ТОПОЛОГИЯ

- в широком смысле область математики, изучающая топологич. свойства разл. матем. и физ. объектов. Интуитивно, к топологич. относятся качественные, устойчивые свойства, не меняющиеся при деформациях.

Матем. формализация идеи о топологич. свойствах обычно основывается на понятии непрерывности. Наиб. универсальным является определение непрерывности, базирующееся на введении T. (в узком смысле слова), или структуры т о п о л о г и ч е с к о г о п р о с т р а н с т в а (коротко - "пространства") в данноемножество.T. на произвольном множестве точекXзадана, если указано, какие подмножества вXсчитаются о т к р ы т ы м и (т. е. состоящими только из своих внутр. точек - точек, имеющих окрестности, целиком содержащиеся в данном подмножестве). При этом, по определению, объединение любого числа открытых подмножеств и пересечения конечного их числа должны быть открытым подмножеством, всё множествоXи пустое подмножество также считаются открытыми. Дополнение к открытому подмножеству вXназ. з а м кн у т ы м п о д м н о ж е с т в о м. Обычно для задания T. вXуказывают её базу: совокупность таких открытых подмножеств, из к-рых любое открытое может быть получено операциями объединения и конечного пересечения. Напр., стандартная T. числовой прямой задаётся базой из интерваловaЛюбая часть (подмножество)Mтопологич. пространстваXтакже наделяется Т.: открытыми вMявляются пересечения сMмножеств, открытых вX.Напр., в единичном отрезке числовой прямой,, открытыми будут интервалыaполуинтервалы и их любые объединения.

Наиб.важными для приложений классами топологич. пространств являются достаточно общие геом. фигуры - многообразия и комплексы, определения к-рых будут даны ниже, а также функциональные пространства, где точка - это ф-ция (или отображение).

Для топологич. пространств определён ряд след. простейших топологич. понятий, фактически возникающих в элементарной теории ф-ций.

1. Отображение топологич. пространств наз. н е п р е р ы в н ы м, если полный прообраз любого открытого подмножества вYоткрыт вX.В частности, непрерывные отображения пространстваXв числовую прямую наз. непрерывными ф-циями наX.

2.Два пространстваX, Yназ. т о п о л о г и ч е с к и э кв и в а л е н т н ы м и, если определены два непрерывных взаимно обратных отображения (г о м е о м о р ф и з м а)

По определению, все топологич. свойства топологически эквивалентных пространств должны совпадать. Числовые (или более сложные, алгебраические) характеристики топологич. свойств, называемые т о п о л о г и ч е с к и м и и н в а р и а нт а м и, также должны быть одинаковыми для топологически эквивалентных пространств. Важным (напр., в качественной теориидинамических систем)примером такого топологич. инварианта, определённого для широкого класса пространств, является р а з м е р н о с т ь (разл. варианты её определения см. [5 ]).

3. Непрерывное отображение единичного отрезкаIв пространствоXназ. п у т ё м, соединяющим его концы - точки g(0) и g(1). ПространствоXназ. (линейно) с в я з н ы м, если любые две его точки можно соединить путём. Если пространствоXне является связным, то оно распадается на куски - к о м п о н е н т ы с в я з н о с т и, каждая из к-рых связна.

4. П р я м о е п р о и з в е д е н и еXxYпространствX, Yопределяется как множество пар (х, у)точек изX, Y,причём прямые произведения открытых подмножеств вX, Yобразуют базу вXxYНапр., прямое произведение числовых прямых-это плоскость; непрерывные ф-ции на -это непрерывные ф-ции двух переменных.

5. Д е ф о р м а ц и я, или г о м о т о п и я, отображения - это непрерывное отображениеy=F(x, t), прямого произведения пространстваXна единичный отрезок такое, что . Отображение заданное ф-лой будет результатом деформации отображенияf₀. Отображенияf₀иf₁наз. г о м о т о п н ы м и. Все отображения изXвY(поля наXсо значениями вY)распадаются на классы гомотопных отображений. Числовые характеристики таких классов наз. г о м о т о п и ч е с к и м и и н в а р иа н т а м и отображений или т о п о л о г и ч е с к и м и з а р я д а м и.

6. Два пространстваX, Yназ. г о м о т о п и ч е с к и э кв и в а л е н т н ы м и, если определены непрерывные отображения: и такие, что отображениеg(f(x)) гомотопно тождественному отображению , а отображениеf(g(x))- тождественному отображению Напр.,евклидово пространство(или выпуклая область в нём) с т я г и в а е м о, т. е. гомотопически эквивалентно точке. Многие важные топологич. инварианты (гомологии, гомотопич. группы, см. ниже) одинаковы для гомотопически эквивалентных пространств, т. е. являются г о м о т оп и ч е с к и м и и н в а р и а н т а м и.

7. Выделен важный подкласс х а у с д о р ф о в ы х п р ос т р а н с т в, в к-рых любые две точки можно окружить непересекающимися открытыми подмножествами (неха-усдорфовы пространства, как правило, не возникают в приложениях). В частности, хаусдорфовыми являются м е т р и ч е с к и е п р о с т р а н с т в а, в к-рых T. определяетсяметрикой:неотрицательной ф-цией r(х, у),задающей расстояние между любыми двумя точкамих, упространства [требуется, чтобы r(x,y)=0 только приу = х;-неравенство треугольника]. T. в метрич. пространстве определяется базой из открытых шаров Класс к о мп а к т н ы х п р о с т р а н с т вXопределяется след. условием: из любого покрытия пространстваXбесконечным числом открытых подмножеств можно выделить конечное число подмножеств, также покрывающихX.Непрерывные ф-ции на компактном связном пространстве обладают многими свойствами ф-ций, непрерывных на отрезке (ограниченность и др.). В евклидовом пространстве компактными будут замкнутые ограниченные подмножества.

Особой наглядностью отличаются топология, конструкции и задачи, возникающие при изучении кривых и поверхностей в трёхмерном пространстве. Единственным тополо-гич. инвариантом поверхностиM²(связной и замкнутой, т. е. без края) является её род, обозначаемый обычно черезg,равный числу "дыр" на рисунке поверхности (рис. 1). [Мы не рассматриваем пока неориентируемые поверхности (см. ниже), к-рые нельзя расположить в трёхмерном пространстве без самопересечений.] Для сферыg=0, для тораg=1Если поверхность представлена в виде многогранника, то её род может быть вычислен через э й л е р о в у х а р а к т е р и с т и к у

где В-число вершин, P-число рёбер, а Г-число граней многогранника. Непрерывным вариантом этой ф-лы является ф-ла Гаусса - Бонне

гдеК-гауссовакривизнаповерхности,dS-элемент площади. ЕслиM²задана какриманова поверхностьмногозначной алгебраич. ф-цииw = w(z),гдеF-многочлен от двух переменных, то её род может быть вычислен по ф-ле Римана - Гурвица,g=r/2-n+1, гдеr- суммарная кратность точек ветвления (см.Многозначная функция)ф-цииw(z) в к-рых происходит слияние нек-рых ветвей ф-цииw(z) [если в точке ветвления z₀после слияния остаются различнымиkветвейw₁(z₀) ...,w_k(z₀), то кратность этой точки ветвления, по определению, равнаn-k].

Единственный топологич. инвариантhзамкнутых н е о р и е н т и р у е м ы х п о в е р х н о с т е й определяется исходя из следующей их явной конструкции: нужно вырезать в поверхности сферыhотверстий и заклеить каждое из них листом Мёбиуса (важно, что его границей является окружность, рис. 2). Приh =1 получается проективная плоскость, приh=2 - бутылка Клейна (рис. 3). Эйлерова характеристика такой поверхности, определяемая по аналогии с (1), равна 2-h. Такие поверхности в трёхмерном пространстве обязательно имеют самопересечения.

Рассмотрим теперь примеры топологич. задач теории кривых. Замкнутая (гладкая) несамопересекающаяся кривая g на плоскости всегда расположена "топологически одинаково": она разделяет плоскость на две части-внутреннюю и внешнюю. Первые примеры топологич. величин возникают в теории ф-ций комплексного переменного: если замкнутая кривая g лежит в областиUна плоскости и ф-цияf(z) комплексно-аналитична вU,то величина не меняется при деформациях g внутри областиU.

Для з а ц е п л е н и й-двух несамопересекающихся и непересекающих друг друга замкнутых кривых в трёхмерном пространстве - определён топологич. инвариант их расположения- к о э ф ф и ц и е н т з а ц е п л е н и я {g₁, g₂}. Он равен числу витков одной кривой вокруг другой и не меняется при деформациях кривых, в процессе к-рых не происходит пересечений. Для незацепленных кривых, к-рые указанными деформациями можно растащить по разные стороны нек-рой плоскости, коэф. зацепления равен нулю. Коэф. зацепления замкнутых кривыхr=r₁(t),r=r₂(t'0вычисляется по ф-ле

[r₁₂=r₁(t)-r₂(t'), в числителе - смешанное произведение]. Однако коэф. зацепления не несёт всей топологич. информации о взаимном расположении двух замкнутых кривых; напр., для зацепленных кривых, изображённых на рис. 4, коэф. зацепления равен нулю.

Более сложно строятся топологич. инварианты узлов- несамопересекающихся замкнутых кривых в трёхмерном пространстве (или в трёхмерной сфереS³, получающейся добавлением к бесконечно удалённой точки). Два узла топологически эквивалентны, если один из них можно продеформировать в другой, причём в процессе деформации не должно возникать самопересечений. Полным топологич. инвариантом, измеряющим отличие узла от тривиального (рис. 5), являетсягруппаузла, совпадающая с фундам. группой (см. ниже) дополнения к узлу вS³. (Для тривиального узла она совпадает с группой целых чисел.) Однако ввиду некоммутативности группы узла (алгоритм её вычисления см. в [2]) этот инвариант непригоден, в частности для эфф. топологич. классификации узлов. Определены также более грубые инварианты узлов и зацеплений-многочлены Александера, Джонса и др., возникающие как статистич. суммы в нек-рых моделях двумерной статистич. физики. Узлы и зацепления могут быть получены посредством нек-рых отождествлений в группах кос; это позволяет строить топологич. инварианты узлов и зацеплений с помощью теории представлений групп кос, основывающейся на использовании теорииR-матриц. Предпринимались попытки использования узлов и зацеплений в статистич. механике нек-рых веществ с длинными молекулами.

Рис. 1. Поверхность родаg=2.

Рис. 2. Лист Мёбиуса.

Рис. 3. Неориентируемые поверхности.

Рис. 4. Пример зацепленных кривых с коэффициентомзацепления, равным нулю.

Рис. 5. Тривиальный (а) и нетривиальный (б)узлы.

Многомерные обобщения большинства перечисленных наглядно-топологич. задач приводят к T, многообразий - важнейшему разделу Т., тесно взаимодействующему с совр. матем. физикой. Множество точекMⁿявляетсяn-мерным гладкиммногообразием,если оно представлено в виде объединения нек-рых своих подмножествU_a, a=1, 2, ...- карт, каждое из к-рых отождествлено с областью (открытым подмножеством) в пространстве . Отображения отождествления задают в каждомU_aлокальные координаты. Требуется, чтобы на пересечении двух картU_aиU_bкоординаты выражались через координаты (и обратно) при помощи гладких (т. е. непрерывно дифференцируемых достаточное число раз) ф у н к ц и й п е р е х о д а:

T. в многообразии определяется так: подмножество в M " открыто, если открыто его пересечение с каждой картой. Дополнительно в определении многообразия требуется, чтобы пересечение любых двух карт было открыто, а также чтобыMⁿбыло хаусдорфовым топологич. пространством. Многообразие наз. з а м к н у т ы м, если оно компактно и связно. Все понятия дифференц. исчисления ф-ций многих переменных и локальной дифференц. геометрии (гладкие ф-ции и отображения, векторные и тензорные поля, дифференц. формы, римановы метрики и др.) несложно переносятся на многообразия. Многообразия наз. д и ф ф е о м о р ф н ы м и, если определены взаимообратные гладкие отображения и МногообразиеMⁿ-о р и е н т и р о в а н н о е, если локальные координаты согласованы так, что на пересечении двух карт . Если такой согласованный выбор карт наMⁿневозможен (напр., на проективной плоскости), то многообразие наз. н е о р и е н т и р у е м ы м. Определён интеграл дифференц.n-формы w (см.Дифференциальная форма)поn-мерному замкнутому ориентированному многообразиюMⁿ.М н о г о о б р а з и е с к р а е мWⁿвыделяется вn-мер-ном замкнутом многообразии неравенством гдеf(x)- гладкая ф-ция, причём на краедWⁿ, гдеf(x) =0,должно выполняться условиеКрайдWⁿориентированного многообразия сам является (п-1)-мерным ориентированным многообразием (возможно, несвязным), и для любой дифференциальной (п-1)-формы w справедлива общая ф-ла Стокса

гдеdw-дифференциал формы w (см.Стокса теорема).

Примерами многообразий служат поверхности в многомерных евклидовых пространствах, локально заданные неособыми системами гладких ур-ний. Хотя, в принципе, любое (с нек-рыми топологич. ограничениями, напр., компактное) многообразие может быть задано как поверхность в каком-то многомерном пространстве, ряд многообразий не задаётся в виде поверхностей. Напр.,n-мерное проективное пространствоRPⁿопределяется как совокупность ненулевых векторов (u⁰:u¹: ...uⁿ), рассматриваемых с точностью до пропорциональности. КартыU₀,...,U_nопределяются из условия в картеU_a. Локальные координаты (x¹_a,х²_a, ...,х_aⁿ)в картеU_aимеют видxⁱ_a= при при i>a Ф-ции на RPⁿ- это однородные ф-ции (п +1) переменных, = Ещё один класс примеров -n-мер-ный тор Tⁿ, получающийся факторизацией пространства по целочисленной решётке, порождённой произвольным реперомe₁...,е_nв . Ф-ции на Tⁿ- этоn-кратно периодические ф-цииппеременных: Др. примеры см. в [1 ], [2], [7].

В приложениях часто возникают также многообразия, являющиеся группами Ли и однородными пространствами. Если в определении многообразияп=2ти ф-ции перехода (3), определённые в области комплексного пространства комплексно аналитичны, тоМ^2тназ. к о м п л е к сн ы м м н о г о о б р а з и е м комплексной размерностит.Примерами комплексно-одномерных многообразий являются комплексная плоскость сфера Римана получающаяся из добавлением бесконечно удалённой точки, а также римановы поверхности многозначныханалитических функций.Определены также комплексные проективные пространстваCPⁿ, определяемые по аналогии сRPⁿ, но все координаты векторов комплексные. К о м п л е к сн ы е а л г е б р а и ч е с к и е м н о г о о б р а з и я вCPⁿлокально задаются системами однородных алгебраич. ур-ний от координат (u⁰,u¹, ...,иⁿ).Напр., в разл. задачах матем. физики (см. [1], [3]) появляются п о в е р х н о с т и т и п а К 3; представители этого класса поверхностей задаются в CP³однородными ур-ниями 4-й степени. В интегрируемых системах теории солитонов возникают а б е л е в ы м н о г о о б р а з и я - 2-мерные торы, получающиеся факторизацией пространства по целочисленной решётке, порождённой векторамиe₁, ...,е_т,,гдеe₁,...,e_m-базис в, а t - линейный оператор в пространстве , задаваемый в базисеe₁, ...,е_тсимметрич. матрицей с положительно определённой мнимой частью.

Одной из важнейших задач T. многообразий является задача классификации многообразий данной размерностип(напр., замкнутых) с точностью до диффеоморфности. При этом многие (хотя и не все - см. [3]) инварианты гладких многообразий оказываются топологич. и даже гомотопич. инвариантами. Прип=1любое замкнутое многообразие есть окружность. Прип =2любое замкнутое ориентированное многообразие есть поверхность нек-рого родаg>=0 а любое неориентированное-сфера с плёнками Мёбиуса. Приn>=3 задача классификации не решена. Ряд топологич. инвариантов замкнутых ориентированных многообразий можно получить, интегрируя подходящие комбинации, компоненткривизны тензора R_ijklпроизвольной римановой метрики [обобщение ф-лы (2) для эйлеровой характеристики]. Так, напр., эйлерова характеристика 4-мерного многообразия вычисляется по ф-ле

где e^ijkl-антисимметричный тензор 4-го ранга с e¹²³⁴= = 1, а 1-й к л а с с П о н т р я-г и н а-по ф-ле

Для построения более сложных инвариантов 3-мерных и 4-мерных многообразий привлекают идеи и методы квантовой теории поля [4], [6].

Важна также задача гомотопич. классификации отображений многообразий (все отображения и гомотопии можно считать гладкими). Напр., задача отыскания топологич. характеристик (илитопологических зарядов) n-компонентных полей определённых на С заданной асимптотикой на бесконечности типа .при совпадает с задачей гомотопической классификации отображений сфер Полностью решается задача классификации отображений произвольногоn-мерного замкнутого ориентированного многообразияMⁿвn-мерную сферуSⁿ. Единственным инвариантом (или топологич. зарядом) отображения полностью определяющим его гомотопич. класс, является с т е п е н ь о т о бр а ж е н и я - целое число degfвычисляемое по ф-ле

где s_n-объём единичнойn-мерной сферы. Укажем также и н в а р и а н т Х о п ф а-целое число, полностью определяющее гомотопич. класс отображений сфер

где 1-форма w наS³.такова, что ,dS-форма площади наS².(Интегральные ф-лы для топологич. зарядов отображений разл. многообразий и нек-рые их физ. приложения см. в [8 ].)

Идеи и методы T. многообразий в ряде случаев удаётся применить к изучению функциональных пространств, рассматривая их как бесконечномерные многообразия. Важнейшими примерами являются п р о с т р а н с т в о п у т е й с фиксированными концами, расположенных на данном многообразииMⁿ, атакже п р о с т р а н с т в о п е т е л ь (замкнутых кривых) наMⁿ.T. пространства путей и пространства петель на многообразииMⁿоказывается тесно связанной с T. многообразияMⁿ.Это обстоятельство исключительно важно для решения задач вариационного исчисления в целом (см. ниже).

Ещё один важный класс топологич. пространств - к о м п л е к с ы, к-рые возникают как обобщения многогранников. T. комплексов является тем самым комбинаторной версией T. многообразий (хотя и находится с ней в тесных взаимоотношениях). Подобно тому как многообразия склеиваются из областей евклидова пространства, с и м п л и ц и а л ь н ы е к о м п л е к с ы склеиваются из с и м п л е к с о в - отрезков, треугольников и их многомерных обобщений,n-мерный симплекс определяется как выпуклая оболочкаn+1 точекx₀, x₁,...,х_nвn-мерном пространстве, не лежащих в однойn-мерной плоскости, т. е. совокупность точек вида

Г р а н и такого симплекса получаются приравниванием нулю части координатt₀,t₁, ...,t_n.Симплициальным комплексомКназ. совокупность симплексов, удовлетворяющая след, двум требованиям: 1) вместе с каждым симплексом в комплексе содержатся все его грани; 2) любые два симплекса или не имеют общих точек, или пересекаются по целой грани. Напр., одномерный комплекс - это г р а ф. КомплексКявляется топологич. пространством: открытыми являются те подмножества точек вК,пересечение к-рых с каждым симплексом открыто. Подразделением комплексаКназ. новый комплекс, получающийся изКразбиением каждой его грани на более мелкие части, превращающие саму эту грань в симплициальный комплекс. Числовые или алгебраич. характеристики топологич. свойств комплексов по определению должны совпадать для исходного и подразделённого комплексов, т. е. являться к о м б и н а т о р н ы м и и н в а р и а н т а м и. Большинство (но не все-см. [3]) комбинаторных инвариантов комплексов, напр. эйлерова характеристика

гдеc_k-числоk-мерных симплексов комплексаК,являются топологическими и даже гомотопическими инвариантами.

К у б и ч е с к и е к о м п л е к с ы определяются аналогично симплициальным, но вместо симплексов берутся кубы всех размерностей. Особый интерес такие комплексы вызывают потому, что евклидовы пространства допускают правильное разбиение на кубы (решётка). Связанные с кубич. комплексами топологич. задачи возникают поэтому при изучении моделей статистич. физики [9]. При вычислении нек-рых гомотопич. инвариантов пространств (напр., гомологии и гомотопических групп - см. ниже) используются также клеточные комплексы [3 ].

При изучении топологич. свойств методами а л г е бр а и ч е с к о й T. каждому (достаточно хорошему) пространству сопоставляется алгебраич. характеристика - линейное пространство, группа, кольцо и пр., причём это сопоставление (ф у н к т о р) должно обладать свойством е с т е с т в е н н о с т и или к о в а р и а н т н о с т и: отображениям топологич. пространств сопоставляются алгебраич. отображения (гомоморфизмы-см.Группа)их алгебраич. характеристик. Простейшим примером является ф у н д ам е н т а л ь н а я г р у п п а пространства. Элементами фундаментальной группы p₁(X, x₀)пространстваXс отмеченной точкойx₀являются гомотопические классы петель - замкнутых путей с началом и концом в точкеx₀(в процессе гомотопии начало и конец пути должны оставаться в точкеx₀).Произведение путей определяется как их последовательное прохождение, а единичный элемент - постоянное отображение в точкуx₀.Эта группа, вообще говоря, некоммутативна. При изменении отмеченной точкиx₀в связном пространствеXгруппа p₁(X, x₀) заменяется на изоморфную. Непрерывное отображение пространствX, Y сотмеченными точками индуцирует гомоморфизм фундам. групп (ковариантность), не меняющийся при гомотопиях отображенияf. Отсюда уже вытекает, что фундам. группа является гомотопическим инвариантом связного пространства. Поэтому для стягиваемого пространства- прямой, плоскости, евклидова пространства, дерева (графа без циклов) и др.- фундам. группа тривиальна, т. е. состоит только из единичного элемента. Пространства с тривиальной фундам. группой наз. о д н о с в я з н ы м и. Односвязной является также сфера, евклидово пространство с набором выколотых точек и др. Простейший пример неодносвязного пространства - окружностьS¹(ей гомотопически эквивалентна плоскость с выколотой точкой): (группа целых чисел). [Если задать петлю наS¹функциейf(t), удовлетворяющей условию то целое числоkи будет единственным топологич. зарядом этой петли] Примерами пространств с неабелевой фундам. группой являются плоскость сn>=2 выколотыми точками, а также поверхности родаg>=2. Для проективных пространств группа состоит из двух элементов +1, - 1. [Если задать петлю на RPⁿне обращающейся в нуль вектор-функцией (u⁰(t),u¹(t), ...,uⁿ(t)),причёмi= 0, 1,...,n, то соответствующий элемент+1 фундам. группы совпадает со знаком l. ]

Аналогично определяются высшие гомотопич. группы p_k(X, x₀).Их элементами являются гомотопич. классы отображенийk-мерной сферы (с отмеченной точкой) вX.Эти группы приk>=2 абелевы. Особенно важны гомотопич. группы сфер , нетривиальные приk>=n.. Известно, напр., что [топологич. заряд - степень отображения (5)], [топологич. заряд - инвариант Хопфа (6)]. До настоящего времени при всехk, nгруппы не вычислены. (Таблицу известных гомотопич. групп сфер см. в [2].)

Более простыми топологическими (и гомотопическими) характеристиками являются г о м о л о г и и и к о г о м о л о г и и пространств. Проще всего определить когомологии многообразий. Элементамиk-йгруппы (и даже линейного пространства) когомологий являются классы эквивалентности замкнутых дифференц.k-форм,

, на многообразииM,рассматриваемых с точностью до т о ч н ы х ф о р м: w~w' ,если w-w'=ds ,где s-(k-1)-форма. Размерность пространства наз.k-мч и с л о м Б е т т и Известно, чтоb₀равно числу связных компонентM,суммаb₀- b₁+b₂- ...равна эйлеровой характеристикеM.Если многообразиеMⁿn-мерно, то приk>n;для замкнутых ориентируемых многообразий имеет место д в о й с т в е н н о с т ь П у а н к а р е: Напр., дляn-мерной сферыb₀= b_n=1,остальные числа Бетти нулевые. Для стягиваемыхMв силу гомотопич. инвариантности когомологии тривиальны:b_k=0 приk>0. Тем самым, в частности, из замкнутостиdw=0 формы w вытекает существование локальной формы s , такой, что w=ds (утверждение, обобщающее условия потенциальности или соленоидальности векторных полей).

Элементамиk-мерной группы гомологии пространстваM,говоря наглядно, являютсяk-мерные циклы (или, иначе, ориентированные замкнутыеk-мерные плёнки) вMи их формальные линейные комбинации с целыми коэффициентами. При этом два цикла считаются эквивалентными (г о м о л о г и ч н ы м и), если они служат границей (k+1)-мерной плёнки (рис. 6, дляk=1).Для строгого определения групп гомологии приходится заменять пространствоMна гомотопически эквивалентный ему комплекс [3].Примеры: для поверхностейM²родаgимеем:

(2gcлагаемых); для проективной плоскости (группа из двух элементов), Если в определении гомологии брать линейные комбинации циклов с любыми вещественными коэф., то получаются группы (линейные пространства) (в качестве коэф. иногда полезно также брать элементы из любой абелевой группы). Ф-ла где w-замкнутаяk-форма, а g-k-мерный цикл, определяет [в силу ф-лы Стокса (4)] невырожденное скалярное произведение между пространствами Поэтому эти пространства гомологии и когомологий имеют одинаковую размерность [равную числу Беттиb_k(M)].

Рис. 6. Гомологичные циклы g и g'=g₁-g₂(двумерная плёнка между ними заштрихована).

Более сложные гомотопич. характеристики пространств, возникающие в алгебраич. Т.,- экстраординарные гомологии (напр., бордизмы,K-теория и др. [3]).

Важной сферой применения теории гомологии является вариационное исчисление в целом (этот раздел T. называют т е о р и е й М о р с а). Удаётся выводить существование решений вариационных задач на многообразии из информации о его гомологиях. Обобщение теории Морса на многозначные функционалы найдено в [10] (см. также [3]).

T. р а с с л о е н и й играет важную вспомогат. роль во многих топологич. вычислениях: её задачи имеют также и самостоятельную (в т. ч. прикладную) ценность. Интуитивно,расслоение сбазойВи слоемFесть семейство одинаковых слоевF_x,непрерывно зависящих от точкиxбазыВ (F, В-нек-рые пространства, напр. многообразия); объединениеEвсех слоевF_xназ. п р о с т р а нс т в о м р а с с л о е н и я, а отображение переводящее каждую точку слояF_xвх,-п р о е к ц и е й р а с с л о ен и я. Простейшим примером служит прямое произведениеE=FхВ,гдеF_xсостоит из пар вида (f, x),f-точка изF.Более сложный пример - лист Мёбиуса (расслоение с базой окружность и слоем отрезок). Если слойFявляется дискретным множеством, то расслоение наз. н а к р ы т ие м. Напр., отображение задаёт накрытие прямой над окружностью |z|=1, слоем является совокупность целых чисел. Накрытия - осн. инструмент при вычислении фундам. групп. Более сложные расслоения используются для вычисления гомотопич. групп. Для вычисления гомологии и когомологий расслоений используется техника спектральных последовательностей [3], [11].

Осн. задачей T. расслоений является задача классификации расслоений. По определению, гомоморфизм задаёт э к в и в а л е н т н о с т ь двух расслоений ир₂: если он сохраняет слои, т. е. для всехуизE₁.Расслоение, эквивалентное прямому произведению, наз. т р и в и а л ь н ы м. Расслоения над евклидовым пространством (без ограничений на поведение в бесконечности) тривиальны;G-расслоения надn-мерной сферойSⁿклассифицируются элементами гомотопич. группы Топологич. характеристики расслоений наз. х а р а к т е р и с т и ч е с к и м и к л а с с а м и. Для расслоений со структурной группойG(гдеG- группа Ли) харак-теристич. классы могут быть выражены через кривизну расслоения, определяя тем самым топологич. зарядысвязностейв расслоении (или, эквивалентно,калибровочных полей).Напр., единств. топологич. инвариантом, задающимU(1)-расслоение над двумерной сферойS²,является п е р в ы й к л а с с Ч е р н а (Ч ж э н я)

где -форма кривизны расслоения; , а дляSU(2)-расслоений над 4-мерной сферойS⁴- в т о р о й к л а с с Ч ж э н я

где

- матричная форма кривизны расслоения (интегралы нормированы условием целочисленности величинc₁иc₂).

Осн. топологич. характеристикой эллиптич. оператора является его и н д е к с. (Это понятие возникло при исследовании краевых задач теории упругости.) Индексом линейного оператора [гдеH₁, H₂-гильбертовы пространства,операторАдолжен быть нетеровым, т. е. должен иметь конечномерное ядро-совокупность решений ур-нияAy=0, и коядро-совокупность решений сопряжённого ур-ния (здесь - сопряжённый оператор)] называется разность размерностей ядра и коядра. Индекс является гомотопич. инвариантом оператора, не меняясь при деформацииАв классе нетеровых операторов. Для эллиптич. оператора на многообразии (условие нетеровости выполнено) теорема об индексе позволяет вычислить индекс оператора через топологич. характеристики многообразия [4]. Это позволяет, в частности, в ряде случаев вычислять размерность пространства решений ур-ния видаAy=0(т. е. число нулевых мод оператораА).

Топологич. методы оказываются также весьма полезными в ряде задач качественной теории динамич. систем и слоений: в задачах топологич. классификации таких систем, описания их инвариантных и предельных множеств и др.

Лит.:1) Фукс Д. Б., Классические многообразия, в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 12, M., 1985, с. 253; 2) Дубровин Б. А., Новикове. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия. Методы и приложения, 2 изд., M., 1986; 3) их же, Современная геометрия. Методы теории гомологии, M., 1984; 4) Шварц А. С., Квантовая теория поля и топология, M., 1989; 5) Гуревич В., Вол-мэн Г., Теория размерности, пер. с англ., M., 1948; 6) Witten E., Some geometrical applications of quantum field theory, in: IX International Congress on Mathematical Physics, Bristol-N. Y., 1989, p. 77; 7) Бессе А., Многообразия Эйнштейна, пер. с англ., т. 1-2, M., 1990; 8) Новиков С. П., Аналитический обобщенный инвариант Хопфа. Многозначные функционалы, "Успехи матем. наук", 1984, т. 39, № 5, с. 97; 9) Долбилин H. П., Штанько M. А., Штогрин M. И., Комбинаторные вопросы двумерной модели Изинга, "Труды МИАН", 1991, т. 196, с. 51; 10) Новиков С. П., Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса, "Успехи матем. наук", 1982, т. 37, № 5, с. 3; И) Фоменко А. Т., Фукс Д. Б., Курс гомотопической топологии, M., 1989.

Б. А. Дубровин.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.

Синонимы:

математика

топология—от греч. tоpos место и логия См. .Логия часть геометрии посвященная изучению феномена непрерывности выражающегося например в понятии предела. Разнообразие проявлений неп...Большая Советская энциклопедия II
топология—топо греч. logos слово учение наука . раздел математики изучающий инвариантные свойства пространства . в психологии термин относится преимущественно к теории поля К.Лев...Большая энциклопедия по психиатрии
топология—ж. мат. topologia Итальянорусский словарь. Синонимы математика...Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь
топология—ж мат.Topologie f математика...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
топология—топология ж мат. Topologie fСинонимы математика...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
топология—ж. геом.topologa f...Большой русско-испанский словарь
топология—сущ. жен. рода только ед. ч....Большой русско-украинский словарь
топология—от греч. topos место и .логия раздел математикиизучающий топологические свойства фигур т. е. свойства не изменяющиесяпри любых деформациях производимых без разрывов и с...Большой энциклопедический словарь II
топология—ТОПОЛОГИЯ от греч. topos место и .логия раздел математики изучающий топологические свойства фигур т. е. свойства не изменяющиеся при любых деформациях производимых без ...Большой Энциклопедический словарь V
топология—от греч. tpos место и .логияi раздел математики изучающий топологич. свойства фигур т. е. свойства не изменяющиеся при любых деформациях производимых без разрывов и скле...Естествознание. Энциклопедический словарь
топология—и ж.em Раздел математики изучающий наиболее общие свойства геометрических фигур не изменяющиеся при любых деформациях.[От греч. место и учение] математика...Малый академический словарь
топология—раздел математики имеющий своим назначением выяснение и исследование в рамках математики идеи непрерывности. Интуитивно идея непрерывности выражает коренные свойства прос...Математическая энциклопедия
топология—корень ТОП соединительная гласная О корень ЛОГ окончание ИЯ Основа слова ТОПОЛОГВычисленный способ образования слова Сложение основ ТОП соединительная гласная О Л...Морфемный разбор слова по составу
топология—Начальная форма Топология единственное число женский род именительный падеж неодушевленное...Морфологический разбор существительных
топология—ТОПОЛОГИЯstrong раздел математики изучающий свойства геометрических фигур остающиеся неизменными при любой деформации сдавливании растягивании скручивании но без разрыво...Научно-технический энциклопедический словарь
топология—от topos место логия математическая дисциплина изучающая такие свойства фигур которые не изменяются при любых деформациях производимых без разрывов и склеиваний матема...Начала современного естествознания
топология—топология ж. Раздел математики изучающий качественные свойства геометрических фигур не зависящие от их длины величины углов прямолинейности и т.п....Новый толково-словообразовательный словарь русского языка
топология—Отрасль математики которая занимается теми свойствами пространства которые остаются неизменяемыми когда пространство искажается. В психологии эти принципы используются в ...Оксфордский толковый словарь по психологии
топология—Отрасль математики которая занимается теми свойствами пространства которые остаются неизменяемыми когда пространство искажается. В психологии эти принципы используются в ...Оксфордский толковый словарь по психологии
топология—топология топология и...Орфографический словарь
топология—u жu Р.u Д.u Пр.u топологии математика...Орфографический словарь русского языка
топология—топология...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
топология—топология...Орысша-қазақша «Электроника, радиотехника және байланыс» терминологиялық сөздік
топология—math...Политехнический русско-французский словарь
топология—топология топологии топологии топологий топологии топологиям топологию топологии топологией топологиею топологиями топологии топологиях...Полная акцентуированная парадигма по Зализняку
топология—Орфографическая запись слова топология Ударение в слове топология Деление слова на слоги перенос слова топология Фонетическая транскрипция слова топология [тапалога] Хар...Полный фонетический разбор слов
топология—топология иСинонимы математика...Русский орфографический словарь
топология—Ж riyaz. topologiya hndsnin cisimlrin xasslrindn bhs edn hisssi....Русско-азербайджанский словарь
топология—topology...Русско-английский морской словарь
топология—configuration symbolic layout layout электрон.u topology топология ж.utopologyалгебраическая топология algebraic topologyтопология системы вчт.u system topologyСиноним...Русско-английский политехнический словарь
топология—ж.раздел математики изучающий неизменяемые свойства пространства при искажении последнегоem topology...Русско-английский психологический словарь
топология—топология ж. мат.itopology...Русско-английский словарь
топология—f. математика...Русско-английский словарь математических терминов
топология—ж. алгебраическая топология магнитная топология многомерная топология нетривиальная топология плоская топология сферическая топология топология вакуумной камеры топология...Русско-английский словарь по физике
топология—topology configuration микр. symbolic layout layout layout pattern...Русско-английский словарь по электронике
топология—configuration...Русско-английский строительный словарь
топология—topology комбинаторная топология матричная топология многоэмиттерная топология топология системытопология простой сходимости simple convergence topologyтопология рыбья к...Русско-английский технический словарь
топология—topology...Русско-английский толковый словарь терминов по информатике
топология—тапалогя...Русско-белорусский математический словарь
топология—Тапалогя...Русско-белорусский словарь
топология—мат.i тапалогя жен.i...Русско-белорусский словарь II
топология—тапалоuгя г топология сети шинная топология схемы усилителя...Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов
топология—тапалогя г...Русско-белорусский физико-математический словарь
топология—математика...Русско-ивритский словарь
топология—topologia...Русско-итальянский медицинский словарь
топология—ж. матем. topologia f алгебраическая топология комбинаторная топология топология системы...Русско-итальянский политехнический словарь
топология—[] Синонимы математика...Русско-китайский словарь
топология—topoloija...Русско-латышский словарь
топология—напр. интегральной микросхемы печатной платыem Layout Topologie...Русско-немецкий политехнический словарь
топология—topologi математика...Русско-норвежский словарь
топология—topologia...Русско-польский словарь
топология—ж матu topologia f математика...Русско-португальский словарь
топология—Топологияtopolojia...Русско-суахили словарь
топология—топология топология...Русско-таджикский словарь
топология—матем. наук. топологя теоретикомножественная топология теоретикомножинна топологя адическая топология алгебраическая топология геометрическая топология дифференциаль...Русско-украинский политехнический словарь
топология—topologie...Русско-чешский словарь
топология—Topoloogia...Русско-эстонский словарь
топология—топология иСинонимы математика...Русское словесное ударение
топология—топология математика...Слитно или раздельно? Орфографический словарь-справочник
топология—Topology раздел математики изучающий свойства геометрических фигур которые не изменяются при деформациях происходящих без разрывов.Словарь бизнестерминов.Академик.ру мат...Словарь бизнес терминов
топология—ТОПОЛОГИЯ Наука учение о местностях. Словарь иностранных слов вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н. топология гр.em topos место местность .логия раздел математ...Словарь иностранных слов русского языка
топология—топология сущ. колво синонимов математика Словарь синонимов ASIS.В.Н. Тришин. . Синонимы математика...Словарь синонимов II
топология—Б. Грин Разбиение многообразий иа группы в каждой из которых одно многообразие можно продеформировать в другое без какоголибо разрыва или повреждения структуры....Словарь современной физики из книг Грина и Хокинга
топология—ТОПОЛОГИЯ от греч . topos место и .логия раздел математики изучающий топологические свойства фигур т. е. свойства не изменяющиеся при любых деформациях производимых без ...Современный энциклопедический словарь
топология—Топология topology структура соединений устройств или систем без учета количественных характеристик соединений и элементов структуры длин объемов мощности множества узло...Терминологический словарь автоматизации строительства и производственных процессов
топология—топология [гр. topos место местность .логия] раздел математики изучающий наиболее общие свойства геометрических фигур свойства не изменяющиеся при любых непрерывных пре...Толковый словарь иностранных слов
топология—ТОПОЛОГИЯ топологии мн. нет ж. от греч. topos место и logos учение мат. Часть геометрии исследующая качественные свойства фигур т.е. не зависящие от таких понятий как д...Толковый словарь русского языка II
топология—ТОПОЛОГИЯ ж. Раздел математики изучающий качественные свойства геометрических фигур не зависящие от их длины величины углов прямолинейности и топологияп....Толковый словарь русского языка
топология—Ударение в слове топологияУдарение падает на букву оБезударные гласные в слове топология...Ударение и правописание
топология—Rzeczownik топология f Matematyczny topologia f...Универсальный русско-польский словарь
топология—топология топологии топологии топологий топологии топологиям топологию топологии топологией топологиею топологиями топологии топологиях Источник Полная акцентуированная п...Формы слова
топология—от греч. toposместо и logosслово учение в химии. Как мат. дисциплина м. б. разделена на две части теоретикомножественную Т. и геометрическую Т. Первая дает химии аппарат ...Химическая энциклопедия
топология—Плот Плитя Пилот Отология Опт Оплот Ооо Оология Оолит Пол Полит Полог Пология Оля Пот Ляп Лото Лот Логотип Логия Поти Потяг Тип Лог Того Тол Топ Итого Итог Тополог Тополо...Электронный словарь анаграмм русского языка
топология—ТОПОЛОГИЯраздел математики занимающийся изучением свойств фигур или пространств которые сохраняются при непрерывных деформациях таких например как растяжение сжатие или и...Энциклопедия Кольера II
топология—Топология означает трехмерное расположение элементов по меньшей мере один из которых является активным элементом и некоторых или всех взаимосвязей интегральной микросхемы...Юридический словарь по патентно-лицензионным операциям