РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ

многомерное обобщение геометрии на поверхности, представляющее собой теорию римановых пространств, т. е. таких пространств, где в малых областях приближённо имеет место евклидова геометрия (с точностью до малых высшего порядка сравнительно с размерами области). Р. г. получила своё название по имени Б. Римана,который заложил её основы в 1854.

Понятие о римановой геометрии.Гладкая поверхность в евклидовом пространстве, рассматриваемая с точки зрения измерений, производимых на ней, оказывается двумерным пространством, геометрия которого (так называемая Внутренняя геометрия),будучи приближённо евклидовой в малом (в окрестности любой точки она совпадает с точностью до малых высшего порядка с геометрией касательной плоскости), точно не является евклидовой; к тому же, как правило, поверхность неоднородна по своим геометрическим свойствам. Поэтому внутренняя геометрия поверхности и есть не что иное, как Р. г. двух измерений, а сама поверхность есть двумерное риманово пространство.

Так, при измерениях на участках земной поверхности, малых в сравнении с размерами земного шара, можно с успехом применять обычную планиметрию, однако результаты измерений на больших участках обнаруживают существенное отклонение от законов планиметрии. Перенесение этих понятий на многомерные пространства приводит к общей Р. г. В основе Р. г. лежат три идеи. Первая идея — признание того, что вообще возможна геометрия, отличная от евклидовой, — была впервые развита Н. И. Лобачевским (См. Лобачевский),вторая — это идущее от К. Ф. Гаусса понятие внутренней геометрии поверхностей и её аналитический аппарат в виде квадратичной формы, определяющей линейный элемент поверхности; третья идея — понятие обn-мерном пространстве, выдвинутое и разработанное в 1-й половине 19 в.рядом геометров. Риман, соединив и обобщив эти идеи (в лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной в 1854 и опубликованной в 1867), ввёл общее понятие о пространстве как непрерывной совокупности любого рода однотипных объектов, которые служат точками этого пространства (см. Геометрия,раздел Обобщение предмета геометрии, Пространство в математике), и перенёс на эти пространства представления об измерении длин малыми шагами.

После опубликования работ Римана его идеи привлекли внимание ряда математиков, которые развивали дальше аналитический аппарат Р. г. и устанавливали в ней новые теоремы геометрического содержания. Важным шагом было создание итальянскими геометрами Г. Риччи-Курбастро и Т. Леви-Чивита на рубеже 20 в. так называемого тензорного исчисления (См. Тензорное исчисление),которое оказалось наиболее подходящим аналитическим аппаратом для разработки Р. г. Решающее значение имело применение Р. г. в создании А. Эйнштейном общей теории относительности, которое было триумфом не только абстрактной геометрии, но и идей о связи геометрии и физики, выдвинутых Лобачевским и Риманом. Это привело к бурному развитию Р. г. и её разнообразных обобщений. В настоящее время Р. г. вместе с её обобщениями представляет собой обширную область геометрии, которая продолжает успешно развиваться, причём особое внимание уделяется вопросам глобального характера.

Определение риманова пространства.К строгому определению риманова пространства можно подойти следующим образом. Положение точкиn-мерного многообразия определяетсяnкоординатамиx¹, x²,..., xⁿ. В евклидовомn-мерном пространстве расстояние между любыми двумя точкамиX,Yв надлежаще выбранных координатах выражается формулой

где Δxⁱ— разности координат точекX, Y.Соответственно в римановом пространстве в окрестности каждой точкиАмогут быть введены координатыx¹,..., xⁿтак, что расстояние между точкамиX, Y, близкими кА,выражаются формулой

где ε таково, что X, Y приближаются кА.Отсюда следует, что в произвольных координатах расстояние между близкими точками (xⁱ) и (xⁱ+dxⁱ), или, что то же самое, дифференциал длины дуги кривой, задаётся выражением

(здесь коэффициенты R можно аналитически определить какn-мерное многообразие, в котором в каждой точке задана дифференциальная квадратичная форма

(она называется также метрической формой, или просто метрикой,Rи является по своему определению положительно определённой). Возможность преобразования координат обусловливает то, что одно и то же риманово пространство в разных координатах имеет разные выражения метрической формы, однако её величина (вследствие своего геометрического смысла как квадрата элемента длины дуги) при преобразовании координат отxⁱкдолжна оставаться неизменной:

Это приводит к определённому закону преобразования коэффициентовg_ijкак компонент дважды ковариантного тензора (см. Тензорное исчисление);он называется метрическим тензором риманова пространства.

Каждой точкеАриманова пространстваRсопоставляется так называемое касательное евклидово пространствоE_A,в которое отображается некоторая окрестностьUточкиАтак, что относительное искажение расстояний стремится к нулю при приближении к точкеА.Аналитически это сводится к введению вблизи некоторой точкиA₀пространстваE_Aтаких координат, что в них квадрат линейного элемента E_Aвыражается в точкеA₀такой же формой ds²в точкеА.Т. о., в пренебрежении малыми выше первого порядка окрестность точки в римановом пространстве можно заменять окрестностью точки касательного пространства.

Простейшие понятия римановой геометрии.1) Длина дугиsкривой i = 1, …,n, R определяется как интеграл

вдоль этой кривой (что соответствует как бы измерению длин «малым масштабом», как отметил ещё Риман). Если любые две точки пространстваRсоединимы кривой, тоRстановится метрическим пространством (См. Метрическое пространство):расстояние ρ(Х, Y) между двумя точками определяется как точная нижняя грань длин кривых, соединяющих эти точки, и называется внутренней метрикой риманова пространстваR.

2) Угол между двумя исходящими из одной точкиАкривыми определяется как угол между касательными векторами к кривым в точкеА.

3) ОбъёмVn-мерной областиGриманова пространства определяется по формуле:

Геодезические.Линии, которые в достаточно малых областях являются кратчайшими из всех кривых с теми же концами, называются геодезическими, они играют роль прямых в римановом пространствеR.По определению, они являются экстремалями функционала

(см. Вариационное исчисление) и удовлетворяют уравнениям:

где Гⁱ_jk— так называемые Кристоффеля символы, выражающиеся через компоненты метрического тензораg_ijи их первые производные. Через каждую точку риманова пространства в любом направлении проходит геодезическая; любые две точкиА, Вдостаточно малой области можно соединить кратчайшей [длина её будет равна внутреннему расстоянию ρ(А, В) между этими точками], и притом единственной, однако единственность может нарушаться, если точки достаточно удалены друг от друга (например, полюсы сферы соединимы бесконечным множеством дуг больших кругов, являющихся кратчайшими).

Представляет интерес (для описания периодических движений в механической задаче многих тел, например) оценка числа ν замкнутых геодезических пространстваR; эта задача (поставленная Ж. А. Пуанкарев 1905 в связи с некоторыми вопросами небесной механики), несмотря на усилия многих математиков, ещё далека от завершения, наилучший результат: ν ≥ 2, еслиRодносвязно.

Соприкасающееся пространство.Между римановым пространствомRи касательным к нему евклидовым пространством в окрестностиUнекоторой точкиАможно установить такое соответствие, при котором оба пространства будут совпадать с точностью до малых выше второго порядка. Для этого проводят из точкиАгеодезические во всех направлениях и каждой из них в касательном пространстве сопоставляют луч соответствующего направления, а затем устанавливают такое соответствие этих лучей и геодезических, при котором длины дуг геодезическихbсоответствующих им лучей равны. В достаточно малой окрестности такое соответствие будет взаимно однозначным; если ввести в касательном пространстве декартовы координатыx¹,..., xⁿи приписать их значения соответствующим точкам окрестностиU,то между линейными элементамиdsриманова иds_oевклидова пространств будет такая связь:

i= 1, …,n.

откуда следует, что разностьds — ds_oимеет порядок не ниже, чем

Евклидово пространство, поставленное в такое соответствие с римановым, и называется соприкасающимся (в отличие от обычного касательного пространства). Добиться более высокого порядка совпадения за счёт специального выбора соответствия между римановым и евклидовым пространствами в общем случае уже невозможно. Поэтому коэффициентыR_mlkiхарактеризуют отличие риманова пространства от евклидова; они являются компонентами так называемого тензора кривизны (или тензора Римана — Кристоффеля), определяемого по формуле

лишь черезg_ik,и их производные до второго порядка.

Тождественное обращение в нуль тензора кривизны необходимо и достаточно для того, чтобы пространство в окрестности каждой точки совпадало с евклидовым (в целом оно может отличаться от него своим строением, подобно тому как боковая поверхность цилиндра отличается от плоскости).

Параллельное перенесение.Для всякой гладкой кривойLриманова пространства существует отображение её окрестностиU_Lв евклидово пространствоE_Lпри котором оно оказывается соприкасающимся во всех точках кривойL.Образ кривойLв пространствеE_Lназывается развёрткойL'этой кривой на евклидово пространство (для поверхностиFв евклидовом пространстве соприкасающееся евклидово пространство вдоль кривойLможно интерпретировать как развёрнутую на плоскость огибающую семейства плоскостей, касательных кFвдольL). Вектор (и любой тензор) параллельно переносится вдоль кривойL,если параллельно переносится соответствующий вектор (тензор) в евклидовом пространствеE_L,соприкасающемся с римановым вдоль этой кривой. Аналитически параллельное перенесение вектора αⁱвдоль кривойxⁱ=xⁱ(t) определяется дифференциальным уравнением

Если А в точкуВзависит, как правило, от кривойAB,вдоль которой происходит перенесение, — в этом отсутствии «абсолютного параллелизма» наглядно проявляется отличие риманова пространства от евклидова.

Геодезическая кривизна(первая кривизна) кривойLв точкеМоценивает её отклонение от геодезическойL₀,касающейсяLв точкеМ,и определяется следующим образом. Пусть касательный вектор кLв точкеМпараллельно перенесён в точкуM'и образует там угол φ с касательной кLв точкеМ,пустьs— длина дугиMM'кривойL.При стремленииM'кМсуществует предел

который и называется геодезической кривизной кривойLв точкеМ.Аналитически геодезическая кривизна кривойx^I=xⁱ(s), параметризованной длиной дуги, определяется формулами:

где

таким образом, геодезическая кривизна кривойLсовпадает с (первой) кривизной (См. Кривизна)её развёрткиL,а геодезические линии во всех точках имеют нулевую геодезическую кривизну.

Для кривойLв римановом пространствеRопределяются также вторая и т.д. кривизны и имеют место соотношения, аналогичные обычным формулам Френе (см. Дифференциальная геометрия) для кривых евклидова пространства.

Риманова кривизна.ПустьМ —точка риманова пространства,F —двумерная поверхностьxⁱ=xⁱ(u,υ),проходящая черезМ, L —простой замкнутый контур наF,проходящий черезМ,σ—площадь участка поверхности, ограниченного контуромL.Пусть произвольный векторaⁱ,касательный к поверхностиF(т. е. линейно выражающийся через векторы , перенесен параллельно поL.

Тогда составляющая перенесённого вектора, касательная кF,окажется повёрнутой по отношению кaⁱна угол φ (положительное направление отсчёта углов должно совпадать с направлением обходаL). При стягиванииLв точкуМсуществует предел

называется кривизной риманова пространства (римановой кривизной) в данной точке в направлении двумерной поверхности;Кзависит не от поверхности, а лишь от её направления в точкеМ,т. е. от направления двумерной плоскости касательного евклидова пространства, содержащей векторы

Риманова кривизнаКсвязана с тензором кривизны формулой:

где

причём параметрыu,υ выбраны так, что площадь параллелограмма, построенного на векторах

В двумерном случаеКсовпадает с полной кривизной (Theorema egregium К. Ф. Гаусса, 1827), при этом для областиG, ограниченной простой замкнутой кривой Г, имеющей геодезическую кривизну κ, справедлива так называемая формула Гаусса-Бонне:

в частности, для треугольника, образованного отрезками геодезических

гдеА, В,С— величины углов треугольника. Для замкнутого (т. е. без границы) двумерного риманова пространстваRего эйлерова характеристикаχ(R) пропорциональна интегралу римановой кривизны:

Эта формула обобщена на случай чётно-мерного замкнутого риманова пространства, в котором интегрируется некоторая функция компонент тензора кривизны.

Если в каждой точке риманова пространства кривизна не зависит от направления двумерной поверхности, то она не меняется и от точки к точке, т. е. пространство имеет постоянную кривизну. Представляют интерес также (в частности, для описания механических систем с циклическими координатами) римановы пространства со специальной структурой тензора кривизны; они суть обобщение пространств постоянной кривизны и имеют достаточно обширную группу движений. Таковы, например, симметрические пространства, характеризующиеся тем, что их тензор кривизны не меняется при параллельном перенесении, субпроективные пространства, характеризующиеся специальной координатной системой, в которой геодезические описываются линейными уравнениями, и др.

Риманова кривизна играет важную роль в геометрических приложениях Р. г., тем более, что на всяком многообразии можно ввести некоторую риманову метрику. Так, например, топологическое строение полных римановых пространств (т. е. пространств, в которых всякая геодезическая бесконечно продолжаема) зависит от свойств его кривизны: всякое полное односвязноеn-мерное риманово пространство гомеоморфноn-мерному евклидову пространству, если его кривизна во всех точках и по всем направлениям неположительна и гомеоморфнаn-мерной сфере единичного радиуса, если его кривизнаКудовлетворяет неравенствам R зависит и его диаметрd —точная верхняя грань расстояний между точкамиR,определяемых внутренней метрикойR:например, еслиК≥K_o>0,тоd,если же,тоR —сфера радиуса

Метрическая связность.Параллельное перенесение вдоль кривойLс концамиА, Взадаёт изометричное (т. е. сохраняющее расстояния) преобразование τ_iкасательного пространстваE_Aв точкеАв касательное пространствоE_Bв точкеА.Дифференциал преобразования τ_iв точкеА,т. е. главная линейная часть изменения τ_i; при переходе изА(xi)в близкую точку xⁱ+dxⁱ),определяет некоторый геометрический объект, называется римановой связностью, ассоциированной с данным параллельным перенесением. Аналитически эта связность выражается системой линейных дифференциальных форм

i,j, …,n.

Однако в римановом пространствеRможно определить и другие связности, такие, что ассоциированные с ними параллельные перенесения также сохраняют метрический тензор; они называются метрическими связностями и определяются аналогичными коэффициентами j,kи не выражающимися (подобно символам Кристоффеля) только через тензорg_ijи его производные. Отличие метрической связности от римановой оценивается так называемым тензором кручения:

геометрический смысл которого иллюстрируется следующим образом. Рассмотрим в двумерном римановом пространстве метрической связности малый треугольник, образованный отрезками геодезических длиныа, b, си угламиА, В, С.Тогда главная часть проекции кручения в точкеАна сторонуABравна отношению величиныс — acosB — bcosAк площади треугольника, а главная часть проекции кручения на перпендикуляр кAB —величинеasinB — bsinA,деленной на площадь треугольника. Т. о., в римановом пространстве нулевого кручения имеют место теоремы косинусов и синусов обыкновенной тригонометрии с точностью до величин, малых в сравнении с площадью треугольника.

Кривые, касательный вектор к которым переносится вдоль них параллельно, называются геодезическими соответствующей связности; они совпадают с римановыми геодезическими, если тензор

кососимметричен по всем индексам.

Подпространства.Наm-мерном подмногообразииМриманова пространстваR,задаваемом уравнениямиxⁱ=xⁱ(u¹,..., u^m),причём ранг матрицы m, имеет место Р. г., определяемая метрическим тензором

Мназывается римановым подпространством пространстваR.

Достаточно малая областьm-мерного риманова пространстваRможет быть погружена в евклидово пространство достаточно большой размерностиN(т. е. допускает сохраняющее длины отображение на подмногообразие этого пространства). Известно, что N в общем случае ещё не решен, однако если коэффициенты метрической формыg_ijпространстваRявляются аналитическими функциями (т. е. разлагаются в сходящиеся степенные ряды), то

Наиболее подробно исследованы погружения двумерных римановых пространств. Так, например: 1) двумерное полное риманово пространство положительной кривизныК.погружается в виде замкнутой выпуклой поверхности (овалоида) в трёхмерное риманово пространство кривизны не меньшейК[проблема Г. Вейля (См. Вейль)(1916), решенная немецким математиком Х. Леви (1937) и А. Д. Александровым(1941) для погружения в евклидово пространство и А. В. Погореловым (1957) для риманова пространства], причём любые два погружения, имеющие общую точку и общее соприкасающееся пространство в ней, совпадают [т. е. овалоид однозначно определён своей метрикой, немецкий математик С. Э. Кон-Фоссен (1927), А. В. Погорелов (1948)]. 2) Двумерное полное риманово пространство отрицательной кривизныK≤K_o<0 не допускает погружения в виде регулярной поверхности [советский математик Н. В. Ефимов (1963), частный случай плоскости Лобачевского (К=—1) разобран Д. Гильбертом (1901)]. 3) Двумерное риманово пространство, гомеоморфное тору, допускает погружение в четырёхмерное евклидово пространство [советский математик Э. Г. Позняк (1973)].

Приложения и обобщения римановой геометрии.1) Поскольку Р. г. определяется заданием дважды ковариантного симметричного тензора, постольку всякую физическую задачу, сводящуюся к изучению такого тензорного поля, можно формулировать как задачу Р. г. В частности, к тензорным полям такого типа относятся различные физические величины, характеризующие упругие, оптические, термодинамические, диэлектрические, пьезомагнитные и другие свойства анизотропных тел. При этом симметрия коэффициентовg_ijявляется отражением одного из фундаментальных физических законов — закона взаимности. Так, задача о теплопроводности анизотропного тела, решенная ещё Риманом (1861), явилась первым приложением Р. г.

2) Рассмотрение конфигурационного пространства в механике системы сnстепенями свободы позволило представить в ясной геометрической форме ряд механических задач. Так, например, траектории свободного (т. е. в отсутствии обобщённых сил) движения голономной механической системы с кинетической энергией

где — обобщённые скорости, являются геодезическими соответствующегоn-мерного риманова пространства с метрическим тензоромg_ij.О некоторых других фактах упоминалось выше. Аналогичную интерпретацию получает и движение в поле сил, имеющих потенциал (см. Герца принцип).

3) В приложениях Р. г. к механике и физике важную роль играют дополнительные структуры, согласующиеся в том или ином смысле с метрикой риманова пространства. Так, например:

а) Физическим представлениям об упругой сплошной среде с непрерывным распределением источников внутренних напряжений соответствует риманово пространство с некоторой метрической связностью: параллельное перенесение, соответствующее ей, определяет так называемое естественное состояние среды вдоль кривой, а кручение отождествляется с плотностью Дислокации;

б) римановы пространства с почти комплексной структурой (определяется полем один раз ковариантного и один раз контравариантного тензора

где Кронекера символ) используются квантовой механикой для описания наблюдаемых и состояний систем многих частиц;

в) привлечение понятия так называемой конформной связности, т. е. связности риманова пространства, при которой результат параллельного перенесения метрического тензораg_ijпропорционален ему самому, позволило смоделировать некоторые из так называемых Бора постулатов (См. Бора постулаты),в частности избранные (или «разрешенные») орбиты движения электронов в атоме — кривые, вдоль которых метрический тензор сохраняется.

4) Развитие Р. г. в связи с общей теорией относительности (см. Тяготение)и механикой сплошных сред породило различные обобщения её предмета, главнейшими из которых являются так называемые псевдоримановы пространства. Таково, например, согласно теории тяготения, многообразие событий (многообразие пространства — времени) — четырёхмерное пространство с заданной на нём знаконеопределённой невырожденной квадратичной формой

(коэффициенты такой «метрики», допускающей мнимые расстояния, как раз и характеризуют поле тяготения, играя роль потенциальных функций). Эта форма в каждой точке пространства событий может быть приведена к виду

dσ²=dx²+dy²+dz²— dt²

гдех, у, z —пространственные координаты,t —время. Физически такие, так называемые локально галилеевы, системы отсчёта являются свободно падающими в поле тяготения. Однако ввести такую систему на всём многообразии невозможно (поскольку наличие поля тяготения математически выражается в кривизне псевдориманова пространства).

Другой путь обобщения Р. г. связан с рассмотрением более общих законов определения расстояний, задаваемых в виде линейного элементаds(см. Финслерова геометрия),и более общих законов параллельного перенесения (См. Параллельное перенесение),а также с отказом от требований регулярности.

Лит.:Риман Б., Соч., пер. с нем., М. — Л., 1948; Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Эйзенхарт Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948; Схоутен Я. А., Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965; Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971.

А. Д. Александров, Ю. Ф. Борисов.

риманова геометрия—РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ многомерное обобщение геометрии на поверхности представляющее собой теорию римановых пространств т. е. таких пространств где в малых областях приближнн...Большая советская энциклопедия
риманова геометрия—многомерное обобщение геометрии на поверхности т. е.геометрии мерного пространства. Изучает свойства многомерныхпространств в малых областях которых имеет место с точност...Большой энциклопедический словарь II
риманова геометрия—РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ многомерное обобщение геометрии на поверхности т. е. геометрии мерного пространства. Изучает свойства многомерных пространств в малых областях которых ...Большой энциклопедический словарь III
риманова геометрия—РИМАНОВА геометрия многомерное обобщение геометрии на поверхности т. е. геометрии мерного пространства. Изучает свойства многомерных пространств в малых областях которых...Большой Энциклопедический словарь V
риманова геометрия—многомерное обобщение геометрии на поверхности т. е. геометрии мерного пространства. Изучает свойства многомерных пространств. в малых областях крых имеет место с точност...Естествознание. Энциклопедический словарь
риманова геометрия—теория риманова пространства. Р и м а н о в ы м п р о с т р а н с т в о м наз. nмерное связное дифференцируемое многообразие М пsubi на кром задано дифференцируемое поле ...Математическая энциклопедия
риманова геометрия—риманды геометрия...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
риманова геометрия—gomtrie riemannienne...Политехнический русско-французский словарь
риманова геометрия—Riemann geometry...Русско-английский словарь по физике
риманова геометрия—Riemann geometry...Русско-английский словарь по электронике
риманова геометрия—Riemannian geometry...Русско-английский технический словарь
риманова геометрия—geometria di Riemann riemanniana...Русско-итальянский политехнический словарь
риманова геометрия—Riemannsche Geometrie...Русско-немецкий политехнический словарь
риманова геометрия—Б. Грин Математический формализм описания искривленных пространств любой размерности. Играет центральную роль в эйнштейновском описании пространствавремени в общей теории...Словарь современной физики из книг Грина и Хокинга
риманова геометрия—РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ многомерное обобщение геометрии на поверхности т. е. геометрии мерного пространства. Изучает свойства многомерных пространств в малых областях которых ...Современный энциклопедический словарь
риманова геометрия—геометрия риманова пространства.i Осн. метрическим тензором gijsub.Скалярное произведениеi касательных векторов вточке хi определяется флой . Это позволяет определить дли...Физическая энциклопедия
риманова геометрия—РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ многомерное обобщение геометрии на поверхности т. е. геометрии мерного пространства. Изучает свойства многомерных пространств в малых областях которых...Энциклопедический словарь естествознания