Большая советская энциклопедия

РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ

РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ,многомерное обобщение геометрии на поверхности, представляющее собой теорию римановых пространств, т. е. таких пространств, где в малых областях приближённо имеет место евклидова геометрия (с точностью до малых высшего порядка сравнительно с размерами области). Р. г. получила своё название по имени Б.Римана,к-рый заложил её основы в 1854.

Понятие о римановой геометрии. Гладкая поверхность в евклидовом пространстве, рассматриваемая с точки зрения измерений, производимых на ней, оказывается двумерным пространством, геометрия к-рого (т. н.внутренняя геометрия),будучи приближённо евклидовой в малом (в окрестности любой точки она совпадает с точностью до малых высшего порядка с геометрией касательной плоскости), точно не является евклидовой; к тому же, как правило, поверхность неоднородна по своим геометрич. свойствам. Поэтому внутр. геометрия поверхности и есть не что иное, как Р. г. двух измерений, а сама поверхность есть двумерное риманово пространство.

Так, при измерениях на участках земной поверхности, малых в сравнении с размерами земного шара, можно с успехом применять обычную планиметрию, однако результаты измерений на больших участках обнаруживают существенное отклонение от законов планиметрии. Перенесение этих понятий на многомерные пространства приводит к общей Р.т.В основе Р. г. лежат три идеи. Первая идея - признание того, что вообще возможна геометрия, отличная от евклидовой,- была впервые развита Н. И.Лобачевским;вторая - это идущее от К. Ф.Гауссапонятие внутр. геометрии поверхностей и её аналитич. аппарат в виде квадратичной формы, определяющей линейный элемент поверхности; третья идея - понятие об и-мерном пространстве, выдвинутое и разработанное в 1-й пол. 19 в. рядом геометров. Риман, соединив и обобщив эти идеи (в лекции "О гипотезах, лежащих в основании геометрии", прочитанной в 1854 и опубликованной в 1867), ввёл общее понятие о пространстве как непрерывной совокупности любого рода однотипных объектов, к-рые служат точками этого пространства (см.Геометрия,раздел Обобщение предмета геометрии,Пространствов математике), и перенёс на эти пространства представления об измерении длин малыми шагами.

После опубликования работ Римана его идеи привлекли внимание ряда математиков, к-рые развивали дальше аналитич. аппарат Р. г. и устанавливали в ней новые теоремы геометрич. содержания. Важным шагом было создание итал. геометрами Г. Риччи-Курбастро и Т. Леви-Чивита на рубеже 20 в. т. н.тензорного исчисления,к-рое оказалось наиболее подходящим аналитич. аппаратом для разработки Р. г. Решающее значение имело применение Р. г. в создании А.Эйнштейномобщей теории относительности, к-рое было триумфом не только абстрактной геометрии, но и идей о связи геометрии и физики, выдвинутых Лобачевским и Риманом. Это привело к бурному развитию Р. г. и её разнообразных обобщений. В наст, время Р. г. вместе с её обобщениями представляет собой обширную область геометрии, к-рая продолжает успешно развиваться, причём особое внимание уделяется вопросам глобального характера.

Определение риманова пространства. К строгому определению риманова пространства можно подойти следующим образом. Положение точки n-мерного многообразия определяетсяпкоординатамих1, x2, . . .,хn.В евклидовом n-мерном пространстве расстояние между любыми двумя точкамиX, Yв надлежаще выбранных координатах выражается формулой

где дельтахi-разности координат точекX, Y.Соответственно в римановом пространстве в окрестности каждой точкиАмогут быть введены координатых1,...,хnтак, что расстояние между точкамиX, Y,близкими кА,выражаются формулой

когдаX, Yприближаются кА.Отсюда следует, что в произвольных координатах расстояние между близкими точками(хi) и (xi+dxi),или, что то же самое, дифференциал длины дуги кривой, задаётся выражением

(здесь коэффициенты gij= дij(х1, ..., хn)суть функции координат), к-рое наз. линейным элементом риманова пространства. Т. о., риманово пространствоRможно аналитически определить как re-мерное многообразие, в к-ром в каждой точке задана дифференциальная квадратичная форма

(она наз. также метрической формой, или просто метрикой,Rи является по своему определению положительно определённой). Возможность преобразования координат обусловливает то, что одно и то же риманово пространство в разных координатах имеет разные выражения метрич. формы, однако её величина (вследствие своего геометрич. смысла как квадрата элемента длины дуги) при преобразовании координат должна оставаться неизменной :

Это приводит к определённому закону преобразования коэффициентовgijкак компонент дважды ковариантного тензора (см.Тензорное исчисление);он наз. метрическим тензором риманова пространства.

Каждой точкеАриманова пространстваRсопоставляется т. н. касательное евклидово пространствоЕA,в к-рое отображается нек-рая окрестностьUточкиАтак, что относительное искажение расстояний стремится к нулю при приближении к точкеА.Аналитически это сводится к введению вблизи нек-рой точкиА0пространстваЕAтаких координат, что в них квадрат линейного элементаds20евклидова пространстваЕAвыражается в точке АО такой же формой суммаi,jgij(А)dxidxj,какой выражается квадрат линейного элемента риманова пространства ds2в точкеА.Т. о., в пренебрежении малыми выше первого порядка окрестность точки в римановом пространстве можно заменять окрестностью точки касательного пространства.

Простейшие понятия римановой геометрии. 1)Длина дуги s кривойxi- xi(t)(ii=1,. . ., п, t1=<t=<t2)в римановом пространствеRопределяется как интеграл

вдоль этой кривой (что соответствует как бы измерению длин "малым масштабом", как отметил ещё Риман). Если любые две точки пространстваRсоединимы кривой, тоRстановитсяметрическим пространством:расстояние р (Х, У) между двумя точками определяется как точная нижняя грань длин кривых, соединяющих эти точки, и наз. внутренней метрикой риманова пространстваR.

2) Угол между двумя исходящими из одной точкиАкривыми определяется как угол между касательными векторами к кривым в точкеА.

3) О б ъ ё мV n-мерной области G риманова пространства определяется по формуле:

Геодезические. Линии, к-рые в достаточно малых областях являются кратчайшими из всех кривых с теми же концами, наз. геодезическими, они играют роль прямых в римановом пространствеR.По определению, они являются экстремалями функционала

(см.Вариационное исчисление)и удовлетворяют уравнениям:

где Гijk- т. н.Кристоффеля символы,выражающиеся через компоненты мет-рич. тензораgijи их первые производные. Через каждую точку риманова пространства в любом направлении проходит геодезическая; любые две точкиА, Вдостаточно малой области можно соединить кратчайшей [длина её будет равна внутр. расстояниюр (А, В)между этими точками], и притом единственной, однако единственность может нарушаться, если точки достаточно удалены друг от друга (напр., полюсы сферы соединимы бесконечным множеством дуг больших кругов, являющихся кратчайшими).

Представляет интерес (для описания периодич. движений в механич. задаче многих тел, например) оценка числа v замкнутых геодезических пространстваR;эта задача (поставленная Ж. А.Пуанкарев 1905 в связи с нек-рыми вопросами небесной механики), несмотря на усилия многих математиков, ещё далека от завершения, наилучший результат: v>=2, если R односвязно.

Соприкасающееся пространство. Между римановым пространствомRи касательным к нему евклидовым пространством в окрестностиVнек-рой точкиАможно установить такое соответствие, при к-ром оба пространства будут совпадать с точностью до малых выше второго порядка. Для этого проводят из точкиАгеодезические во всех направлениях и каждой из них в касательном пространстве сопоставляют луч соответствующего направления, а затем устанавливают такое соответствие этих лучей и геодезических, при к-ром длины дуг геодезических и соответствующих им лучей равны. В достаточно малой окрестности такое соответствие будет взаимно однозначным; если ввести в касательном пространстве декартовы координатых1, . . ., хnи приписать их значения соответствующим точкам окрестностиU,то между линейными элементамиdsриманова иds0евклидова пространств будет такая связь:

Евклидово пространство, поставленное в такое соответствие с римановым, и называется соприкасающимся (в отличие от обычного касательного пространства). Добиться более высокого порядка совпадения за счёт специального выбора соответствия между римановым и евклидовым пространствами в общем случае уже невозможно. Поэтому коэффициентыRmlkiхарактеризуют отличие риманова пространства от евклидова; они являются компонентами т. н. тензора кривизны (или тензора Римана - Кристоффеля), определяемого по сформуле

лишь через gikи их производные до второго порядка.

Тождественное обращение в нуль тензора кривизны необходимо и достаточно для того, чтобы пространство в окрестности каждой точки совпадало с евклидовым (в целом оно может отличаться от него своим строением, подобно тому как боковая поверхность цилиндра отличается от плоскости).

Параллельное перенесение. Для всякой гладкой кривой L риманова пространства существует отображение её окрестностиULв евклидово пространствоEL,при к-ром оно оказывается соприкасающимся во всех точках кривой L. Образ кривойLв пространствеELназ. развёрткой L‘ этой кривой на евклидово пространство (для поверхностиFв евклидовом пространстве соприкасающееся евклидово пространство вдоль кривой L можно интерпретировать как развёрнутую на плоскость огибающую семейства плоскостей, касательных к F вдоль L). Вектор (и любой тензор) параллельно переносится вдоль кривойL,если параллельно переносится соответствующий вектор (тензор) в евклидовом пространствеEL,соприкасающемся с римановым вдоль этой кривой. Аналитически параллельное перенесение вектора aiвдоль кривойxi= xi(f)определяется дифференциальным уравнением

определить как кривые, вдоль к-рых касательный к ним вектор переносится параллельно, т. е. развёртка геодезической - прямая, что углубляет их сходство с прямыми. Результат параллельного перенесения вектора из точкиАв точкуВзависит, как правило, от кривойАВ,вдоль к-рой происходит перенесение,- в этом отсутствии "абсолютного параллелизма" наглядно проявляется отличие риманова пространства от евклидова.

Геодезическая кривизна (первая кривизна) кривойLв точкеМоценивает её отклонение от геодезической L0, касающейсяLв точкеМ,и определяется следующим образом. Пусть касательный вектор кLв точкеМпараллельно перенесён в точкуМ‘и образует там угол ср с касательной кLв точке М; пусть s - длина дугиММ‘кривой L. При стремленииМ‘кМсуществует предел

к-рый и наз. геодезической кривизной кривойLв точкеМ.Аналитически геодезическая кривизна кривойхi= xi(s),параметризованной длиной дуги, определяется формулами:

таким образом, геодезическая кривизна кривойLсовпадает с (первой)кривизнойеё развёрткиL,а геодезические линии во всех точках имеют нулевую геодезическую кривизну.

Для кривойLв римановом пространствеRопределяются также вторая и т. д. кривизны и имеют место соотношения, аналогичные обычным формулам Френе (см.Дифференциальная геометрия)для кривых евклидова пространства.

Риманова кривизна. ПустьМ -точка риманова пространства, F - двумерная поверхностьxi= xi(u, v),проходящая черезМ, L -простой замкнутый контур наF,проходящий черезМ, а -площадь участка поверхности, ограниченного контуромL.Пусть произвольный вектораi,касательный к поверхности F (т. е. линейно выражающийся через векторыдхi/дu,дхi/дv)перенесён параллельно поL.

Тогда составляющая перенесённого вектора, касательная к F, окажется повёрнутой по отношению каiна угол ф (положительное направление отсчёта углов должно совпадать с направлением обхода L). При стягиванииLв точкуМсуществует предел

наз. кривизной риманова пространства (римановой кривизной) в данной точке в направлении двумерной поверхности;Кзависит не от поверхности, а лишь от её направления в точкеМ,т. е. от направления двумерной плоскости касательного евклидова пространства, содержащей векторыдхi/дu,дхi/дvРиманова кривизнаКсвязана с тензором кривизны формулой:

причём параметрыи, vвыбраны так, что площадь параллелограмма, построенного на векторахдхi/дu,дхi/дv, равна 1.

В двумерном случаеКсовпадает с полной кривизной (Theorema egregium К. Ф. Гаусса, 1827), при этом для области G, ограниченной простой замкнутой кривой Г, имеющей геодезическую кривизну и, справедлива т. н. ф о р-мула Гаусса - Бонне:

в частности, для треугольника, образованного отрезками геодезических

гдеА, В, С -величины углов треугольника. Для замкнутого (т. е. без границы) двумерного риманова пространстваRегоэйлерова характеристиках(R) пропорциональна интегралу римановой кривизны :

Эта формула обобщена на случай четно-мерного замкнутого риманова пространства, в к-ром интегрируется нек-рая функция компонент тензора кривизны.

Если в каждой точке риманова пространства кривизна не зависит от направления двумерной поверхности, то она не меняется и от точки к точке, т. е. пространство имеет постоянную кривизну. Представляют интерес также (в частности, для описания механич. систем с циклич. координатами) римановы пространства со специальной структурой тензора кривизны; они суть обобщение пространств постоянной кривизны и имеют достаточно обширную группу движений. Таковы, напр., симметрические пространства, характеризующиеся тем, что их тензор кривизны не меняется при параллельном

перенесении, субпроективные пространства, характеризующиеся спец. координатной системой, в к-рой геодезические описываются линейными ур-ниями, и др. Риманова кривизна играет важную роль в геометрич. приложениях Р. г., тем более, что на всяком многообразии можно ввести нек-рую риманову метрику. Так, напр., топологич. строение полных римановых пространств (т. е. пространств, в к-рых всякая геодезическая бесконечно продолжаема) зависит от свойств его кривизны: всякое полное односвязное n-мерное риманово пространство гомеоморфно n-мерному евклидову пространству, если его кривизна во всех точках и по всем направлениям неположительна и гомео-морфна n-мерной сфере единичного радиуса, если его кривизнаКудовлетворяет неравенствам

гдео- нек-рая постоянная. От величины кривизны полного риманова пространстваRзависит и его диаметрd -точная верхняя грань расстояний между точкамиR,определяемых внутр. метрикойR:напр.,

Метрическая связность. Параллельное перенесение вдоль кривойLс концамиА, Взадаёт изометричное (т. е. сохраняющее расстояния) преобразование тiкасательного пространстваЕAв точкеЛв касательное пространствоЕBв точкеА.Дифференциал преобразования т.; в точкеА,т. е. главная линейная часть изменения тiпри переходе изА(хi)в близкую точкуА(х1+dx1), определяет нек-рый геометрич. объект, наз. р и м а-новой связностью, ассоциированной с данным параллельным перенесением. Аналитически эта связность выражается системой линейных дифференциальных форм

Однако в римановом пространствеRможно определить и другие связности, такие, что ассоциированные с ними параллельные перенесения также сохраняют метрич. тензор; они наз. метрическими связностями и определяются аналогичными коэффициентами Гijk, но уже не симметричными по индексамj, kи не выражающимися (подобно символам Кристоффеля) только через тензорgijи его производные. Отличие метрич. связности от римановой оценивается т. н. тензором кручения:

геометрический смысл к-рого иллюстрируется следующим образом. Рассмотрим в двумерном римановом пространстве метрической связности малый треугольник, образованный отрезками геодезических длиныа, Ь, си угламиА, В, С.Тогда главная часть проекции кручения в точкеАна сторонуАВравна отношению величиныс-acosВ-bcosАк площади треугольника, а главная часть проекции кручения на перпендикуляр кАВ -величинеa sin В-bsinА,делённой на площадь треугольника. Т. о., в римановом пространстве нулевого кручения имеют место теоремы косинусов и синусов обыкновенной тригонометрии с точностью до величин, малых в сравнении с площадью треугольника.

Кривые, касательный вектор к к-рым переносится вдоль них параллельно, наз. геодезическими соответствующей связности; они совпадают с римановыми геодезическими, если тензор

кососимметричен по всем индексам.

М наз. римановым подпространством пространстваR.

Достаточно малая область га-мерного риманова пространстваRможет быть погружена в евклидово пространство достаточно большой размерностиN(т. е. допускает сохраняющее длины отображение на подмногообразие этого пространства). Известно, что N=<[(m(m+1))/2]+m вопрос о минимальном значенииNв общем случае ещё не решён, однако если коэффициенты метрич. формыдцпространстваRявляются аналитич. функциями (т. е. разлагаются в сходящиеся степенные ряды), то N=<[(m(m+1))/2]+m. Относительно задачи погружения в целом (представляющей интерес для физики калибровочных полей) известно ещё меньше.

Наиболее подробно исследованы погружения двумерных римановых пространств. Так, напр.: 1) двумерное полное риманово пространство положительной кривизныКпогружается в виде замкнутой выпуклой поверхности (овалоида) в трёхмерное риманово пространство кривизны не меньшейК[проблема Г.Вейля(1916), решённая нем. математиком X. Леви (1937) и А. Д.Александровым(1941) для погружения в евклидово пространство и А. В.Погореловым(1957) для риманова пространства], причём любые два погружения, имеющие общую точку и общее соприкасающееся пространство в ней, совпадают [т. е. овалоид однозначно определён своей метрикой, нем. математик С. Э. Кон-Фоссен (1927), А. В. Погорелое (1948)]. 2) Двумерное полное риманово пространство отрицательной кривизныК=<К0<0не допускает погружения в виде регулярной поверхности [сов. математик Н. В. Ефимов (1963), частный случай плоскости Лобачевского(К = -1) разобран Д.Гильбертом(1901)]. 3) Двумерное риманово пространство, гомеоморфное тору, допускает погружение в четырёхмерное евклидово пространство [сов. математик Э. Г. Позняк (1973)].

Приложения и обобщения римановой геометрии. 1) Поскольку Р. г. определяется заданием дважды ковариантного симметричного тензора, постольку всякую физич. задачу, сводящуюся к изучению такого тензорного поля, можно формулировать как задачу Р. г. В частности, к тензорным полям такого типа относятся различные физич. величины, характеризующие упругие, оптич., термодинамические, диэлектрические, пьезомагнит-ные и др. свойства анизотропных тел. При этом симметрия коэффициентовдцявляется отражением одного из фундаментальных физич. законов - закона взаимности. Так, задача о теплопроводности анизотропного тела, решённая ещё Риманом (1861), явилась первым приложением Р. г.

2) Рассмотрение конфигурационного пространства в механике системы с n степенями свободы позволило представить в ясной геометрич. форме ряд механич. задач. Так, напр., траектории свободного (т. е. в отсутствии обобщённых сил) движения голономной механич. системы с кинетич. энергией

где qi- обобщённые скорости, являются геодезическими соответствующего n-мер-ного риманова пространства с метрич. тензоромдц.О нек-рых др. фактах упоминалось выше. Аналогичную интерпретацию получает и движение в поле сил, имеющих потенциал (см.Герца принцип).3) В приложениях Р. г. к механике и физике важную роль играют дополнит, структуры, согласующиеся в том или ином смысле с метрикой риманова пространства. Так, напр.,

а) физич. представлениям об упругой сплошной среде с непрерывным распределением источников внутр. напряжений соответствует риманово пространство с нек-рой метрич. связностью: параллельное перенесение, соответствующее ей, определяет т. н. естественное состояние среды вдоль кривой, а кручение отождествляется с плотностьюдислокаций,

б) римановы пространства с почти комплексной структурой (определяется полем один раз ковариантного и один раз контравариантного тензораJik,такого, что

где S -Кронекера символ)используются квантовой механикой для описания наблюдаемых и состояний систем многих частиц; в) привлечение понятия т. н. конформной связности, т. е. связности риманова пространства, при к-рой результат параллельного перенесения метрич. тензорадцпропорционален ему самому, позволило смоделировать нек-рые из т. н.Бора постулатов,в частности избранные (или "разрешённые") орбиты движения электронов в атоме - кривые, вдоль к-рых метрич. тензор сохраняется.

4) Развитие Р. г. в связи с общей теорией относительности (см.Тяготение)и механикой сплошных сред породило различные обобщения её предмета, главнейшими из к-рых являются т. н. псевдоримановы пространства. Таково, напр., согласно теории тяготения, многообразие событий (многообразие пространства - времени) - четырёхмерное пространство с заданной на нём зна-конеопределённой невырожденной квадратичной формой

(коэффициенты такой "метрики", допускающей мнимые расстояния, как раз и характеризуют поле тяготения, играя роль потенциальных функций). Эта форма в каждой точке пространства событий может быть приведена к виду

гдех, у,z - пространственные координаты,t -время. Физически такие, т. н. локально галилеевы, системы отсчёта являются свободно падающими в поле тяготения. Однако ввести такую систему на всём многообразии невозможно (поскольку наличие поля тяготения математически выражается в кривизне псевдориманова пространства).

Другой путь обобщения Р. г. связан с рассмотрением более общих законов определения расстояний, задаваемых в виде линейного элементаds(см.Финслерова геометрия),и более общих законовпараллельного перенесения,а также с отказом от требований регулярности.Лит.:Риман Б., Соч., пер. с нем., М.- Л., 1948; Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Эйзенхарт Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948; С х о у т е н Я. А., Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965; Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971.

А. Д. Александров, Ю. Ф. Борисов.




  1. риманова геометрия—многомерное обобщение геометрии на поверхности представляющее собой теорию римановых пространств т. е. таких пространств где в малых областях приближнно имеет место евкли...Большая Советская энциклопедия II
  2. риманова геометрия—многомерное обобщение геометрии на поверхности т. е.геометрии мерного пространства. Изучает свойства многомерныхпространств в малых областях которых имеет место с точност...Большой энциклопедический словарь II
  3. риманова геометрия—РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ многомерное обобщение геометрии на поверхности т. е. геометрии мерного пространства. Изучает свойства многомерных пространств в малых областях которых ...Большой энциклопедический словарь III
  4. риманова геометрия—РИМАНОВА геометрия многомерное обобщение геометрии на поверхности т. е. геометрии мерного пространства. Изучает свойства многомерных пространств в малых областях которых...Большой Энциклопедический словарь V
  5. риманова геометрия—многомерное обобщение геометрии на поверхности т. е. геометрии мерного пространства. Изучает свойства многомерных пространств. в малых областях крых имеет место с точност...Естествознание. Энциклопедический словарь
  6. риманова геометрия—теория риманова пространства. Р и м а н о в ы м п р о с т р а н с т в о м наз. nмерное связное дифференцируемое многообразие М пsubi на кром задано дифференцируемое поле ...Математическая энциклопедия
  7. риманова геометрия—риманды геометрия...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
  8. риманова геометрия—gomtrie riemannienne...Политехнический русско-французский словарь
  9. риманова геометрия—Riemann geometry...Русско-английский словарь по физике
  10. риманова геометрия—Riemann geometry...Русско-английский словарь по электронике
  11. риманова геометрия—Riemannian geometry...Русско-английский технический словарь
  12. риманова геометрия—geometria di Riemann riemanniana...Русско-итальянский политехнический словарь
  13. риманова геометрия—Riemannsche Geometrie...Русско-немецкий политехнический словарь
  14. риманова геометрия—Б. Грин Математический формализм описания искривленных пространств любой размерности. Играет центральную роль в эйнштейновском описании пространствавремени в общей теории...Словарь современной физики из книг Грина и Хокинга
  15. риманова геометрия—РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ многомерное обобщение геометрии на поверхности т. е. геометрии мерного пространства. Изучает свойства многомерных пространств в малых областях которых ...Современный энциклопедический словарь
  16. риманова геометрия—геометрия риманова пространства.i Осн. метрическим тензором gijsub.Скалярное произведениеi касательных векторов вточке хi определяется флой . Это позволяет определить дли...Физическая энциклопедия
  17. риманова геометрия—РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ многомерное обобщение геометрии на поверхности т. е. геометрии мерного пространства. Изучает свойства многомерных пространств в малых областях которых...Энциклопедический словарь естествознания