Математическая энциклопедия

ИЗГИБАНИЕ

- изометрическая деформация подмногообразия Мв римановом пространствеV,т. е. деформация, при к-рой длины кривых на Мне изменяются. Задача об И. поверхностей ведет свое начало от К. Гаусса (С. Gauss) и принадлежит к числу основных проблем дифференциальной геометрии.

Помимо общего случая, было достаточно широко исследовано И. поверхности с сохранением нек-рой внешнегеометрич. характеристики; при этом обычно оказывалось, что лишь поверхности определенного класса допускают такого рода И. Сюда относятся, напр.: 1) поверхности, изгибающиеся с сохранением средней кривизны (поверхности постоянной средней кривизны и, в частности, минимальные поверхности, нек-рые поверхности, наложимые на поверхность вращения); 2) поверхности, изгибающиеся с сохранением одного семейства асимптотич. линий (этот класс составляютлинейчатые поверхности);3) поверхности, допускающиеизгибание на главном основании,и т. д.

По своему характеру задачу об И. поверхности в евклидовом пространстве условно можно разделить на изгибание в малом, т. е. И. какой-нибудь достаточно малой окрестностиUPнек-рой точки Рповерхности, и изгибание в целом, т. е. И. произвольного заранее заданного куска поверхности или полной поверхности. Как правило, любая поверхность допускает И. в малом; однако если Рявляется точкой уплощения, то при нек-рых условиях и при сильных предположениях регулярности допускаемых деформацийUpоказывается неизгибаемой даже в малом.

Первыми утверждениями, касающимися И. в целом, были теорема Э. Либмана (Е. Liebmann) о неизгибаемости сферы, а также результат Д. Гильберта (D. Hilbert): максимум изгиба куска сферы достигается на границе. Дальнейшими исследованиями установлено, что любая замкнутая выпуклая поверхность неизгибаема в классе выпуклых поверхностей без всяких дополнительных условий регулярности.Найдены также теоремы типа принципа максимума, относящиеся к И. произвольного куска выпуклой поверхности классаС3,из к-рых следует неизгибаемость замкнутой выпуклой поверхности. Однако доказано, что, напр., сфера в классеС1допускает изгибания того же класса.

Относительно И. замкнутых поверхностей положительного рода установлены лишь частные результаты; так, напр., поверхности типа Т(тора), т. е. поверхности, состоящие из конечного числа областей с кусочно гладкими границами, в каждой из к-рых гауссова кривизна Кне меняет знака и обращается в нуль только на границе, причем полная кривизна всех областей сК>0равна 4p,- неизгибаемы при нек-рых дополнительных условиях (аналитичность, отсутствие двух замкнутых асимптотических), в частности, обыкновенный тор неизгибаем.

Полные незамкнутые поверхности, как правило, изгибаемы. Полная выпуклая поверхность Sнеизгибаема, если и допускает И., если произвол допускаемых ею И. определяется И. ее предельного конуса. Нек-рые классы полных поверхностей отрицательной кривизны также допускают И., таковы, напр., минимальные поверхности, в частности катеноид изгибания в геликоид.

Исследования И. незамкнутых поверхностей с границей также относятся главным образом к поверхностям знакопостоянной гауссовой кривизны, причем детально рассмотрен случай, когда И. определяется единственным образом различного рода граничными условиями. Так, напр., при любом И. выпуклой поверхности Fхотя бы одна точка ее краядFизменяет свое расстояние от нек-рой фиксированной точкиО,из к-рой Fвидна изнутри и к-рая расположена вне выпуклой оболочки (так что Fнеизгибаема, если расстояние любой точки краядFот Онеизменно); аналогично, при любом И. выпуклой поверхностиF,однозначно проектирующейся на плоскость p и ограниченной плоским контуром, хотя бы одна точка краядFизменяет свое расстояние от p (так что Fне допускает изгибаний скольжения- таких П., при к-рых точки края движутся параллельно нек-рой плоскости я); при И. поверхности этого типа хотя бы в одной точке кривизна x краядFменяется, причем число перемен знака разности кривизн краев поверхности Fи ее изгибанияF'не менее четырех (так что если кривизна края не изменяется, то Fнеизгибаема). Что касается поверхностей отрицательной кривизны, то достаточно широкий класс их И. получается при решении задачи Коши для уравнений Гаусса и Петерсона - Кодацци, так, напр., И. куска поверхности с K<0, ограниченного отрезками a0,а1геодезических и двумя отрезкамиb0, b1их ортогональных траекторий однозначно определяется И. краяb0.Относительно И. поверхностей знакопеременной кривизны ряд результатов получен лишь для поверхностей вращения.

Для изучения И. поверхностей применяются методы теории уравнений с частным производными, напр., эллиптич. типа, к-рыми описываются И. поверхностей положительной гауссовой кривизны, а также И. поверхностей с сохранением средней кривизны; кроме того, для выпуклых поверхностей особую роль играют методы прямых предельных переходов от многогранников (см.Склеивания метод)в комбинации с теоремами о регулярности поверхности, имеющей регулярную метрику. При достаточной близости выпуклой поверхностиF-F0к ее изгибаниюF1исследование И. сводится с помощьюКон-Фоссена преобразованияк аналогичным задачам теориибесконечно малых изгибанийтак наз. серединной поверхности

Лит.:[1] Каган В. Ф., Основы теории поверхностей, ч. 2, М.- Л., 1948; [2] Шуликовский В. И., Классическая дифференциальная геометрия, М., 1963; [3] Ефимов Н. В., Качественные вопросы деформаций поверхностей "в малом", "Тр. матем. ин-та АН СССР", 1949 т. 30; [4] его же, "Успехи матем. наук", 1948, т. 3, в. 2, с. 47-158; [5] Погорелов А. В., Изгибание выпуклых поверхностей, М.- Л., 1951; [6] Бляшке В., Дифференциальная геометрия, пер. с нем., т. 1, М.- Л., 1935; [7] Кон-Фоссен С. Э., Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959.

М. И. Войцеховский.


Синонимы:
бластокинез, выгибание, гаптотропизм, гибка, закривление, извивание, искривление, прогибание, сгибание, скривление


  1. изгибание—математическое деформация поверхности при которой длина каждой дуги любой линии проведнной на этой поверхности остатся неизменной. Наглядный пример И. свртывание листа б...Большая Советская энциклопедия II
  2. изгибание—bending inflection...Большой русско-английский словарь биологических терминов
  3. изгибание—сущ. ср. родаот глаголаem изгибатьзгинання...Большой русско-украинский словарь
  4. изгибание—ИЗГИБАНИЕ деформация поверхности при которой длина каждой дуги любой линии проведенной на этой поверхности остается неизменной....Большой энциклопедический словарь III
  5. изгибание—ИЗГИБАНИЕ деформация поверхности при которой длина каждой дуги любой линии проведенной на этой поверхности остается неизменной....Большой Энциклопедический словарь V
  6. изгибание—я ср.em Действие по знач. глаг.em изгибать иem изгибаться.Синонимы бластокинез выгибание гаптотропизм гибка закривление извивание искривление прогибание сгибание скривле...Малый академический словарь
  7. изгибание—приставка ИЗ корень ГИБ суффикс АН окончание ИЕ Основа слова ИЗГИБАНВычисленный способ образования слова Приставочносуффиксальный или префиксальносуффиксальный ИЗ ...Морфемный разбор слова по составу
  8. изгибание—Начальная форма Изгибание винительный падеж единственное число неодушевленное средний род...Морфологический разбор существительных
  9. изгибание—изгибание ср. Процесс действия по знач. глаг. изгибать. Состояние по знач. глаг. изгибаться ....Новый толково-словообразовательный словарь русского языка
  10. изгибание—изгибание изгибание я...Орфографический словарь
  11. изгибание—илдру...Орысша-қазақша «Жеңіл және тоқыма өнеркәсібі» терминологиялық сөздік
  12. изгибание—pliage cintrage flexion...Политехнический русско-французский словарь
  13. изгибание—изгибание изгибания изгибания изгибаний изгибанию изгибаниям изгибание изгибания изгибанием изгибаниями изгибании изгибаниях...Полная акцентуированная парадигма по Зализняку
  14. изгибание—Орфографическая запись слова изгибание Ударение в слове изгибание Деление слова на слоги перенос слова изгибание Фонетическая транскрипция слова изгибание [згбанэ] Харак...Полный фонетический разбор слов
  15. изгибание—згинання колном лукою вигинання ние телом вихиляння вигинання тлом....Російсько-український словник (Українська академія наук)
  16. изгибание—изгибание яСинонимы бластокинез выгибание гаптотропизм гибка закривление извивание искривление прогибание сгибание скривление...Русский орфографический словарь
  17. изгибание—Ср ym bkm qatlama....Русско-азербайджанский словарь
  18. изгибание—bend bending flexing...Русско-английский машиностроительный словарь
  19. изгибание—bending bowing buckling curving flexure hogging inflection изгибание с.ubending curvingСинонимы бластокинез выгибание гаптотропизм гибка закривление извивание искривлени...Русско-английский политехнический словарь
  20. изгибание—n.bending curving deformationСинонимы бластокинез выгибание гаптотропизм гибка закривление извивание искривление прогибание сгибание скривление...Русско-английский словарь математических терминов
  21. изгибание—с. создание изгибающего моментаem bending изменение формыem flexure изгибание плазменного шнура неупругое изгибание упругое изгибание...Русско-английский словарь по физике
  22. изгибание—bending flection вчт. flex flexure...Русско-английский словарь по электронике
  23. изгибание—bending curving flexure...Русско-английский строительный словарь
  24. изгибание—bending curving deformation ampLTphys.ampGT flexureСинонимы бластокинез выгибание гаптотропизм гибка закривление извивание искривление прогибание сгибание скривление...Русско-английский технический словарь
  25. изгибание—выгнанне...Русско-белорусский математический словарь
  26. изгибание—Выгнанне...Русско-белорусский словарь
  27. изгибание—выгнанне ср.i выгбанне ср.i...Русско-белорусский словарь II
  28. изгибание—изгиба Синонимы бластокинез выгибание гаптотропизм гибка закривление извивание искривление прогибание сгибание скривление...Русско-ивритский словарь
  29. изгибание—curvatura pandeo...Русско-испанский автотранспортный словарь
  30. изгибание—piegamento...Русско-итальянский автомобильный словарь
  31. изгибание—с. curvatura f piegatura f flessione f...Русско-итальянский политехнический словарь
  32. изгибание—Синонимы бластокинез выгибание гаптотропизм гибка закривление извивание искривление прогибание сгибание скривление...Русско-китайский словарь
  33. изгибание—liekana...Русско-латышский словарь
  34. изгибание—rangymasis osi...Русско-литовский словарь
  35. изгибание—Krpfung...Русско-немецкий автосервисный словарь
  36. изгибание—Biegen Krpfen...Русско-немецкий политехнический словарь
  37. изгибание—нити пряжиem Knicken...Русско-немецкий словарь по химии и химической технологии
  38. изгибание—нити пряжи Knicken...Русско-немецкий химический словарь
  39. изгибание—изгибание хамкун хам кардани ка кардани хамшав кашав...Русско-таджикский словарь
  40. изгибание—матем. техн. физ. згинання Синонимы бластокинез выгибание гаптотропизм гибка закривление извивание искривление прогибание сгибание скривление...Русско-украинский политехнический словарь
  41. изгибание—courbage repliement...Русско-французский словарь по химии
  42. изгибание—ohbn...Русско-чешский словарь
  43. изгибание—изгибание сущ. колво синонимов бластокинез выгибание гаптотропизм гибка закривление извивание искривление прогибание сгибание скривление Словарь сино...Словарь синонимов II
  44. изгибание—ИЗГИБАНИЕ деформация поверхности при которой длина каждой дуги любой линии проведенной на этой поверхности остается неизменной....Современный энциклопедический словарь
  45. изгибание—ИЗГИБАНИЕ ср. см. изгибать. см. изгибаться ....Толковый словарь русского языка
  46. изгибание—Ударение в слове изгибаниеУдарение падает на букву аБезударные гласные в слове изгибание...Ударение и правописание
  47. изгибание—изгибание изгибания изгибания изгибаний изгибанию изгибаниям изгибание изгибания изгибанием изгибаниями изгибании изгибаниях Источник Полная акцентуированная парадигма по...Формы слова
  48. изгибание—Иена Зина Зиг Зга Загиб Забег Изба Изгиб Изгибание Гиз Ген Геб Изгибина Изинг Инга Бег Нагиб Наз Наиб Нега Низ Банг Багин Азин Нии Бен Бенгази Биг Биза Набег Наб Газ Гази...Электронный словарь анаграмм русского языка
  49. изгибание—ИЗГИБАНИЕ деформация поверхности при которой длина каждой дуги любой линии проведенной на этой поверхности остается неизменной....Энциклопедический словарь естествознания
  50. изгибание—[bending] способ деформации поверхности при котором длина каждой дуги любой линии проведенной на этой поверхности остается неизменной. Наглядный пример изгибасвертывание...Энциклопедический словарь по металлургии