Физическая энциклопедия

РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ

- геометрияриманова пространства.Осн. метрическим тензором gij.

Скалярное произведениекасательных векторов вточкехопределяется ф-лой . Это позволяет определить длины векторов и углы между векторами в данной точке. Длина (s)кривой,хi= xi(t), i = 1,..., n;,определяется ф-лой

где - вектор скорости.

Расстояние между точкамихнуопределяется как минимум длин кривых, х иу.Ф-ция задаётметрикув римановом пространстве.

Объём областиUриманова пространства определяется ф-лой

Наk-мерной поверхности, заданной в римановом пространстве впараметрич. виде,,i= 1,...,п,возникает метрич.тензор

наз. первой квадратичной формой поверхности. Длины кривых, углы н объёмыk-мерных областей на поверхности вычисляются в терминах внутреннейгеометрии, т. о. через первую квадратичную форму. Р. г. двумерных поверхностейв трёхмерном евклидовом пространстве широко применяется в механике оболочек. k -мерного объёма. Простейшей их физ. реализацией (приk = 2)являются мыльные плёнки. Считается, что двумерные минимальныеповерхности в пространстве Минковского описывают классич. динамикуструнырелятивистской.

Дифференц. исчислениетензоровв римановом пространстве основанона введении симметричнойсвязности,,согласованной с метрикойgij.ЕёКристоффеля символыимеют вид

Кривизны, тензор .этойсвязности определяеткривизнуриманова пространства, характеризующуюего отличие от евклидова.

Д в и ж е н и я рнманова пространства определяются как преобразования, , удовлетворяющими соотношениям:,где ,-ковариантная производная.Сдвиги вдоль траекторий системы,, i = 1, ...,n, определяют движения пространства. Движенияn-мерногориманова пространства образуют группу Ли, размерность к-рой не превосходитп(п-1). Для общих римановых пространств эта группа тривиальна; примерамипространств с группой движений макс. размерности служат евклидово пространство, метрика ,-Кронекера символ),простпанство лобачевского (метрика-.Если группа движении достаточно богата, так что с помощью движения любуюточкухможно перевести в заданную точкуу,то риманово пространствоназ. однородным. Если для люоой точки существует движение, являющееся симметриейпространства с центром в этой точке, то однородное пространство наз. сим метрическим. Локально симметрические пространства выделяются условиемпостоянства кривизны,.Теория симметрических и римановых однородных пространств сочетает применениеР. г. и методов теории групп Ли. Идей и методы этой теории используютсяпри изучении однородныхкосмологических моделейобщей теории относительности.

Конформными наз. такие преобразования ряманова пространства, при к-рыхметрика подвергается растяжению,. Конформные преобразованияn-мерного риманова пространства при образуют группу Ли, размерность к-рой не превосходит (п+1)(n+2)/2.Инвариантностью относительно конформных преобразованийобычно обладают теории безмассовых частиц.

Геодезическая линия -экстремаль функционала длины, рассматриваемогона кривых с закреплёнными концами. Ур-ния геодезических имеют вид

Геодезические могут быть получены также как экстремаль функционала действия:

Близкие точких, уриманова пространства всегда можно соединитьлокально единственной геодезической, длина к-рой и будет равна расстоянию .Риманово пространство наз. геодезически полным, если любая геодезическая неограниченно продолжается поt.В полном римановом пространствелюбые две точки можно соединить геодезической (вообще говоря, не единственной).Изучение глобальных свойств геодезических риманова пространства составляетважный разделвариационного исчисленияв целом. Поскольку многиеур-ния классич. механики могут быть записаны в виде ур-ний геодезических, индефинитной метрики., в основном изучаются именно такие геодезические. Важная задача Р. г. - установление зависимости между геометрией римановапространства и еготопологией.Простейшим примером такой зависимостиявляется ф-ла Гаусса - Бонне, справедливая для замкнутой двумерной поверхности:

гдеК- гауссова кривизна поверхности,- элемент площади,g -топологич. характеристика поверхности, равнаячислу ручек (напр., для сферыg= 0, для тораg =1). Длямногомерных римановых пространств строятся более сложные топологич. характеристики(характеристич. классы), вычисляемые в виде интегралов от инвариантов тензоракривизны. Известны также теоремы, выводящие топологич. ограничения на римановопространство из соотношений типа неравенств для его кривизны. Простейшимпримером является такое утверждение: полное односвязное (т. е. любой замкнутыйпуть стягивается в точку) риманово пространство отрицат. кривизны топологическиевклидово.

Комплексный аналог Р. г. - теория пространств с эрмитовой метрикой, в виде (чертаозначает комплексное сопряжение), причём .В частности, двумерная метрика может быть записана в комплексном виде ,если ввести изотормич. координатыx1,х2,такие, что ,и положить

, (здесьi- комплексная единица). Конформные преобразования сводятсятогда к комплексно-аналитич. заменам,,,и сопряжению

Большинство методов Р. г. переносятся на псевдори-мановы пространства, индефинитная метрика, и поэтому являются осн. аппаратомобщей теории относительности.

Лит.:Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Теория поля, 7 изд., М.,1988; Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М.,1967; Ф о к В. А., Теория пространства, времени и тяготения, 2 изд., М.,1961; Д у б р о в и н Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современнаягеометрия, 2 изд., М., 1986; их же, Современная геометрия. Методы теориигомологии, М., 1984. Б.А. Дубровин.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.


  1. риманова геометрия—РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ многомерное обобщение геометрии на поверхности представляющее собой теорию римановых пространств т. е. таких пространств где в малых областях приближнн...Большая советская энциклопедия
  2. риманова геометрия—многомерное обобщение геометрии на поверхности представляющее собой теорию римановых пространств т. е. таких пространств где в малых областях приближнно имеет место евкли...Большая Советская энциклопедия II
  3. риманова геометрия—многомерное обобщение геометрии на поверхности т. е.геометрии мерного пространства. Изучает свойства многомерныхпространств в малых областях которых имеет место с точност...Большой энциклопедический словарь II
  4. риманова геометрия—РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ многомерное обобщение геометрии на поверхности т. е. геометрии мерного пространства. Изучает свойства многомерных пространств в малых областях которых ...Большой энциклопедический словарь III
  5. риманова геометрия—РИМАНОВА геометрия многомерное обобщение геометрии на поверхности т. е. геометрии мерного пространства. Изучает свойства многомерных пространств в малых областях которых...Большой Энциклопедический словарь V
  6. риманова геометрия—многомерное обобщение геометрии на поверхности т. е. геометрии мерного пространства. Изучает свойства многомерных пространств. в малых областях крых имеет место с точност...Естествознание. Энциклопедический словарь
  7. риманова геометрия—теория риманова пространства. Р и м а н о в ы м п р о с т р а н с т в о м наз. nмерное связное дифференцируемое многообразие М пsubi на кром задано дифференцируемое поле ...Математическая энциклопедия
  8. риманова геометрия—риманды геометрия...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
  9. риманова геометрия—gomtrie riemannienne...Политехнический русско-французский словарь
  10. риманова геометрия—Riemann geometry...Русско-английский словарь по физике
  11. риманова геометрия—Riemann geometry...Русско-английский словарь по электронике
  12. риманова геометрия—Riemannian geometry...Русско-английский технический словарь
  13. риманова геометрия—geometria di Riemann riemanniana...Русско-итальянский политехнический словарь
  14. риманова геометрия—Riemannsche Geometrie...Русско-немецкий политехнический словарь
  15. риманова геометрия—Б. Грин Математический формализм описания искривленных пространств любой размерности. Играет центральную роль в эйнштейновском описании пространствавремени в общей теории...Словарь современной физики из книг Грина и Хокинга
  16. риманова геометрия—РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ многомерное обобщение геометрии на поверхности т. е. геометрии мерного пространства. Изучает свойства многомерных пространств в малых областях которых ...Современный энциклопедический словарь
  17. риманова геометрия—РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ многомерное обобщение геометрии на поверхности т. е. геометрии мерного пространства. Изучает свойства многомерных пространств в малых областях которых...Энциклопедический словарь естествознания