Lexikon der gesamten Technik

ASYMPTOTE

Asymptote: übersetzung

Asymptoteeiner Kurve heißt jede nicht ganz im Unendlichen liegende Tangente derselben, deren Berührungspunkt unendlich entfernt ist. Die Kurve nähert sich einer solchen unaufhörlich, ohne sie, theoretisch gesprochen, im Endlichen zu erreichen. Jedoch kann die Annäherung eine so schnelle sein, daß, wenn die Kurve in irgend einem bestimmten Maßstab gezeichnet ist, sie sich bald von der Asymptote nicht mehr unterscheiden läßt. Es werden bisweilen auch krummlinige Asymptoten in Betracht gezogen, vgl. [1] oder [2].

Bezüglich der Bestimmung der Asymptoten einer ebenen Kurve sind mehrere Fälle zu unterscheiden.

[331] a) Ist die Kurve durch zwei Gleichungenx=f1(t), y=f2(t)gegeben, so suche man sämtliche Werte vont, für diexoderyunendlich wird. Wenn für einen solchen Wert bloßxoder bloßyunendlich wird, dagegenyresp.xeinen bestimmten endlichen Wertbresp.aannimmt, so isty=bresp.x=adie Gleichung einer Asymptote der Kurve. Werden für einen Wertt=τsowohlxalsyunendlich, und setzt man die Gleichung der zugehörigen Asymptote in der Formy=px+qvoraus, so ist



Beispiel:



Es wirdxunendlich fürt= ± 1,yfür dieselben Werte und außerdem fürt= 0.Für letzteren Wert erhält manx=c, als Gleichung einer Asymptote. Weiter ergibt sich fürt= +1:



folglich als Gleichung der zugehörigen Asymptotey=x+c/2. Fürt= –1 findet man auf ähnliche Weisey= –x–c/2.

b) Die Fälle, in denen die Kurve durch eine einzige Gleichung der Formy=f(x)oderx=f(y)gegeben ist, kommen auf den vorigen zurück, wenn man im erstenx, im zweitenygleichtoder auch gleich einer Funktion vontsetzt. (Wird die Einführung der neuen Veränderlichentunterlaufen, so ist bei transzendenten Kurven darauf zu achten, daß für den Wert +∞ vonxresp.ysich eine andre Asymptote ergeben kann als für den Wert –∞. Vgl. das folgende Beispiel.) Es lassen sich diese Fälle auch dem folgenden unterordnen, also nach den unter c) angegebenen Methoden behandeln. Beispiel:y= ln(a+be3x), aundbpositiv. Man könntex=tsetzen, zweckmäßiger ist es aber,x= lnt zunehmen, wodurch mane3x=t3, y = ln(a+bt3) erhält. Es wirdxunendlich fürt= 0 undt= ∞,ydagegen für t = ∞ und t = –∛a/b, wovon der letztere Wert nicht in Betracht kommt, weil zu ihm ein imaginärer Wert vonxgehört. Fürt= 0 ergibt sichy= lnaals Gleichung einer Asymptote. Fürt= ∞ findet man



Also isty= 3x+ lnbdie Gleichung der zweiten Asymptote.

c) Wenn die Kurve durch eine GleichungF (x, y)= 0 gegeben ist, so kann man in dieserx=rcosφ, y=rsinφund (nötigenfalls nach Division mit einer passenden Potenz vonroder einer sonstigen Umformung, die das Auftreten unendlich werdender Glieder verhütet)r= ∞ setzen; jede Wurzel der entstehenden Gleichung fürφgibt dann den Winkel einer Asymptote der Kurve mit derx-Achse an. Ist einer dieser Winkel gleich einem Rechten, so hat die Gleichung der zugehörigen Asymptote die Formx=a;man bestimmtadurch Auflösung der Gleichung inx, die sich ergibt, wenn inF (x, y)= 0y= ∞ gesetzt wird. (Unter Umständen muß eine Umformung der Gleichung vorausgehen, die bewirkt, daß füry= ∞ alle Glieder derselben endlich bleiben.) In jedem andern Falle schreibe man die Gleichung der Asymptote in der Formy=px+q;es ist dannp=tg φundqmuß aus der Gleichung berechnet werden, die ausF(x,y)= 0 entsteht, wenn man darin(px+q)an Stelle vonyund hierauf – wiederum nach allenfalls nötigen Umformungen –x= ∞ setzt.

Beispiel:F (x, y)=x2y+xy2–c= 0.

Durch Einsetzen vonx=rcosφ, y=rsinφund Division mitr3erhält man

cosφsinφ(cosφ+ sinφ) –c/r3= 0,

also fürr= ∞:

cosφsinφ(cosφ+ sinφ) = 0.

Diese Gleichung zerfällt in folgende drei:

cosφ= 0, sinφ= 0, cosφ+ sinφ= 0.

Die erste der letzteren Gleichungen liefertφgleich einem rechten Winkel. Dividiert man die Gleichung der Kurve mity2und setzt dann y = ∞, so kommtx= 0, das daher die Gleichung einer Asymptote ist. Die andern beiden Gleichungen fürφergeben

φ= 0, also tgφ= 0, und tgφ= –1,

so daß many=qundy= –x+qerhält. Setzt man der Reihe nach diese Werte vonyin die Gleichung der Kurve ein, dividiert durchx2und läßt dannxunendlich werden, so kommt beidemaleq= 0. Die Gleichungen der zweiten und dritten Asymptote der Kurve sind dahery= 0 undy= –x.

Für algebraische Kurven gibt es einige besondere Methoden zur Ermittlung der Asymptoten, bezüglich derer auf [1], [2], [3] und [4] verwiesen werden kann. In [3] und [4] findet man auch geometrische Sätze über die Asymptoten höherer algebraischer Kurven nebst Literaturangaben.

d) Liegt eine GleichungF (r, φ)= 0 zwischen Polarkoordinaten vor, so läßt man in derselbenrunendlich werden (erforderlichenfalls nach Division mit einer gewissen Potenz vonr,[332] vgl. die vorhergehenden Fälle); die Wurzeln der sich ergebenden Gleichung fürφsind die Winkel zwischen den Asymptoten der Kurve und der Polarachse. Berechnet man für einen solchen Wert vonγden Ausdruck



so erhält man den Abstand der betreffenden Asymptote vom Anfangspunkt des Koordinatensystems.

Beispiel: Die Gleichung der hyperbolischen Spirale istrφ– c = 0. Dividiert man dieselbe durchrund setzt hieraufr= ∞, so kommtφ= 0, d.h. die Kurve besitzt eine zur Polarachse parallele Asymptote. Durch Ableitung obiger Gleichung nachrergibt sich



also ist



Somit befindet sich die Asymptote im Abstandcvon der Polarachse und zwar (wegen des Minuszeichens) auf der negativen Seite derselben. (Das Einsetzen vonφ= 0 und r = ∞ kommt hier in Wegfall, weilr2dφ/drkonstant ist). – Zahlreiche weitere Uebungsbeispiele enthalten [5] und [6]. Die Bestimmung der Asymptoten räumlicher Kurven erfolgt nach ähnlichen Grundsätzen; es kann hier namentlich das unter a) Gesagte als Anhalt dienen.


Literatur: [1] Johnson, W.W., Curve tracing in Cartesian coordinates, New York 1884. – [2] Reuschle, C., Praxis der Kurvendiskussion, Stuttgart 1886. – [3] Salmon, G., und Fiedler, W., Analytische Geometrie der höheren ebenen Kurven, 2. Aufl., Leipzig 1882. – [4] Hagen, J.G., Synopsis der höheren Mathematik, Bd. 2, Geometrie der algebraischen Gebilde, Berlin 1884. – [5] Schlömilch, O., Uebungsbuch zum Studium der höheren Analysis, 4. Aufl., Leipzig 1887. – [6] Sohncke, L.A., Sammlung von Aufgaben aus der Differential- und Integralrechnung, Bd. 1, 6. Aufl., Halle a. S. 1903.

Mehmke.


  1. asymptote—мат. асимптота...Англо-русский физический словарь
  2. asymptote—asymptote translationSynonyms and related wordsapproach bottleneck collision course concentralization concentration concourse concurrence confluence conflux congress conv...Moby Thesaurus
  3. asymptote—Asymptote bersetzung Asymptoutestrong auch emAsymptoutestrong f. Math. Gerade der sich eine Kurve nhert ohne sie im Endlichen zu erreichenem [ampLTgrch. asymptotosem n...Universal-Lexicon
  4. asymptote—Asymptote bersetzung Asymptoutestrong auch emAsymptoutestrong f. Math. Gerade der sich eine Kurve nhert ohne sie im Endlichen zu erreichenem [ampLTgrch. asymptotosem n...Universal-Lexicon
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  6. asymptote—Asymptote bersetzung Asymptoutestrong auch emAsymptoutestrong f. Math. Gerade der sich eine Kurve nhert ohne sie im Endlichen zu erreichenem [ampLTgrch. asymptotosem n...Universal-Lexicon
  7. asymptote—асимптота навивание колец у наутилоид...Англо-русский геологический словарь
  8. asymptote—Асимптота...Англо-русский морской словарь
  9. asymptote—матем. асимптота...Англо-русский научно-технический словарь
  10. asymptote—n асимптота...Англо-русский словарь Лингвистика-98
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  14. asymptote—f n мат.em...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  15. asymptote—Asymptotestrong f n мат. асимптоstrongта...Большой немецко-русский словарь
  16. asymptote—.strong f мат. adjасимптотический...Большой французско-русский и русско-французский словарь
  17. asymptote—асимптота...Дансько-український словник
  18. asymptote—асимптота...Дансько-український словник
  19. asymptote—Асимптота...Датсько-український словник
  20. asymptote—Асимптота...Датсько-український словник
  21. asymptote—Ceph.em матем.u асимптота...Немецко-русский геологический словарь
  22. asymptote—f...Немецко-русский математический словарь
  23. asymptote—f...Немецко-русский математический словарь
  24. asymptote—f...Немецко-русский политехнический словарь
  25. asymptote—[smtt] n мат....Новый большой англо-русский словарь
  26. asymptote—asymptote [smtt] n мат.i асимптота...Новый большой англо-русский словарь II
  27. asymptote—smtt n мат. асимптота...Новый большой англо-русский словарь под общим руководством акад. Ю.Д. Апресяна
  28. asymptote—as.strong f мат. .strong adjасимптотический...Новый французско-русский словарь
  29. asymptote—n r мат.u асимптота...Норвежско-русский словарь
  30. asymptote—Асимптота...Норвезько-український словник
  31. asymptote—Асимптота...Норвезько-український словник
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  33. asymptote—f асимптота...Французско-русский словарь по химии