ТОПОЛОГИЯ

ТОПОЛОГИЯраздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. Непрерывная деформация - это деформация фигуры, при которой не происходит разрывов (т.е. нарушения целостности фигуры) или склеиваний (т.е. отождествления ее точек). Такие геометрические свойства связаны с положением, а не с формой или величиной фигуры. В отличие от евклидовой и римановой геометрий, геометрии Лобачевского и других геометрий, занимающихся измерением длин и углов, топология имеет неметрический и качественный характер. Раньше она носила названия "анализ ситус" (анализ положения), а также "теория точечных множеств". В научно-популярной литературе топологию часто называют "геометрией на резиновом листе", поскольку ее наглядно можно представлять себе как геометрию фигур, нарисованных на идеально упругих резиновых листах, которые подвергаются растяжению, сжатию или изгибанию. Топология - один из новейших разделов математики.История. В 1640 французский математик Р.Декарт (1596-1650) нашел инвариантное соотношение между числом вершин, ребер и граней простых многогранников. Это соотношение Декарт выразил формулой V - E + F = 2, где V - число вершин, E - число ребер и F - число граней. В 1752 швейцарский математик Л.Эйлер (1707-1783) дал строгое доказательство этой формулы. Еще один вклад Эйлера в развитие топологии - это решение знаменитой задачи о кёнигсбергских мостах. Речь шла об острове на реке Прегель в Кёнигсберге (в том месте, где река разделяется на два рукава - Старый и Новый Прегель) и семи мостах, соединяющих остров с берегами. Задача состояла в том, чтобы выяснить, можно ли обойти все семь мостов по непрерывному маршруту, побывав на каждом только один раз и вернувшись в исходную точку. Эйлер заменил участки суши точками, а мосты - линиями. Полученную конфигурацию Эйлер назвал графом, точки - его вершинами, а линии - ребрами. Вершины он разделил на четные и нечетные в зависимости от того, четное или нечетное число ребер выходит из вершины. Эйлер показал, что все ребра графа можно обойти ровна по одному разу по непрерывному замкнутому маршруту, лишь если граф содержит только четные вершины. Так как граф в задаче о кёнигсбергских мостах содержит только нечетные вершины, мосты невозможно обойти по непрерывному маршруту, побывав на каждом ровно по одному разу и вернувшись к началу маршрута.Предложенное Эйлером решение задачи о кенигсбергских мостах зависит только от взаимного расположения мостов. Оно положило формальное начало топологии как разделу математики. К.Гаусс (1777-1855) создал теорию узлов, которой позднее занимались И.Листинг (1808-1882), П.Тэйт (1831-1901) и Дж.Александер. В 1840 А.Мёбиус (1790-1868) сформулировал так называемую проблему четырех красок, которую впоследствии исследовали О.де Морган (1806-1871) и А.Кэли (1821-1895). Первым систематическим трудом по топологии были Предварительные исследования по топологии Листинга (1874).Основателями современной топологии являются Г.Кантор (1845-1918), А.Пуанкаре (1854-1912) и Л.Брауэр (1881-1966).Разделы топологии. Топологию можно подразделить на три области: 1) комбинаторную топологию, изучающую геометрические формы посредством их разбиения на простейшие фигуры, регулярным образом примыкающие друг к другу; 2) алгебраическую топологию, занимающуюся изучением алгебраических структур, связанных с топологическими пространствами, с упором на теорию групп; 3) теоретико-множественную топологию, изучающую множества как скопления точек (в отличие от комбинаторных методов, представляющих объект как объединение более простых объектов) и описывающую множества в терминах таких топологических свойств, как открытость, замкнутость, связность и т.д. Разумеется, такое деление топологии на области в чем-то произвольно; многие топологи предпочитают выделять в ней другие разделы.Некоторые основные понятия. Топологическое пространство состоит из множества точек S и набора ? подмножеств множества S, удовлетворяющего следующим аксиомам:(1) все множество S и пустое множество принадлежат набору ?;(2) объединение любой совокупности множеств из ? есть множество из ?;(3) пересечение любого конечного числа множеств из ? есть множество из ?.Множества, входящие в набор ?, называются открытыми множествами, а сам этот набор - топологией в S. См. МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ.Топологическое преобразование, или гомеоморфизм, одной геометрической фигуры S на другую, S?, - это отображение (p ? p?) точек p из S в точки p? из S?, удовлетворяющее следующим условиям: 1) устанавливаемое им соответствие между точками из S и S? взаимно однозначно, т.е. каждой точке p из S соответствует только одна точка p? из S? и в каждую точку p? отображается только одна точка p; 2) отображение взаимно непрерывно (непрерывно в обе стороны), т.е. если заданы две точки p, q из S и точка p движется так, что расстояние между ней и точкой q стремится к нулю, то расстояние между соответствующими точками p?, q? из S? также стремится к нулю, и наоборот.Геометрические фигуры, переходящие одна в другую при топологических преобразованиях, называются гомеоморфными. Окружность и граница квадрата гомеоморфны, так как их можно перевести друг в друга топологическим преобразованием (т.е. изгибанием и растяжением без разрывов и склеиваний, например, растяжением границы квадрата на описанную вокруг него окружность). Сфера и поверхность куба также гомеоморфны. Чтобы доказать гомеоморфность фигур, достаточно указать соответствующее преобразование, но тот факт, что для каких-то фигур найти преобразование нам не удается, не доказывает, что эти фигуры не гомеоморфны. Здесь помогают топологические свойства.Топологическим свойством (или топологическим инвариантом) геометрических фигур называется свойство, которым вместе с данной фигурой обладает также любая фигура, в которую она переходит при топологическом преобразовании.Любое открытое связное множество, содержащее по крайней мере одну точку, называется областью.Область, в которой любую замкнутую простую (т.е. гомеоморфную окружности) кривую можно стянуть в точку, оставаясь все время в этой области, называется односвязной, а соответствующее свойство области - односвязностью. Если же некоторую замкнутую простую кривую этой области нельзя стянуть в точку, оставаясь все время в этой области, то область называется многосвязной, а соответствующее свойство области - многосвязностью. Представьте себе две круговые области, или диски, одну без дыр, а другую с дырами. Первая область односвязна, вторая многосвязна. Односвязность и многосвязность - топологические свойства. Область с дырой не может перейти при гомеоморфизме в область без дыр. Интересно отметить, что если в многосвязном диске провести по разрезу от каждой из дыр до края диска, то он станет односвязным.Максимальное число замкнутых простых непересекающихся кривых, по которым можно разрезать замкнутую поверхность, не разделяя ее на отдельные части, называется родом поверхности. Род - топологический инвариант поверхности. Можно доказать, что род сферы равен нулю, род тора (поверхности "бублика") - единице, род кренделя (тора с двумя дырками) - двум, род поверхности с p дырами равен p. Отсюда следует, что ни поверхность куба, ни сфера не гомеоморфны тору.Среди топологических инвариантов поверхности можно также отметить число сторон и число краев. Диск имеет 2 стороны, 1 край и род 0. Тор имеет 2 стороны, не имеет краев, а его род равен 1.Введенные выше понятия позволяют уточнить определение топологии: топологией называется раздел математики, изучающий свойства, которые сохраняются при гомеоморфизмах.Важные проблемы и результаты. Теорема Жордана о замкнутой кривой. Если на поверхности проведена простая замкнутая кривая, то существует ли какое-либо свойство кривой, которое сохраняется при деформации поверхности? Существование такого свойства вытекает из следующей теоремы: простая замкнутая кривая на плоскости делит плоскость на две области, внутреннюю и внешнюю. Эта кажущаяся тривиальной теорема очевидна для кривых простого вида, например, для окружности; однако для сложных замкнутых ломаных дело обстоит иначе. Теорема была впервые сформулирована и доказана К.Жорданом (1838-1922); однако доказательство Жордана оказалось ошибочным. Удовлетворительное доказательство было предложено О.Вебленом (1880-1960) в 1905.Теорема Брауэра о неподвижной точке. Пусть D - замкнутая область, состоящая из окружности и ее внутренности. Теорема Брауэра утверждает, что для любого непрерывного преобразования, переводящего каждую точку области D в точку этой же области, существует некоторая точка, которая остается неподвижной при этом преобразовании. (Преобразование не предполагается взаимно однозначным.) Теорема Брауэра о неподвижной точке представляет особый интерес потому, что она, по-видимому, является, наиболее часто используемой в других разделах математики топологической теоремой.Проблема четырех красок. Проблема заключается в следующем: можно ли любую карту раскрасить в четыре цвета так, чтобы любые две страны, имеющие общую границу, были раскрашены в различные цвета? Проблема четырех красок топологическая, так как ни форма стран, ни конфигурация границ не имеют значения.Гипотеза о том, что четырех красок достаточно для соответствующей раскраски любой карты, была впервые высказана в 1852. Опыт показал, что четырех красок действительно достаточно, но строгого математического доказательства не удавалось получить на протяжении более ста лет. И только в 1976 К.Аппель и В.Хакен из Иллинойского университета, затратив более 1000 часов компьютерного времени, добились успеха.Односторонние поверхности. Простейшей односторонней поверхностью является лист Мёбиуса, названный так в честь А.Мёбиуса, открывшего его необычайные топологические свойства в 1858. Пусть ABCD (рис. 2,а) - прямоугольная полоска бумаги. Если склеить точку A с точкой B, а точку C с точкой D (рис. 2,б), то получится кольцо с внутренней поверхностью, наружной поверхностью и двумя краями. Одну сторону кольца (рис. 2,б) можно окрасить. Окрашенная поверхность будет ограничена краями кольца. Жук может совершить "кругосветное путешествие" по кольцу, оставаясь либо на окрашенной, либо на неокрашенной поверхности. Но если полоску перед склеиванием концов перекрутить на полоборота и склеить точку A с точкой C, а B с D, то получится лист Мёбиуса (рис. 2,в). У этой фигуры есть только одна поверхность и один край. Любая попытка окрасить только одну сторону листа Мёбиуса обречена на неудачу, так как у листа Мёбиуса всего одна сторона. Жук, ползущий по середине листа Мёбиуса (не пересекая края), вернется в исходную точку в положении "вверх ногами". При разрезании листа Мёбиуса по средней линии он не распадается на две части.Узлы. Узел можно представлять себе как запутанный кусок тонкой веревки с соединенными концами, расположенный в пространстве. Простейший пример - из куска веревки сделать петлю, пропустить один из ее концов сквозь петлю и соединить концы. В результате мы получим замкнутую кривую, которая остается топологически той же самой, как бы ее ни растягивать или скручивать, не разрывая и не склеивая при этом отдельные точки. Проблема классификации узлов по системе топологических инвариантов пока не решена.

топология—от греч. tоpos место и логия См. .Логия часть геометрии посвященная изучению феномена непрерывности выражающегося например в понятии предела. Разнообразие проявлений неп...Большая Советская энциклопедия II
топология—топо греч. logos слово учение наука . раздел математики изучающий инвариантные свойства пространства . в психологии термин относится преимущественно к теории поля К.Лев...Большая энциклопедия по психиатрии
топология—ж. мат. topologia Итальянорусский словарь. Синонимы математика...Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь
топология—ж мат.Topologie f математика...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
топология—топология ж мат. Topologie fСинонимы математика...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
топология—ж. геом.topologa f...Большой русско-испанский словарь
топология—сущ. жен. рода только ед. ч....Большой русско-украинский словарь
топология—от греч. topos место и .логия раздел математикиизучающий топологические свойства фигур т. е. свойства не изменяющиесяпри любых деформациях производимых без разрывов и с...Большой энциклопедический словарь II
топология—ТОПОЛОГИЯ от греч. topos место и .логия раздел математики изучающий топологические свойства фигур т. е. свойства не изменяющиеся при любых деформациях производимых без ...Большой Энциклопедический словарь V
топология—от греч. tpos место и .логияi раздел математики изучающий топологич. свойства фигур т. е. свойства не изменяющиеся при любых деформациях производимых без разрывов и скле...Естествознание. Энциклопедический словарь
топология—и ж.em Раздел математики изучающий наиболее общие свойства геометрических фигур не изменяющиеся при любых деформациях.[От греч. место и учение] математика...Малый академический словарь
топология—раздел математики имеющий своим назначением выяснение и исследование в рамках математики идеи непрерывности. Интуитивно идея непрерывности выражает коренные свойства прос...Математическая энциклопедия
топология—корень ТОП соединительная гласная О корень ЛОГ окончание ИЯ Основа слова ТОПОЛОГВычисленный способ образования слова Сложение основ ТОП соединительная гласная О Л...Морфемный разбор слова по составу
топология—Начальная форма Топология единственное число женский род именительный падеж неодушевленное...Морфологический разбор существительных
топология—ТОПОЛОГИЯstrong раздел математики изучающий свойства геометрических фигур остающиеся неизменными при любой деформации сдавливании растягивании скручивании но без разрыво...Научно-технический энциклопедический словарь
топология—от topos место логия математическая дисциплина изучающая такие свойства фигур которые не изменяются при любых деформациях производимых без разрывов и склеиваний матема...Начала современного естествознания
топология—топология ж. Раздел математики изучающий качественные свойства геометрических фигур не зависящие от их длины величины углов прямолинейности и т.п....Новый толково-словообразовательный словарь русского языка
топология—Отрасль математики которая занимается теми свойствами пространства которые остаются неизменяемыми когда пространство искажается. В психологии эти принципы используются в ...Оксфордский толковый словарь по психологии
топология—Отрасль математики которая занимается теми свойствами пространства которые остаются неизменяемыми когда пространство искажается. В психологии эти принципы используются в ...Оксфордский толковый словарь по психологии
топология—топология топология и...Орфографический словарь
топология—u жu Р.u Д.u Пр.u топологии математика...Орфографический словарь русского языка
топология—топология...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
топология—топология...Орысша-қазақша «Электроника, радиотехника және байланыс» терминологиялық сөздік
топология—math...Политехнический русско-французский словарь
топология—топология топологии топологии топологий топологии топологиям топологию топологии топологией топологиею топологиями топологии топологиях...Полная акцентуированная парадигма по Зализняку
топология—Орфографическая запись слова топология Ударение в слове топология Деление слова на слоги перенос слова топология Фонетическая транскрипция слова топология [тапалога] Хар...Полный фонетический разбор слов
топология—топология иСинонимы математика...Русский орфографический словарь
топология—Ж riyaz. topologiya hndsnin cisimlrin xasslrindn bhs edn hisssi....Русско-азербайджанский словарь
топология—topology...Русско-английский морской словарь
топология—configuration symbolic layout layout электрон.u topology топология ж.utopologyалгебраическая топология algebraic topologyтопология системы вчт.u system topologyСиноним...Русско-английский политехнический словарь
топология—ж.раздел математики изучающий неизменяемые свойства пространства при искажении последнегоem topology...Русско-английский психологический словарь
топология—топология ж. мат.itopology...Русско-английский словарь
топология—f. математика...Русско-английский словарь математических терминов
топология—ж. алгебраическая топология магнитная топология многомерная топология нетривиальная топология плоская топология сферическая топология топология вакуумной камеры топология...Русско-английский словарь по физике
топология—topology configuration микр. symbolic layout layout layout pattern...Русско-английский словарь по электронике
топология—configuration...Русско-английский строительный словарь
топология—topology комбинаторная топология матричная топология многоэмиттерная топология топология системытопология простой сходимости simple convergence topologyтопология рыбья к...Русско-английский технический словарь
топология—topology...Русско-английский толковый словарь терминов по информатике
топология—тапалогя...Русско-белорусский математический словарь
топология—Тапалогя...Русско-белорусский словарь
топология—мат.i тапалогя жен.i...Русско-белорусский словарь II
топология—тапалоuгя г топология сети шинная топология схемы усилителя...Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов
топология—тапалогя г...Русско-белорусский физико-математический словарь
топология—математика...Русско-ивритский словарь
топология—topologia...Русско-итальянский медицинский словарь
топология—ж. матем. topologia f алгебраическая топология комбинаторная топология топология системы...Русско-итальянский политехнический словарь
топология—[] Синонимы математика...Русско-китайский словарь
топология—topoloija...Русско-латышский словарь
топология—напр. интегральной микросхемы печатной платыem Layout Topologie...Русско-немецкий политехнический словарь
топология—topologi математика...Русско-норвежский словарь
топология—topologia...Русско-польский словарь
топология—ж матu topologia f математика...Русско-португальский словарь
топология—Топологияtopolojia...Русско-суахили словарь
топология—топология топология...Русско-таджикский словарь
топология—матем. наук. топологя теоретикомножественная топология теоретикомножинна топологя адическая топология алгебраическая топология геометрическая топология дифференциаль...Русско-украинский политехнический словарь
топология—topologie...Русско-чешский словарь
топология—Topoloogia...Русско-эстонский словарь
топология—топология иСинонимы математика...Русское словесное ударение
топология—топология математика...Слитно или раздельно? Орфографический словарь-справочник
топология—Topology раздел математики изучающий свойства геометрических фигур которые не изменяются при деформациях происходящих без разрывов.Словарь бизнестерминов.Академик.ру мат...Словарь бизнес терминов
топология—ТОПОЛОГИЯ Наука учение о местностях. Словарь иностранных слов вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н. топология гр.em topos место местность .логия раздел математ...Словарь иностранных слов русского языка
топология—топология сущ. колво синонимов математика Словарь синонимов ASIS.В.Н. Тришин. . Синонимы математика...Словарь синонимов II
топология—Б. Грин Разбиение многообразий иа группы в каждой из которых одно многообразие можно продеформировать в другое без какоголибо разрыва или повреждения структуры....Словарь современной физики из книг Грина и Хокинга
топология—ТОПОЛОГИЯ от греч . topos место и .логия раздел математики изучающий топологические свойства фигур т. е. свойства не изменяющиеся при любых деформациях производимых без ...Современный энциклопедический словарь
топология—Топология topology структура соединений устройств или систем без учета количественных характеристик соединений и элементов структуры длин объемов мощности множества узло...Терминологический словарь автоматизации строительства и производственных процессов
топология—топология [гр. topos место местность .логия] раздел математики изучающий наиболее общие свойства геометрических фигур свойства не изменяющиеся при любых непрерывных пре...Толковый словарь иностранных слов
топология—ТОПОЛОГИЯ топологии мн. нет ж. от греч. topos место и logos учение мат. Часть геометрии исследующая качественные свойства фигур т.е. не зависящие от таких понятий как д...Толковый словарь русского языка II
топология—ТОПОЛОГИЯ ж. Раздел математики изучающий качественные свойства геометрических фигур не зависящие от их длины величины углов прямолинейности и топологияп....Толковый словарь русского языка
топология—Ударение в слове топологияУдарение падает на букву оБезударные гласные в слове топология...Ударение и правописание
топология—Rzeczownik топология f Matematyczny topologia f...Универсальный русско-польский словарь
топология—в широком смысле область математики изучающая топологич. свойства разл. матем. и физ. объектов. Интуитивно к топологич. относятся качественные устойчивые свойства не меня...Физическая энциклопедия
топология—топология топологии топологии топологий топологии топологиям топологию топологии топологией топологиею топологиями топологии топологиях Источник Полная акцентуированная п...Формы слова
топология—от греч. toposместо и logosслово учение в химии. Как мат. дисциплина м. б. разделена на две части теоретикомножественную Т. и геометрическую Т. Первая дает химии аппарат ...Химическая энциклопедия
топология—Плот Плитя Пилот Отология Опт Оплот Ооо Оология Оолит Пол Полит Полог Пология Оля Пот Ляп Лото Лот Логотип Логия Поти Потяг Тип Лог Того Тол Топ Итого Итог Тополог Тополо...Электронный словарь анаграмм русского языка
топология—Топология означает трехмерное расположение элементов по меньшей мере один из которых является активным элементом и некоторых или всех взаимосвязей интегральной микросхемы...Юридический словарь по патентно-лицензионным операциям