часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела). Разнообразие проявлений непрерывности в математике и широкий спектр различных подходов к её изучению привели к распадению единой Т. на ряд отделов («общая Т.», «алгебраическая Т.» и др.), отличающихся друг от друга по предмету и методу изучения и фактически весьма мало между собой связанных.
I. Общая топология
Часть Т., ориентированная на аксиоматическое изучение непрерывности, называется общей Т. Наряду с алгеброй общая Т. составляет основу современного теоретико-множественного метода в математике.
Аксиоматически непрерывность можно определить многими (вообще говоря, неравносильными) способами. Общепринята аксиоматика, основывающаяся на понятии открытого множества. Топологической структурой, или топологией, на множествеХназывают такое семейство его подмножеств, называемых открытыми множествами, что: 1) пустое множество ∅ и всёХоткрыты; 2) объединение любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств открыто. Множество, на котором задана топологическая структура, называют топологическим пространством (См. Топологическое пространство).В топологическом пространствеХможно определить все основные понятия элементарного анализа, связанные с непрерывностью. Например, окрестностью точкиx∈Xназывают произвольное открытое множество, содержащее эту точку; множествоA⊂Xназывают замкнутым, если его дополнениеХ\Аоткрыто; замыканием множестваАназывают наименьшее замкнутое множество, содержащееA; если это замыкание совпадает сX, тоАназывают всюду плотным вХи т.д.
По определению, ∅ иХявляются одновременно замкнутыми и открытыми множествами.Если вХнет других множеств, одновременно замкнутых и открытых, то топологическое пространствоХназывают связным. Наглядно связное пространство состоит из одного «куска», а несвязное — из нескольких.
Любое подмножествоАтопологического пространстваХобладает естественной топологической структурой, состоящей из пересечений сАоткрытых множеств изX. Снабженное этой структуройАназывают подпространством пространстваX. Каждое Метрическое пространство становится топологическим, если за его открытые множества принять множества, содержащие вместе с произвольной точкой некоторую её ε-окрестность (шар радиуса ε с центром в этой точке). В частности, любое подмножествоn-мерного евклидова пространства |Rnявляется топологическим пространством. Теория таких пространств (под названием «геометрической Т.») и теория метрических пространств включаются по традиции в общую Т.
Геометрическая Т. довольно четко распадается на две части: изучение подмножеств |Rnпроизвольной сложности, подчинённых тем или иным ограничениям общего характера (примером является так называемая теория континуумов, то есть связных ограниченных замкнутых множеств), и изучение способов, какими в |Rnмогут быть вложены такие простые топологические пространства, как сфера, шар и т.п. (вложения в |Rn, например, сфер могут быть очень сложно устроенными).
Открытым покрытием топологического пространстваХназывают семейство его открытых множеств, объединением которого является всёX. Топологическое пространствоХназывают компактным (в другой терминологии —бикомпактным), если любое его открытое покрытие содержит конечное число элементов, также образующих покрытие. Классическая теорема Гейне — Бореля утверждает, что любое ограниченное замкнутое подмножество |Rnкомпактно. Оказывается, что все основные теоремы элементарного анализа об ограниченных замкнутых множествах (например, теорема Вейерштрасса о том, что на таком множестве непрерывная функция достигает своего наибольшего значения) справедливы для любых компактных топологических пространств. Это определяет фундаментальную роль, которую играют компактные пространства в современной математике (особенно в связи с теоремами существования). Выделение класса компактных топологических пространств явилось одним из крупнейших достижений обшей Т., имеющих общематематическое значение.
Открытое покрытие {Vβ} называют вписанным в покрытие {Uα}, если для любого β существует α такое, чтоVβ⊂Uα.Покрытие {Vβ} называют локально конечным, если каждая точках∈Хобладает окрестностью, пересекающейся только с конечным числом элементов этого покрытия. Топологическое пространство называют паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие. Класс паракомпактных пространств является примером классов топологических пространств, получающихся наложением так называемых условий типа компактности. Этот класс очень широк, в частности он содержит все метризуемые топологические пространства, то есть пространстваX, в которых можно ввести такую метрику ρ, что Т., порожденная ρ вX,совпадает с Т., заданной вX.
Кратностью открытого покрытия называют наибольшее числоkтакое, что найдётсяkего элементов, имеющих непустое пересечение. Наименьшее числоn,обладающее тем свойством, что в любое конечное открытое покрытие топологического пространстваХможно вписать открытое покрытие кратности ≤n+ 1, обозначается символом dimХи называется размерностьюX. Это название оправдано тем, что в элементарно-геометрических ситуациях dimХсовпадает с обычно понимаемой размерностью, например dim|Rn=n. Возможны и др. числовые функции топологического пространстваX, отличающиеся от dimX, но в простейших случаях совпадающие с dimX. Их изучение составляет предмет общей теории размерности — наиболее геометрически ориентированной части общей Т. Только в рамках этой теории удаётся, например, дать чёткое и достаточно общее определение интуитивного понятия геометрической фигуры и, в частности, понятия линии, поверхности и т.п.
Важные классы топологических пространств получаются наложением так называемых аксиом отделимости. Примером является так называемая аксиома Хаусдорфа, или аксиомаT2, требующая, чтобы любые две различные точки обладали непересекающимися окрестностями. Топологическое пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, называется хаусдорфовым, или отделимым. Некоторое время в математической практике встречались почти исключительно хаусдорфовы пространства (например, любое метрическое пространство хаусдорфово). Однако роль нехаусдорфовых топологических пространств в анализе и геометрии постоянно растет.
Топологические пространства, являющиеся подпространствами хаусдорфовых (би) компактных пространств, называются вполне регулярными или тихоновскими. Их тоже можно охарактеризовать некоторой аксиомой отделимости, а именно: аксиомой, требующей, чтобы для любой точкиx0∈Хи любого не содержащего её замкнутого множестваF существовала непрерывная функцияg : Х→[0, 1], равная нулю вx0и единице наF.
Топологические пространства, являющиеся открытыми подпространствами хаусдорфовых компактных, называются локально компактными пространствами. Они характеризуются (в классе хаусдорфовых пространств) тем, что каждая их точка обладает окрестностью с компактным замыканием (пример: евклидово пространство). Любое такое пространство дополняется одной точкой до компактного (пример: присоединением одной точки из плоскости получается сфера комплексного переменного, а из |Rn— сфераSn).
Отображениеf : X→Yтопологическое пространстваХв топологическое пространствоYназывают непрерывным отображением, если для любого открытого множестваV⊂Yмножествоf—1(V) открыто вX. Непрерывное отображение называют гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и обратное отображениеf—1: Y→Xнепрерывно. Такое отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между открытыми множествами топологических пространствХиY, перестановочное с операциями объединения и пересечения множеств. Поэтому все топологические свойства (то есть свойства, формулируемые в терминах открытых множеств) этих пространств одни и те же, и с топологической точки зрения гомеоморфные топологические пространства (то есть пространства, для которых существует хотя бы один гомеоморфизмХ→Y) следует считать одинаковыми (подобно тому как в евклидовой геометрии одинаковыми считаются фигуры, которые можно совместить движением). Например, гомеоморфны («топологически одинаковы») окружность и граница квадрата, шестиугольника и т.п. Вообще любые две простые (не имеющие двойных точек) замкнутые линии гомеоморфны. Напротив, окружность не гомеоморфна прямой (ибо удаление точки не нарушает связности окружности, но нарушает связность прямой; по той же причине прямая не гомеоморфна плоскости, а окружность не гомеоморфна «восьмёрке»). Окружность не гомеоморфна также и плоскости (выкиньте не одну, а две точки).
Пусть {Хα} — произвольное семейство топологических пространств. Рассмотрим множествоХвсех семейств вида {хα},гдеxα∈Xα(прямое произведение множествXα). Для любого α формула Х можно ввести много топологических структур, относительно которых все отображенияpαнепрерывны. Среди этих структур существует наименьшая (то есть содержащаяся в любой такой структуре). Снабженное этой топологической структурой множествоХназывается топологическим произведением топологических пространствХαи обозначается символомПХα(а в случае конечного числа сомножителей — символомX1× ... ×Xn). В явном виде открытые множества пространстваХможно описать как объединения конечных пересечений всех множеств вида Uαоткрыто вXα. Топологическое пространствоХобладает следующим замечательным свойством универсальности, однозначно (с точностью до гомеоморфизма) его характеризующим: для любого семейства непрерывных отображенийfα:Y→Xαсуществует единственное непрерывное отображениеf:Y→X, для которогопри всех α. Пространство |Rnявляется топологическим произведениемnэкземпляров числовой прямой. Одной из важнейших теорем общей Т. является утверждение о том, что топологическое произведение компактных топологических пространств компактно.
ЕслиХ— топологическое пространство, аY— произвольное множество и если задано отображениеp:X→YпространстваХна множествоY(например, еслиYявляется фактормножествомХпо некоторому отношению эквивалентности, аpпредставляет собой естественную проекцию, сопоставляющую с каждым элементомх∈Хего класс эквивалентности), то можно ставить вопрос о введении вYтопологической структуры, относительно которой отображениеpнепрерывно. Наиболее «богатую» (открытыми множествами) такую структуру получают, полагая открытыми множествами вYвсе те множестваV⊂Y,для которых множествоf‑1(V) ⊂Хоткрыто вX. Снабженное этой топологической структурой множествоYназывается факторпространством топологического пространстваХ(по отношению кp). Оно обладает тем свойством, что произвольное отображениеf:Y→Zтогда и только тогда непрерывно, когда непрерывно отображение X →Z.Непрерывное отображениеp:X→Yназывается факторным, если топологическое пространствоYявляется по отношению кpфакторпространством топологического пространстваX. Непрерывное отображениеp:X→Yназывается открытым, если для любого открытого множестваU⊂Хмножествоp(U)открыто вY, и замкнутым, если для любого замкнутого множестваF⊂Хмножествоp(F)замкнуто вY. Как открытые, так и замкнутые непрерывные отображенияf:Х→Y, для которыхf(X)=Y, являются факторными.
ПустьХ— топологическое пространство,А— его подпространство иf:A→Y— непрерывное отображение. Предполагая топологические пространстваХиYнепересекающимися, введём в их объединенииХ∪Yтопологическую структуру, считая открытыми множествами объединения открытых множеств изХиY. Далее, введём в пространствеХ∪Yнаименьшее отношение эквивалентности, в которомaТопологияf(α)для любой точкиa∈А. Соответствующее факторпространство обозначается символомX∪fY, и о нём говорят, что оно получено приклеиванием топологического пространстваХк топологическому пространствуYпоАпосредством непрерывного отображенияf. Эта простая и наглядная операция оказывается очень важной, так как позволяет получать из сравнительно простых топологических пространств более сложные. ЕслиYсостоит из одной точки, то пространствоХ∪fYобозначается символомХ/Аи о нём говорят, что оно получено изХстягиваниемАв точку. Например, еслиХ— диск, аА— его граничная окружность, тоХ/Агомеоморфно сфере.
2. Равномерная топология
Часть Т., изучающая аксиоматическое понятие равномерной непрерывности, называется равномерной Т. Известное из анализа определение равномерной непрерывности числовых функций непосредственно переносится на отображения любых метрических пространств. Поэтому аксиоматику равномерной непрерывности обычно получают, отталкиваясь от метрических пространств. Подробно исследованы два аксиоматических подхода к равномерной непрерывности, основанных соответственно на понятиях близости и окружения диагонали.
ПодмножестваАиВметрических пространстваХназываются близкими (обозначениеΑδΒ),если для любого ε > 0 существуют точкиa∈Аиb∈В,расстояние между которыми < ε. Принимая основные свойства этого отношения за аксиомы, приходят к следующему определению: (отделимой) структурой близости на множествеХназывается такое отношение δ на множестве всех его подмножеств, что: 1) ∅δ̅X(символом A1иAδ̅B2⇔Aδ̅(B1UB2);3){x}δ̅{y} ⇔x≠y; 4) еслиАδ̅В, то существует такое множествоС , чтоАδ̅(ХС). Множество, в котором задана структура близости, называется пространством близости. Отображение пространства близостиХв пространство близостиYназывается близостно непрерывным, если образы близких вХмножеств близки вY. Пространства близостиХиYназываются близостно гомеоморфными (или эквиморфными), если существует взаимно однозначное близостно непрерывное отображениеX→Y, обратное к которому также является близостно непрерывным (такое близостно непрерывное отображение называется эквиморфизмом). В равномерной Т. эквиморфные пространства близости рассматриваются как одинаковые. Подобно метрическим пространствам, любое пространство близости можно превратить в (хаусдорфово) топологическое пространство, считая подмножествоu⊂xоткрытым, если {x}δ̅(XU) для любой точких∈U. При этом близостно непрерывные отображения окажутся непрерывными отображениями. Класс топологических пространств, получающихся описанным образом из пространств близости, совпадает с классом вполне регулярных топологических пространств. Для любого вполне регулярного пространстваХвсе структуры близости наX, порождающие его топологическую структуру, находятся во взаимно однозначном соответствии с так называемыми компактификациями (в другой терминологии — би-компактными расширениями)вХ— компактными хаусдорфовыми топологическими пространствами, содержащимиХв качестве всюду плотного пространства. Структура близости δ, соответствующая расширениювХ,характеризуется тем, чтоАδВтогда и только тогда, когда замыкания множествАиВпересекаются вbX. В частности, на любом компактном хаусдорфовом топологическом пространствеХсуществует единственная структура близости, порождающая его топологическую структуру.
Другой подход основан на том, что равномерную непрерывность в метрическом пространствеХможно определить в терминах отношения «точкихиунаходятся на расстоянии, не большем ε». С общей точки зрения, отношение наХесть не что иное как произвольное подмножествоUпрямого произведенияХ×X. Отношение «тождество» является с этой точки зрения диагональю Δ ⊂Х×X, то есть множеством точек вида (х, х),х∈X.Для любого отношенияUопределено обратное отношениеU—1= {(х, у); (у, х) ∈U} и для любых двух отношенийUиVопределена их композицияU․V= {(х, у); существуетz∈Хтакое, что (х, z) ∈U, (z, y) ∈V}. Семейство отношений {U} называется (отделимой) равномерной структурой наХ(а отношенияUназывается окружениями диагонали), если: 1) пересечение любых двух окружений диагонали содержит окружение диагонали; 2) каждое окружение диагонали содержит Δ, и пересечение всех окружений диагонали совпадает с Δ; 3) вместе сUокружением диагонали является иU—1;4) для любого окружения диагоналиUсуществует такое окружение диагоналиW, чтоWoW⊂U. Множество, наделённое равномерной структурой, называется равномерным пространством. Отображениеf:X→Yравномерного пространстваХв равномерное пространствоYназывается равномерно непрерывным, если прообраз при отображенииf×f:Х×Х→Y×Yлюбого окружения диагоналиV⊂Y×Yсодержит некоторое окружение диагонали изХ×X. Равномерные пространстваХиYназываются равномерно гомеоморфными, если существует взаимно однозначное равномерно непрерывное отображениеХ→Y, обратное к которому также является равномерно непрерывным отображением.
В равномерной Т. такие равномерные пространства считаются одинаковыми. Каждая равномерная структура наХопределяет некоторую структуру близости:АδВтогда и только тогда, когда (A×В) ∩U≠ ∅ для любого окружения диагоналиU⊂X×X. При этом равномерно непрерывные отображения оказываются близостно непрерывными.
3. Алгебраическая топология
Пусть каждому топологическому пространствуХ(из некоторого класса) поставлен в соответствие некоторый алгебраический объектh(X)(группа, кольцо и т.п.), а каждому непрерывному отображениюf:X→Y —некоторый гомоморфизмh(f):h(X)→h(Y)(илиh(f):h(Y)→h(X),являющийся тождественным гомоморфизмом, когдаfпредставляет собой тождественное отображение. Еслиh(f1○f2)= h(f1)○h(f2)(или, соответственно,h(f1○f2)= h(f2)○h(f1),то говорят, чтоhпредставляет собой функтор (соответственно кофунктор). Большинство задач алгебраической Т. так или иначе связано со следующей задачей распространения: для данного непрерывного отображенияf : A→YподпространстваA⊂ Х в некоторое топологическое пространствоYнайти непрерывное отображениеg : X→Y, совпадающее наAсf, то есть такое, чтоf=g․i, гдеi:А→Х—отображение вложения (i(a)=адля любой точки а ∈A). Если такое непрерывное отображениеgсуществует, то для любого функтора (кофунктора)hсуществует такой гомоморфизм (φ:h(X)→h(Y)(гомоморфизм φ:h(Y)→h(X)), чтоh(f) =φ ○h(i)(соответственноh(f) =h(i)○ φ); им будет гомоморфизм φ= h(g). Следовательно, несуществование гомоморфизма φ (хотя бы для одного функтораh) влечёт несуществование отображенияg. К этому простому принципу могут быть фактически сведены почти все методы алгебраических Т. Например, существует функторh, значение которого на шареEnявляется тривиальной, а на ограничивающей шар сфереSn—1— нетривиальной группой. Уже отсюда следует отсутствие так называемой ретракции — непрерывного отображенияр:En→Sn—1, неподвижного наSn—1, то есть такого, что композицияр․i,гдеi:Sn‑1→En—отображение вложения, представляет собой тождественное отображение (еслирсуществует, то тождественное отображение группыh(Sn—1)будет композицией отображенийh(i):h(Sn—1)→h(En)иh(p):h(En)→h(Sn—1),что при тривиальной группеh(En)невозможно). Однако этот, по существу, элементарно-геометрический и (приn=2) наглядно очевидный факт (физически означающий возможность натянуть на круглый обруч барабан) до сих пор не удалось доказать без привлечения алгебраико-топологических методов. Его непосредственным следствием является утверждение, что любое непрерывное отображениеf:En→Enимеет хотя бы одну неподвижную точку, то есть уравнениеf(x) = химеет вEnхотя бы одно решение (еслиf(x)≠xдля всехх∈En, то, приняв зар(х)точку изSn—1, коллинеарную точкамf(x)ихи такую, что отрезок с концамиf(x)ир(х)содержитх, получим ретракциюр:En→Sn—1). Эта теорема о неподвижной точке была одной из первых теорем алгебраической Т., а затем явилась источником целой серии разнообразных теорем существования решений уравнений.
Вообще говоря, установление несуществования гомоморфизма (φ тем легче, чем сложнее алгебраическая структура объектовh(X).Поэтому в алгебраических Т. рассматриваются алгебраические объекты чрезвычайно сложной природы, и требования алгебраической топологии существенно стимулировали развитие абстрактной алгебры.
Топологическое пространствоХназывается клеточным пространством, а также клеточным разбиением (илиCW-комплексом), если в нём указана возрастающая последовательность подпространствX0⊂ …⊂Xn—1⊂Xn⊂ … (называется остовами клеточного пространстваX), объединением которых является всёX, причём выполнены следующие условия: 1) множествоU⊂Xтогда и только тогда открыто вX, когда для любогоnмножествоU∩Xnоткрыто вXn; 2)Xnполучается изXn—1приклеиванием некоторого семействаn-мepных шаров по их граничным (n—1)-мepным сферам (посредством произвольного непрерывного отображения этих сфер вXn—1); 3)X0состоит из изолированных точек. Таким образом, структура клеточного пространства состоит, грубо говоря, в том, что оно представлено в виде объединения множеств, гомеоморфных открытым шарам (эти множества называются клетками). В алгебраических Т. изучаются почти исключительно клеточные пространства, поскольку специфика задач алгебраических Т. для них уже полностью проявляется. Более того, фактически для алгебраических Т. интересны некоторые особо простые клеточные пространства (типа Полиэдров, см. ниже), но сужение класса клеточных пространств, как правило, существенно осложняет исследование (поскольку многие полезные операции над клеточными пространствами выводят из класса полиэдров).
Два непрерывных отображенияf, g:X→Yназываются гомотопными, если они могут быть непрерывно продеформированы друг в друга, то есть если существует такое семейство непрерывных отображенийft:X→Y,непрерывно зависящих от параметраt∈ [0, 1], чтоf0=fиf1= g(непрерывная зависимость отtозначает, что формулаF(x, t) = ft(x), х∈X,t∈ [0, 1] определяет непрерывное отображениеF:Х× [0, 1] →Y; это отображение, а также семейство{ft}называют гомотопией, связывающейfсg). Совокупность всех непрерывных отображенийX→Yраспадается на гомотопические классы гомотопных между собой отображений. Множество гомотопических классов непрерывных отображений изХвYобозначается символом [X,Y]. Изучение свойств отношения гомотопности и, в частности, множеств [X,Y] составляет предмет так называемой гомотопической топологии (или теории гомотопий). Для большинства интересных топологических пространств множества [X,Y] конечны или счётны и могут быть в явном виде эффективно вычислены. Топологические пространстваХиYназываются гомотопически эквивалентными, или имеющими один и тот же гомотопический тип, если существуют такие непрерывные отображенияf:Х→Yиg:Y→Х, что непрерывные отображенияg․f:Х→Хиf․g:Y→Yгомотопны соответствующим тождественным отображениям. В гомотопической Т. такие пространства следует рассматривать как одинаковые (все их «гомотопические инварианты» совпадают).
Оказывается, что во многих случаях (в частности, для клеточных пространств) разрешимость задачи распространения зависит только от гомотопического класса непрерывного отображенияf:A→Y; точнее, если дляfраспространениеg:Х→Yсуществует, то для любой гомотопииft:A→Y(с f0= f)существует распространениеgt:Х→Yтакое, чтоg0=g. Поэтому вместоfможно рассматривать его гомотопический класс[f]и в соответствии с этим изучать лишь гомотопически инвариантные функторы (кофункторы)h, то есть такие, чтоh(f0)=h(f1),если отображенияf0иf1гомотопны. Это приводит к настолько тесному переплетению алгебраической и гомотопической Т., что их можно рассматривать как единую дисциплину.
Для любого топологического пространстваYформулыh(X)= [X,Y] иh(f)= [φ○f],где f :X1→X2и φ :X2→Y,определяют некоторый гомотопически инвариантный кофункторh, о котором говорят, что он представлен топологическим пространствомY. Это — стандартный (и по существу единственный) приём построения гомотопических инвариантных кофункторов. Чтобы множествоh(X) оказалось, скажем, группой, нужно У выбрать соответствующим образом, например потребовать, чтобы оно было топологической группой (вообще говоря, это не совсем так: необходимо выбрать вХнекоторую точкуx0и рассматривать лишь непрерывные отображения и гомотопии, переводящиеx0в единицу группы; это техническое усложнение будет, однако, в дальнейшем игнорироваться). Более того, достаточно, чтобыYбыло топологической группой «в гомотопическом смысле», то есть чтобы аксиомы ассоциативности и существования обратного элемента (утверждающие фактически совпадение некоторых отображений) выполнялись бы только «с точностью до гомотопии». Такие топологические пространства называютсяН-пространствами. Таким образом, каждоеН-пространствоYзадаёт гомотопически инвариантный кофункторh(X)= [X,Y], значениями которого являются группы.
Аналогичным («двойственным») образом, каждое топологическое пространствоYзадаёт по формуламh(X)=[Y,X],h(f)=[f○φ], гдеf:X1→X2и φ :Y→X1, некоторый функторh. Чтобыh(X)было группой, нужно, чтобыYобладало определённой алгебраической структурой, в некотором точно определённом смысле двойственной структуреН-пространства. Топологические пространства, наделённые этой структурой, называются ко-Н-пространствами. Примером ко-Н-пространства являетсяn-мepная сфераSn(приn≥1). Таким образом, для любого топологического пространстваХформула πnX=[Sn,X] определяет некоторую группу πnX,n≥1, которая называетсяn-й гомотопической группой пространстваX. Приn= 1 она совпадает с фундаментальной группой. Приn> 1 группа πnXкоммутативна. Если π1X= {1}, тоХназывается односвязным.
Клеточное пространствоХназывается пространствомK(G, n), если πi(X)=0 приi≠nи πnX=G; такое клеточное пространство существует для любогоn≥ 1 и любой группыG(коммутативной приn> 1) и с точностью до гомотопической эквивалентности определено однозначно. Приn> 1 (а также приn= 1, если группаGкоммутативна) пространствоK(G, n) оказываетсяН-пространством и потому представляет некоторую группуHn(X;G)= [X;K(G, n)]. Эта группа называетсяn-мepной группой когомологий топологического пространстваХс группой коэффициентовG. Она является типичным представителем целого ряда важных кофункторов, к числу которых принадлежит, например,К-функторKO(X)= [Х,BO], представляемый так называемым бесконечномерным грассманианомBO, группы ориентированных кобордизмов ΩnXи т.п.
ЕслиGявляется кольцом, то прямая суммаН*(Х; G)группHn(X; G)является алгеброй надG. Более того, эта прямая сумма обладает очень сложной алгебраической структурой, в которую (приG=Zp, гдеZp— циклическая группа порядкар) входит действие наН*(Х; G)некоторой некоммутативной алгебрыp, называемой алгеброй Стинрода. Сложность этой структуры позволяет, с одной стороны, выработать эффективные (но совсем не простые) методы вычисления группHn(X; G),а с другой — установить связи между группамиHn(X; G)и другими гомотопически инвариантными функторами (например, гомотопическими группами πnX), позволяющие часто в явном виде вычислить и эти функторы.
Исторически группам когомологий предшествовали так называемые группы гомологийHn(X; G), являющиеся гомотопическими группами πnM(X, G)некоторого клеточного пространстваM(X, G), однозначно строящегося по клеточному пространствуХи группеG. Группы гомологий и когомологий в определённом смысле двойственны друг другу, и их теории по существу равносильны. Однако алгебраическая структура, имеющаяся в группах гомологий, менее привычна (например, эти группы составляют не алгебру, а так называемую коалгебру), и поэтому в вычислениях обычно пользуются группами когомологий. Вместе с тем в некоторых вопросах группы гомологий оказываются более удобными, поэтому они также изучаются. Часть алгебраических Т., занимающаяся изучением (и применением) групп гомологий и когомологий, называется теорией гомологий.
Перенесение результатов алгебраических Т. на пространства более общие, чем клеточные пространства, составляет предмет так называемой общей алгебраической Т. В частности, общая теория гомологий изучает группы гомологий и когомологий произвольных топологических пространств и их применения. Оказывается, что вне класса компактных клеточных пространств различные подходы к построению этих групп приводят, вообще говоря, к различным результатам, так что для неклеточных топологических пространств возникает целый ряд различных групп гомологий и когомологий. Основное применение общая теория гомологий находит в теории размерности и в теории так называемых законов двойственности (описывающих взаимоотношения между топологическими свойствами двух дополнительных подмножеств топологического пространства), и её развитие было во многом стимулировано нуждами этих теорий.
4. Кусочно-линейная топология
Подмножество Р ∈ |Rnназывается конусом с вершинойаи основаниемВ, если каждая его точка принадлежит единственному отрезку видаab, гдеb∈В.ПодмножествоХ∈ |Rnназывается полиэдром, если любая его точка обладает вХокрестностью, замыкание которой является конусом с компактным основанием. Непрерывное отображениеf:X→Yполиэдров называется кусочно-линейным, если оно линейно на лучах каждой конической окрестности любой точких∈X.Взаимно однозначное кусочно-линейное отображение, обратное к которому также кусочно-линейно, называется кусочно-линейным изоморфизмом. Предметом кусочно-линейной Т. является изучение полиэдров и их кусочно-линейных отображений. В кусочно-линейной Т. полиэдры считаются одинаковыми, если они кусочно-линейно изоморфны.
ПодмножествоХ∈ |Rnтогда и только тогда является (компактным) полиэдром, когда оно представляет собой объединение (конечного) семейства выпуклых многогранников. Любой полиэдр может быть представлен в виде объединения Симплексов, пересекающихся только по целым граням. Такое представление называют триангуляцией (См. Триангуляция) полиэдра. Каждая триангуляция однозначно определена её симплициальной схемой, то есть множеством всех её вершин, в котором отмечены подмножества, являющиеся множествами вершин симплексов. Поэтому вместо полиэдров можно рассматривать лишь симп-лициальные схемы их триангуляций. Например, по симплициальной схеме можно вычислять группы гомологий и когомологий. Это делается следующим образом:
а) симплекс, вершины которого определённым образом упорядочены, называется упорядоченным симплексом данной триангуляции (или симплициальной схемы)К; формальные линейные комбинации упорядоченных симплексов данной размерностиnс коэффициентами из данной группыGназываютсяn-мepными цепями; все они естественным образом составляют группу, которая обозначается символомCn(K; G);
б) выбросив из упорядоченногоn-мерного симплекса σ вершину с номеромi, 0 ≤i≤n,получим упорядоченный (n—1)-мерный симплекс, который обозначается символом σ(i); цепь по линейности отображение ∂ распространяется до гомоморфизма ∂:Cn(K; G)→Cn-1(K; G);
в) цепис, для которых∂c= 0, называются циклами, они составляют группу цикловZn(K; G);
г) цепи вида∂cназываются границами, они составляют группу границBn(K; G);
д) доказывается, чтоBn(K; G)⊂Zn(K; G)(граница является циклом); поэтому определена факторгруппа
Hn(K; G)=Zn(K; G)/ Bn(K; G).
Оказывается, что группаHn(K; G)изоморфна группе гомологийHn(X; G)полиэдраX, триангуляцией которого являетсяК. Аналогичная конструкция, в которой исходят не из цепей, а из коцепей (произвольных функций, определённых на множестве всех упорядоченных симплексов и принимающих значения вG), даёт группы когомологий.
С этой конструкции, изложенной здесь в несколько модифицированной форме, и началось по существу становление алгебраической Т. В первоначальной конструкции рассматривались так называемые ориентированные симплексы (классы упорядоченных симплексов, отличающихся чётными перестановками вершин). Эта конструкция развита и обобщена в самых разнообразных направлениях. В частности, её алгебраические аспекты дали начало так называемой гомологической алгебре.
Самым общим образом симплициальную схему можно определить как множество, в котором отмечены некоторые конечные подмножества («симплексы»), причём требуется, чтобы любое подмножество симплекса было снова симплексом. Такая симплициальная схема является симплициальной схемой триангуляции некоторого полиэдра тогда и только тогда, когда число элементов произвольного отмеченного подмножества не превосходит некоторого фиксированного числа. Впрочем, понятие полиэдра можно обобщить (получив так называемые «бесконечномерные полиэдры»), и тогда уже любая симплициальная схема будет схемой триангуляции некоторого полиэдра (называемого её геометрической реализацией).
Произвольному открытому покрытию {Uα} каждого топологического пространстваХможно сопоставить симплициальную схему, вершинами которой являются элементыUαпокрытия и подмножество которой тогда и только тогда отмечено, когда элементы покрытия, составляющие это подмножество, имеют непустое пересечение. Эта симплициальная схема (и соответствующий полиэдр) называемому нервом покрытия. Нервы всевозможных покрытий в определённом смысле аппроксимируют пространствоХи, исходя из их групп гомологий и когомологий, можно посредством соответствующего предельного перехода получать группы гомологий и когомологий самогоX. Эта идея лежит в основе почти всех конструкций общей теории гомологий. Аппроксимация топологического пространства нервами его открытых покрытий играет важную роль и в общей Т.
5. Топология многообразий
Хаусдорфово паракомпактное топологическое пространство называетсяn-мерным топологическим многообразием, если оно «локально евклидово», то есть если каждая его точка обладает окрестностью (называемой координатной окрестностью, или картой), гомеоморфной топологическому пространству |Rn. В этой окрестности точки задаютсяnчисламиx1,…, xn,называемыми локальными координатами. В пересечении двух карт соответствующие локальные координаты выражаются друг через друга посредством некоторых функций, называемых функциями перехода. Эти функции задают гомеоморфизм открытых множеств в |Rn, называются гомеоморфизмом перехода.
Условимся произвольный гомеоморфизм между открытыми множествами из |Rnназыватьt-гомеоморфизмом. Гомеоморфизм, являющийся кусочно-линейным изоморфизмом, будем называтьp-гомеоморфизмом, а если он выражается гладкими (дифференцируемыми любое число раз) функциями, —s-гомеоморфизмом.
Пусть α= t, pилиs.Топологическое многообразие называется α-многообразием, если выбрано такое его покрытие картами, что гомеоморфизмы перехода для любых его двух (пересекающихся) карт являются α-гомеоморфизмами. Такое покрытие задаёт α-структуру на топологическом многообразииX. Таким образом,t-многообразие — это просто любое топологическое многообразие,p-многообразия называются кусочно-линейными многообразиями. Каждое кусочно-линейное многообразие является полиэдром. В классе всех полиэдровn-мерные кусочно-линейные многообразия характеризуются тем, что любая их точка обладает окрестностью, кусочно-линейно изоморфнойn-мерному кубу.s-многообразия называются гладкими (или дифференцируемыми) многообразиями. α-отображением α-многообразия называются называется при α=tпроизвольное непрерывное отображение, при α= s —произвольное кусочно-линейное отображение, при α =s —произвольное гладкое отображение, то есть непрерывное отображение, записывающееся в локальных координатах гладкими функциями. Взаимно однозначное α-отображение, обратное к которому также является α-отображением, называется α-гомеоморфизмом (при α=sтакже диффеоморфизмом), α-многообразияХиYназываются α-гомеоморфными (при α =s —диффеоморфными), если существует хотя бы один α-гомеоморфизмX→Y. Предметом теории α-многообразий является изучение α-многообразий и их α-отображений; при этом α-гомеоморфные α-многообразия считаются одинаковыми. Теорияs-многообразий является частью кусочно-линейной Т. Теорияs-многообразий называется также гладкой Т.
Основной метод современной теории многообразий состоит в сведении её задач к проблемам алгебраических Т. для некоторых нужным образом сконструированных топологических пространств. Эта тесная связь теории многообразий с алгебраической Т. позволила, с одной стороны, решить много трудных геометрических проблем, а с другой — резко стимулировала развитие самой алгебраической Т.
Примерами гладких многообразий являютсяn-мерные поверхности в |Rn, не имеющие особых точек. Оказывается (теорема вложения), что любое гладкое многообразие диффеоморфно такой поверхности (приN≥2n+ 1). Аналогичный результат верен и при α=t,p.
Каждоеp-многообразие являетсяt-многообразием. Оказывается, что на любомs-многообразии можно некоторым естественным образом ввестиp-структуру (которая называется обычно у айтхедовской триангуляцией). Можно сказать, что любое α-многообразие, где α =pилиs,является α’-многообразием, где α’= tилиp. Ответ на обратный вопрос: на каких α’-многообразиях можно ввести α-структуру (такое α’-многообразие при α’ =pназывается сглаживаемым, а при α’ =t —триангулируемым), а если можно, то сколько? — зависит от размерностиn.
Существует только два одномерных топологических многообразия: окружностьS1(компактное многообразие) и прямая линия |R (некомпактное многообразие). Для любого α=p,sнаt-многообразияхS1и |R существует единственная α-структура.
Аналогично, на любом двумерном топологическом многообразии (поверхности) существует единственная α-структура, и можно легко описать все компактные связные поверхности (некомпактные связные поверхности также могут быть описаны, но ответ получается более сложный). Для того чтобы поверхности были гомеоморфны, достаточно, чтобы они были гомотопически эквивалентны. При этом гомотопический тип любой поверхности однозначно характеризуется её группами гомологий. Существует два типа поверхностей: ориентируемые и неориентируемые. К числу ориентируемых принадлежит сфераS2и торT2.ПустьХиY— два связныхn-мерных α-многообразия. Вырежем вХиYпо шару (приn =2 — диску) и склеим получившиеся граничные сферы (приn= 2 — окружности). При соблюдении некоторых само собой разумеющихся предосторожностей в результате снова получим α-многообразие. Оно называется связной суммой α-многообразийХиYи обозначаетсяX#Y. Например,T2#T2имеет вид кренделя. СфераSnявляется нулём этого сложения, то естьSn#X=Хдля любогоX. В частности,S2#T2=T2. Оказывается, что ориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме видаS2#T2#…#T2, числоpслагаемыхT2называется родом поверхности. Для сферыp= 0, для тораp= 1 и т. д. Поверхность родаpможно наглядно представлять себе как сферу, к которой приклееноp«ручек». Каждая неориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме |RP2# … #|RP2некоторого числа проективных плоскостей |RP2. Её можно представлять себе как сферу, к которой приклеено несколько Мебиуса листов (См. Мёбиуса лист).
На каждом трёхмерном топологическом многообразии при любом α =p,sтакже существует единственная α-структура и можно описать все гомотопические типы трёхмерных топологических многообразий (однако групп гомологий для этого уже недостаточно). В то же время до сих пор (1976) не описаны все (хотя бы компактные связные) трёхмерные топологические многообразия данного гомотопического типа. Это не сделано даже для односвязных многообразий (все они гомотопически эквивалентны сфереS3). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что любое такое многообразие гомеоморфноS3.
Для четырёхмерных (компактных и связных) топологических многообразий вопрос о существовании и единственности α-структур (α =p,s) ещё не решен, а их гомотопический тип описан только в предположении односвязности. Справедлив ли для них аналог гипотезы Пуанкаре, неизвестно.
Замечательно, что для компактных и связных топологических многообразий размерностиn≥ 5 ситуация оказывается совсем иной: все основные задачи для них можно считать в принципе решенными (точнее, сведёнными к проблемам алгебраической Т.). Любое гладкое многообразиеХвкладывается как гладкая (n-мepная) поверхность в Х составляют некоторое новое гладкое многообразиеTX,которое называется касательным расслоением гладкого многообразияX. Вообще, векторным расслоением над топологическим пространствомХназывается топологическое пространствоЕ,для которого задано такое непрерывное отображение π :Е→Х, что для каждой точких∈Хпрообраз v (слой) является векторным пространством и существует такое открытое покрытие {Uα} пространстваX, что для любого α прообраз π—1(Uα) гомеоморфен произведениюUα× |Rn, причём существует гомеоморфизм π—1(Uα) →Uα× |Rn, линейно отображающий каждый слой π—1(x), x∈Uα, на векторное пространство{х}× |Rn. ПриЕ=TXнепрерывное отображение π сопоставляет с каждым касательным вектором точку его касания, так что слоем π—1(x)будет пространство, касательное кХв точкех.Оказывается, что любое векторное расслоение над компактным пространствомХопределяет некоторый элемент группыKO(X).Таким образом, в частности, для любого гладкого, компактного и связного многообразияХв группеKO(X)определён элемент, соответствующий касательному расслоению. Он называется тангенциальным инвариантом гладкого многообразияX. Имеется аналог этой конструкции для любого α. При α =pроль группыKO(X)играет некоторая другая группа, которая обозначаетсяKPL(X),а при α =tроль этой группы играет группа, обозначаемаяKTop(X).Каждое α-многообразиеХопределяет в соответствующей группе [КО(Х),KPL(X)илиKTop(X)] некоторый элемент, называемый его α-тангенциальным инвариантом. Имеются естественные гомоморфизмыKO(X)→KPL(X)→KTop(X), и оказывается, что наn-мерном (n≥5) компактном и связном α'-многообразииX, где α' =t,p, тогда и только тогда можно ввести α-структуру (α =р,если α'= t,и α =s,если α' =p),когда его α'-тангенциальный инвариант лежит в образе соответствующей группы [KPL(X)при α' =tиKO(X)при α' =p]. Число таких структур конечно и равно числу элементов некоторого фактормножества множества [X,Yα], гдеYα— некоторое специальным образом сконструированное топологическое пространство (при α =sтопологическое пространствоYαобозначается обычно символомPL/O, а при α =p —символомTop/PL). Тем самым вопрос о существовании и единственности α-структуры сводится к некоторой задаче теории гомотопий. Гомотопический тип топологического пространстваPL/Oдовольно сложен и до сих пор (1976) полностью не вычислен; однако известно, что πi(PL/O)= 0 приi≤ 6, откуда следует, что любое кусочно-линейное многообразие размерностиn≤ 7 сглаживаемо, а приn≤ 6 единственным образом. Напротив, гомотопический тип топологического пространстваTop/PLоказался удивительно простым: это пространство гомотопически эквивалентноK(ℤ2, 3). Следовательно, число кусочно-линейных структур на топологическом многообразии не превосходит числа элементов группыH3(X, ℤ2). Такие структуры заведомо существуют, еслиH4(X, ℤ2) = 0, но приH4(X, ℤ2) ≠ 0 кусочно-линейной структуры может не существовать.
В частности, на сфереSnсуществует единственная кусочно-линейная структура. Гладких структур на сфереSnможет быть много, например, наS7существует 28 различных гладких структур. На тореTn(топологических произведенииnэкземпляров окружностиS1) существует приn≥ 5 много различных кусочно-линейных структур, которые все допускают гладкую структуру. Таким образом, начиная с размерности 5, существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия; сферы с таким свойством существуют, начиная с размерности 7.
Задачу описания (с точностью до α-гомеоморфизма) всехn-мерpных (n≥ 5)связных компактных α-многообразий естественно решать в два этапа: искать условия гомотопической эквивалентности α-многообразий и условия α-гомеоморфности гомотопически эквивалентных α-многообразий. Первая задача относится к гомотопической Т. и в её рамках может считаться полностью решенной. Вторая задача также по существу полностью решена (во всяком случае для односвязных α-многообразий). Основой её решения является перенос в высшие размерности техники «разложения на ручки». С помощью этой техники удаётся, например, доказать дляn-мерных (n≥ 5) топологических многообразий гипотезу Пуанкаре (связное компактное топологическое многообразие, гомотопически эквивалентное сфере, гомеоморфно ей).
Наряду с α-многообразиями можно рассматривать так называемые α-многообразия с краем; они характеризуются тем, что окрестности некоторых их точек (составляющих край) α-гомеоморфны полупространствуXn≥ 0 пространства |Rn. Край является (n—1)-мерным α-многообразием (вообще говоря, несвязным). Дваn-мерных компактных α-многообразияХиYназываются (ко) бордантными, если существует такое (n+1)-мерное компактное α-многообразие с краем W, что его край является объединением непересекающихся гладких многообразий, α-гомеоморфныхХиУ. Если отображения вложенияX→WиY→Wявляются гомотопическими эквивалентностями, то гладкие многообразия называютсяh-кобордантными. Методами разложения на ручки удаётся доказать, что приn≥ 5 односвязные компактные α-многоооразия α-гомеоморфны, если ониh-кобордантны. Эта теорема оh-кобордизме доставляет сильнейший способ установления α-гомеоморфности α-многообразий (в частности, гипотеза Пуанкаре является её следствием). Аналогичный, но более сложный результат имеет место и для неодносвязных α-многообразий.
Совокупность s изоморфна гомотопической группе π2n+1MO(n+1) некоторого специально сконструированного топологического пространстваMO(n+1), называется пространством Тома. Аналогичный результат имеет место и при α =p,t. Поэтому методы алгебраической Т. позволяют в принципе вычислить группу 2 в количестве, равном числу разбиений числаnна слагаемые, отличные от чисел вида 2m—1. Например,=0 (так что каждое трёхмерное компактное гладкое многообразие является краем). Напротив, 2,так что существуют поверхности, кобордантные друг другу и не кобордантные нулю; такой поверхностью, например, является проективная плоскость |RP2.
М. М. Постников.
6. Основные этапы развития топологии
Отдельные результаты топологического характера были получены ещё в 18—19 вв. (теорема Эйлера о выпуклых многогранниках, классификация поверхностей и теорема Жордана о том, что лежащая в плоскости простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части). В начале 20 в. создаётся общее понятие пространства в Т. (метрическое — М. Фреше, топологическое — Ф. Хаусдорф), возникают первоначальные идеи теории размерности и доказываются простейшие теоремы о непрерывных отображениях (А. Лебег, Л. Брауэр), вводятся полиэдры (А. Пуанкаре) и определяются их так называемые числа Бетти. Первая четверть 20 в. завершается расцветом общей Т. и созданием московской топологической школы; закладываются основы общей теории размерности (П. С. Урысон); аксиоматике топологических пространств придаётся её современный вид (П. С. Александров); строится теория компактных пространств (Александров, Урысон) и доказывается теорема об их произведении (А. Н. Тихонов); впервые даются необходимые и достаточные условия метризуемости пространства (Александров, Урысон); вводится (Александров) понятие локально конечного покрытия [на основе которого в 1944 Ж. Дьёдонне (Франция) определил паракомпактные пространства]; вводятся вполне регулярные пространства (Тихонов); определяется понятие нерва и тем самым основывается общая теория гомологий (Александров). Под влиянием Э. Нётер числа Бетти осознаются как ранги групп гомологий, которые поэтому называются также группами Бетти. Л. С. Понтрягин, основываясь на своей теории характеров, доказывает законы двойственности для замкнутых множеств.
Во 2-й четверти 20 в. продолжается развитие общей Т. и теории гомологий: в развитие идей Тихонова А. Стоун (США) и Э. Чех вводят так называемое стоун — чеховское, или максимальное, (би)компактное расширение вполне регулярного пространства; определяются группы гомологий произвольных пространств (Чех), в группы когомологий (Дж. Александер, А. Н. Колмогоров) вводится умножение и строится кольцо когомологий. В это время в алгебраической Т. царят комбинаторные методы, основывающиеся на рассмотрении симплициальных схем; поэтому алгебраическая Т. иногда и до сих пор называется комбинаторной Т. Вводятся пространства близости и равномерные пространства. Начинает интенсивно развиваться теория гомотопий (Х. Хопф, Понтрягин); определяются гомотопические группы (В. Гуревич, США) и для их вычисления применяются соображения гладкой Т. (Понтрягин). Формулируются аксиомы групп гомологий и когомологий (Н. Стинрод и С. Эйленберг, США). Возникает теория расслоений (Х. Уитни, США; Понтрягин); вводятся клеточные пространства (Дж. Уайтхед, Великобритания).
Во 2-й половине 20 в. в СССР складывается советская школа общей Т. и теории гомологий: ведутся работы по теории размерности, проблеме метризации, теории (би)компактных расширений, общей теории непрерывных отображений (факторных, открытых, замкнутых), в частности теории абсолютов; теории так называемых кардинальнозначных инвариантов (А.В. Архангельский, Б. А. Пасынков, В. И. Пономарев, Е. Г. Скляренко, Ю. М. Смирнов и др.).
Усилиями ряда учёных (Ж. П. Серр и А. Картан во Франции, М. М. Постников в СССР, Уайтхед и др.) окончательно складывается теория гомотопий. В это время создаются крупные центры алгебраической Т. в США, Великобритании и др. странах; возобновляется интерес к геометрической Т. Создаётся теория векторных расслоений иК-функтора (М. Атья, Великобритания; Ф. Хирцебрух, ФРГ), алгебраическая Т. получает широкие применения в гладкой Т. (Р. Том, Франция) и алгебраической геометрии (Хирцебрух); развивается теория (ко)бордизмов (В. А. Рохлин, СССР; Том, С. П. Новиков) и теория сглаживания и триангулируемости (Дж. Милнор, США).
Развитие Т. продолжается во всех направлениях, а сфера её приложений непрерывно расширяется.
А. А. Мальцев.
Лит.:Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.—Л., 1948; Пархоменко А. С., Что такое линия, М., 1954; Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М.—Л., 1947; его же, Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; Милнор Дж., Уоллес А,, Дифференциальная топология. Начальный курс, пер. с англ., М., 1972; Стинрод Н., Чинн У., Первые понятия топологии, пер. с англ., М., 1967; Александров П. С., Комбинаторная топология, М.—Л., 1947; Александров П. С., Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности, М., 1973; Александров П. С., Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию, М., 1975; Архангельский А. В., Пономарев В. И,, Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974; Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971; Бурбаки Н., Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., М., 1968; его же, Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства, пер. с франц., М., 1969; его же, Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные пространства. Сводка результатов. Словарь, пер. с франц., М., 1975; Куратовский К., Топология, пер. с англ., т. 1—2, М., 1966—69; Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967; Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971.
М. М. Постников.