ИЗОМЕТРИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР
- отображение Uметрич. пространства (X,rX).в метрич. пространство (Y, rY).такое, что
для любых Если Xи Y - действительные линейные нормированные пространства, U(X)=Yи U(0)=0, то U- линейный оператор.
И. о. Uотображает Xна U(X)взаимно однозначно, так что существует обратный операторU-1,также являющийся И.о. Оператор, сопряженный с линейным И. о., действующим из одного линейного нормированного пространства в другое, также будет изометрическим. Линейный И. о., отображающий Xна все У, наз. унитарным оператором. Условием унитарности линейного оператора, действующего в гильбертовом пространствеН,является равенствоU*=U-1.Спектр унитарного оператора расположен на единичной окружности, и имеет место представление
где{Еj}- соответствующее разложение единицы. И. о., определенный на подпространстве гильбертова пространства со значениями в таком же пространстве, может быть продолжен до унитарного, если ортогональные дополнения области его определения и области его значений имеют одинаковую размерность.
Каждому симметрич. оператору Ас областью определения соответствует И. о.
наз.преобразованием Кэли оператораА.Если А- самосопряженный оператор, то операторUAунитарен.
Операторы АиВ собщей областью определения Dназ. метрически равными, еслиВ=UA, где U- И. о., то есть если ||Вx||=||Ax||для всех Такие операторы обладают рядом общих свойств. Для любого ограниченного линейного оператора А, действующего в гильбертовом пространстве, существует один и только один положительный метрически равный ему оператор, определяемый равенством
Лит.:[1] Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; [2] Плеснер А. И., Спектральная теория линейных операторов, М., 1965; [3] Мazur S., Ulam S., "С.r. Acad. sci.", 1932, t. 194, p. 946 - 48.
В. И. Соболев.
- изометрический оператор—зометричний оператор...Русско-украинский политехнический словарь