Физическая энциклопедия

ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ


1) в гидромеханике — ур-ния движения жидкости (газа) в переменных Лагранжа, к-рыми являются координаты ч-ц среды. Получены франц. учёным Ж. Лагранжем (J. Lagrange; ок. 1780). Из Л. у. определяется закон движения ч-ц среды в виде зависимостей координат от времени, а по ним находятся траектории, скорости и ускорения ч-ц. Обычно этот путь исследования оказывается достаточно сложным, и при решении большинства гидромеханич. задач используют Эйлера уравнения гидромеханики. Л. у. применяют гл. обр. при изучении колебат. движений жидкости.
Л. у. являются ур-ниями в частных производных и имеют вид:
где t — время, х, у, z — координаты ч-цы, a1, а2, а3 — параметры, к-рыми отличаются ч-цы друг от друга (напр., начальные координаты ч-ц), X, Y, Z — проекции объёмных сил, р — давление, r — плотность.
Решение конкретных задач сводится к тому, чтобы, зная X, Y, Z, а также начальные и граничные условия, найти х, у, z, р, r как функции t и a1, a2, a3. При этом надо использовать ещё неразрывности уравнение (тоже в переменных Лагранжа) и ур-ние состояния в виде r=f(р) (для несжимаемой жидкости r=const).
2) В общей механике — ур-ния, применяемые для изучения движения механич. системы, в к-рых за величины, определяющие положение системы, выбирают независимые между собой параметры, наз.обобщёнными координатами. Получены Ж. Лагранжем в 1760.
Движение механич. системы можно изучать, используя или непосредственно ур-ния, к-рые даёт 2-й закон динамики, или получаемые как следствия из законов динамики общие теоремы (см. ДИНАМИКА). В первом случае необходимо решать большое число ур-ний, зависящее от числа точек и тел, входящих в систему; кроме того, эти ур-ния содержат дополнит. неизвестные в виде реакций наложенных связей (см. СВЯЗИ МЕХАНИЧЕСКИЕ). Всё это приводит к большим матем. трудностям. Второй путь требует применения каждый раз разных теорем и для сложных систем приводит в итоге к тем же трудностям.
Л. у. дают для широкого класса механич. систем единый и достаточно простой метод составления ур-ний движения. Большое преимущество Л. у. состоит в том, что число их равно числу степеней свободы системы и не зависит от кол-ва входящих в систему точек и тел. Напр., машины и механизмы состоят из многих тел (деталей), а имеют обычно одну-две степени свободы; следовательно, изучение их движения потребует составления лишь одного-двух Л. у. Кроме того, при идеальных связях из Л. у. автоматически исключаются все неизвестные реакции связей. По этим причинам Л. у. широко используются при решении мн. задач механики, в частности в динамике машин и механизмов, в теории колебаний, теории гироскопа. В случае, когда на систему действуют только потенциальные силы, Л. у. приводятся к виду, позволяющему использовать их (при соответствующем обобщении понятий) не только в механике, но и в др. областях физики.
Для голономных систем Л. у. в общем случае имеют вид:
(d/dt)(дT/дq'i)-дT/дT/qi=Qi (i=1, 2, 3,...n) (1)
где qi — обобщённые координаты, число к-рых равно числу n степеней свободы системы, q'i — обобщённые скорости, Qi — обобщённые силы, Т — кннетич. энергия системы, выраженная через qi и q'i.
Для составления ур-ний (1) надо найти выражение Т (qi, q'i,t) и определить по заданным силам Qi. После подстановки Т в левые части ур-ния (1) будут содержать координаты qi и их первые и вторые производные по времени, т. е. будут дифф. ур-ниями 2-го порядка относительно qi. Интегрируя эти ур-ния и определяя постоянные интегрирования по начальным или краевым условиям, находят зависимости qi(t), т.
Когда на систему действуют только потенц. силы, Л. у. принимают вид:
(d/dt)(дL/дq'i)-дL/дqi=0 (i=1, 2,...,n) (2)
где L= Т -П — т. н. Лагранжа функция, а П — потенц. энергия системы. Эти ур-ния используются и в др. областях физики — электродинамике, статистич. физике и др.
Ур-ния (1) и (2) наз. ещё Л. у. 2-го рода. Кроме них, есть Л. у. 1-го рода, имеющие вид обычных ур-ний в декартовых координатах, но содержащие вместо реакций связей пропорциональные им неопределённые множители. Особыми преимуществами эти ур-ния не обладают и используются редко, гл. обр. для отыскания реакций связей, когда закон движения системы найден другим путём, напр. с помощью ур-ний (1) или (2).

Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1983.

ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ

гидромеханики - дифференциальные ур-ния движения частиц несжимаемой идеальной жидкости в переменных Лагранжа (см.Гидроаэромеханика),имеющие вид

гдеt -время,х, у, z -координаты частицы жидкости, a1, а2,а3-параметры, с помощью к-рых отличают частицы среды друг от друга (этими параметрами могут быть значения координатх0, у0,z0в нек-рый момент времениt0), X, У,Z -проекции объёмных сил,р -давление,- плотность. Получены Ж. Лагранжем (J. Lagrange) ок. 1780.

Решение общей задачи гидромеханики в переменных Лагранжа сводится к тому, чтобы, знаяX, У, Z, атакже начальные и граничные условия, определитьх, у, z, р,как ф-ции времени и параметровal,a2,a3.Для решения этой задачи необходимо к ур-ниям (1) присоединить ур-ние неразрывности, имеющее в переменных Лагранжа вид и ур-ние состояния =f(р) для баротропного движения или = const для несжимаемой жидкости. Если зависимостих, у, zот al, a2,a3, tнайдены, то траектории, скорости и ускорения частиц определяются обычными методами кинематики точки.


Обычно при решении задач гидромеханики пользуютсяЭйлера уравнениями.Л. у. применяются гл. обр. при изучении нестационарных движений, в частности колебат. движений жидкости, в нек-рых вопросах теории турбулентности.

Лит.см. при ст.Гидроаэромеханика. С. М. Таре.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.


  1. лагранжа уравнения—strong в гидромеханике уравнения движения жид кой среды записанные в переменных Лагранжа которыми являются координаты частиц среды. Из Л. у. определяется закон движения ...Большая Советская энциклопедия II
  2. лагранжа уравнения—механики обыкновенные дифференциальные уравнения го порядка описывающие движения механич. систем под действием приложенных к ним сил. Л. у. установлены Ж. Лагранжем [] в...Математическая энциклопедия
  3. лагранжа уравнения—Лагранжа уравнения в аэро и гидродинамике по имени Ж. Л. Лагранжа система трх уравнений выражающая закон сохранения импульсов см. Сохранения законы при движении идеально...Энциклопедия «Авиация» (1998)
  4. лагранжа уравнения—Лагранжа уравнения в аэро и гидродинамике по имени Ж. Л. Лагранжа система трх уравнений выражающая закон сохранения импульсов см.em Сохранения законы при движении идеаль...Энциклопедия техники