вычислим значение следующего определителя 4-го порядка:

Прибавим к 1-й строке 4-ю строку:

Вычтем 1-й столбец из 4-го столбца:

Умножим 3-й столбец на 3 и вычтем из 4-го столбца:

Если угодно, то строки и столбцы можно поменять местами:

Разложим определитель по элементам четвертой строки. Три элемента этой строки равны нулю, ненулевой элемент стоит в третьем столбце, а поскольку сумма (3 + 4) нечетна, его алгебраическое дополнение имеет знак минус. В результате получаем:

Минор можно разложить по элементам третьей строки: два ее элемента равны нулю, а отличный от нуля элемент стоит в третьем столбце; сумма (3 + 3) четна, поэтому предыдущее равенство можно продолжить:

Применения. Решение системы уравнений

можно получить, если первое уравнение умножить на b2, второе - на b1, а затем вычесть одно уравнение из другого. Проделав эти операции, мы получим

или, если

то

Такая запись решения с помощью определителей допускает обобщение на случай решения системы n линейных уравнений с n неизвестными; каждый определитель будет n-го порядка. Определителем системы линейных уравнений

будет

Заметим, что если D = 0, то уравнения либо несовместны, либо не являются независимыми. Поэтому предварительное вычисление определителя D позволяет проверить, разрешима ли система линейных уравнений.
Определители в аналитической геометрии.Общее уравнение конического сечения представимо в виде

Определитель

называется дискриминантом. Если D = 0, то кривая вырождается в пару параллельных или пересекающихся прямых либо в точку (см. также КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ). Другой пример: площадь треугольника A с вершинами в точках (обход - против часовой стрелки) (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) определяется выражением

Связь определителей с матрицами.Матрицей называется запись массива чисел в виде прямоугольной таблицы. Определители связаны с квадратными матрицами; например, определитель матрицы

Если A, B и С - квадратные матрицы и , то |A|*|B| = |C|.
См. такжеАЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ.
Якобиан.Если x = f (u, v), y = g (u, v) - преобразование координат, то определитель

называется якобианом или определителем Якоби этого преобразования. Если J не равен 0 в некоторой точке, то в ее окрестности уравнения преобразования можно однозначно разрешить относительно u и v, представив их как функции от x и y.
См. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

определитель—ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ детерминант особого рода матем. выражение встречающееся в различных областях математики. Пусть дана матрица iпорядка п iт. е. квадратная таблица составленная...Большая советская энциклопедия
определитель—детерминант особого рода математическое выражение встречающееся в различных областях математики. Пусть дана Матрица порядка nem т. е. квадратная таблица составленная из п...Большая Советская энциклопедия II
определитель—м. книжн. книга таблица classificatore мат. determinante Итальянорусский словарь. Синонимы автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фото...Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь
определитель—determinant key...Большой русско-английский словарь биологических терминов
определитель—м. tratado mem ndice m мат.em determinante m...Большой русско-испанский словарь
определитель—сущ. муж. рода с.х. спец.визначник определитель растений книга визначник рослин...Большой русско-украинский словарь
определитель—м. мат. dterminant m...Большой русско-французский словарь
определитель—м. мат.dterminant m автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоопределитель этноопределитель якобиан...Большой французско-русский и русско-французский словарь
определитель—детерминант составленное по определенному правилу из nчисел математическое выражение применяемое при решении и исследованиисистем алгебраических уравнений й степени. Чис...Большой энциклопедический словарь II
определитель—ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ детерминант составленное по определенному правилу из n чисел математическое выражение применяемое при решении и исследовании систем алгебраических уравнений...Большой Энциклопедический словарь V
определитель—детерминант составленное по определ. правилу из nsup чисел матсм. выражение применяемое при решении и исследовании систем алгебр. урний и степени. Число пi паз. порядком...Естествознание. Энциклопедический словарь
определитель—Определитель definitorium determinator determinatorium...Латинский словарь
определитель—я м.em То чем определяется обусловливается чтол. наша пропаганда и пропаганда всех социалдемократических рабочих входит одним из определителейu того будет революция или н...Малый академический словарь
определитель—детерминант квадратной матрицы Аaijsubi порядка пнад ассоциативнокоммутативным кольцом K с единицей элемент кольца K равный сумме всех членов вида где isub . . . insu...Математическая энциклопедия
определитель—корень ОПРЕДЕЛ суффикс И суффикс ТЕЛЬ нулевое окончаниеОснова слова ОПРЕДЕЛИТЕЛЬВычисленный способ образования слова Суффиксальный ОПРЕДЕЛ И ТЕЛЬ Слово Определите...Морфемный разбор слова по составу
определитель—Начальная форма Определитель винительный падеж единственное число мужской род неодушевленное...Морфологический разбор существительных
определитель—определитель м. То что определяет собою чтол. Книга служащая для справок при определении чегол....Новый толково-словообразовательный словарь русского языка
определитель—определитель определитель я...Орфографический словарь
определитель—u мu мн.u определители Р.u определителей автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоопределитель этноопределитель якобиан...Орфографический словарь русского языка
определитель—анытауыш...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
определитель—math...Политехнический русско-французский словарь
определитель—определитель определители определителя определителей определителю определителям определитель определители определителем определителями определителе определителях...Полная акцентуированная парадигма по Зализняку
определитель—Орфографическая запись слова определитель Ударение в слове определитель Деление слова на слоги перенос слова определитель Фонетическая транскрипция слова определитель [а...Полный фонетический разбор слов
определитель—ница ви[о]значник ниця....Російсько-український словник (Українська академія наук)
определитель—определитель яСинонимы автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоопределитель этноопределитель якобиан...Русский орфографический словарь
определитель—М . xs. soraq kitab . tyinedici....Русско-азербайджанский словарь
определитель—finder locator...Русско-английский машиностроительный словарь
определитель—continuant...Русско-английский морской словарь
определитель—determinant identifier определитель м.u мат.udeterminantраскрывать определитель expand a determinantопределитель Вронского Wronskianопределитель n [m]го порядка deter...Русско-английский политехнический словарь
определитель—м. мат. determinant лингв.u qualifier...Русско-английский психологический словарь
определитель—определитель м. мат.ideterminant...Русско-английский словарь
определитель—f.determinant определитель Вронского WronskianСинонимы автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоопределитель этноопределитель якобиан...Русско-английский словарь математических терминов
определитель—identifier автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоопределитель этноопределитель якобиан...Русско-английский словарь по машиностроению
определитель—м. калибровочноинвариантный определитель кососимметричный определитель определитель преобразования координат определитель Якоби...Русско-английский словарь по физике
определитель—detector determinant...Русско-английский строительный словарь
определитель—detector determinant кубичный определитель определитель Вандермонда определитель вронского определитель Гессе определитель Грама определитель определителей определитель ф...Русско-английский технический словарь
определитель—N...Русско-армянский словарь
определитель—вызначнк...Русско-белорусский математический словарь
определитель—Вызначальнк вызначальнк...Русско-белорусский словарь
определитель—i вызначальнк муж.i мат.i вызначальнк муж.i...Русско-белорусский словарь II
определитель—мат.i вызнаuчнк ка справочник устройствоi вызначаuльнк ка определитель матрицы...Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов
определитель—мат. вызначнк ка справочник устройство вызначальнк ка...Русско-белорусский физико-математический словарь
определитель—определи Синонимы автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоопределитель этноопределитель якобиан...Русско-ивритский словарь
определитель—м. матем. determinante m бесконечномерный определитель определитель любого порядка функциональный определитель характеристический определитель...Русско-итальянский политехнический словарь
определитель—анытаыш...Русско-казахский терминологический словарь «Биология»
определитель—анытауыш...Русско-казахский терминологический словарь «История»
определитель—анытауыш тех....Русско-казахский терминологический словарь «Машиностроение»
определитель—м. . мат. аныктоочу . книга для справок аныктагыч справка берч китеп определитель растений смдктрд аныктагыч....Русско-киргизский словарь
определитель—. . растений . . Синонимы автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоопределитель этноопределитель якобиан...Русско-китайский словарь
определитель—nosactjs noteicjs...Русско-латышский словарь
определитель—Determinante...Русско-немецкий политехнический словарь
определитель—Determinante мат....Русско-немецкий экономический словарь
определитель—определительм мат...Русско-новогреческий словарь
определитель—...Русско-персидский словарь
определитель—м кнжнu determinante fu руководство таблицаem ndice mu classificador mu матu determinante m автоопределитель гессиан детерминант минор опознаватель пылеопределитель фотоо...Русско-португальский словарь
определитель—определитель муайянкунанда...Русско-таджикский словарь
определитель—матем. визначник антисимметрический определитель антисиметричний визначник кососимметрический определитель кососиметричний визначник характеристический определитель ха...Русско-украинский политехнический словарь
определитель—determinant pomocn znak urovatel...Русско-чешский словарь
определитель—определитель опознаватель гессиан минор детерминант Словарь русских синонимов. определитель сущ. колво синонимов автоопределитель гессиан детерминант идентификато...Словарь синонимов II
определитель—определитель опознаватель гессиан минор детерминант...Словарь синонимов
определитель—ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ детерминант составленное по определенному правилу из n чисел математическое выражение применяемое при решении и исследовании систем алгебраических уравнений ...Современный энциклопедический словарь
определитель—Определитель determiner элемент именного словосочетания служащий для определения количества предметов или для идентификации определенных предметов.Пример. Определители в...Терминологический словарь автоматизации строительства и производственных процессов
определитель—ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ я м. . Устройство для определения чегон. а такжевообще то с помощью чего можно чтон. точно определить установить. Телефонс определителем номера. О. ритма. . ...Толковый словарь Ожегова
определитель—ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ определителя м. книжн. . То что определяет выражает собою чтон. . Книга служащая для справок при определении чегон. науч. Определитель растений. Определитель...Толковый словарь русского языка II
определитель—определитель определитель я м. Устройство для определения чегон. а также вообще то с помощью чего можно чтон. точно определить установить. Телефон с определителем номера....Толковый словарь русского языка II
определитель—ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ я м. . Устройство для определения чегонибудь а также вообще то с помощью чего можно чтонибудь точно определить установить. Телефон с определителем номера. Оп...Толковый словарь русского языка
определитель—Ударение в слове определительУдарение падает на букву иБезударные гласные в слове определитель...Ударение и правописание
определитель—Rzeczownik определитель m wyznacznik m klucz m...Универсальный русско-польский словарь
определитель—детерминант квадратнойматрицы А aijsubi порядка ni detAi многочлен п элементов матрицы Аiпричм из каждой строки и каждого столбца матрицыi в произведениевходит лишь оди...Физическая энциклопедия
определитель—определитель определители определителя определителей определителю определителям определитель определители определителем определителями определителе определителях Источник...Формы слова
определитель—Толлер Тол Тироль Тире Тир Тип Тилл Тепло Теперь Теор Тель Тело Ротель Рот Роп Ролл Рол Родитель Род Рио Риель Рет Рель Релит Реле Редеть Рдеть Пьет Пьеро Пьер Пье Птр Пр...Электронный словарь анаграмм русского языка
определитель—Определитель Determinant. Решая два уравнения первой степени с двумя неизвестными аi sub х i bsub у i c а sub х i bsub у i c получаем следующие выражения для xi и уi x...Энциклопедический словарь
определитель—Determinant. Решая два уравнения первой степени с двумя неизвестными аsubхem bsubуem c аsubхem bsubуem c получаем следующие выражения для xem и у xem c c a yem a...Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
определитель—ОПРЕДЕЛИТЕЛЬили детерминант в математике запись чисел в виде квадратной таблицы в соответствие которой ставится другое число значение определителя. Очень часто под понят...Энциклопедия Кольера II