Физическая энциклопедия

ИНВАРИАНТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

-вид интегрирования для ф-ций, аргументом к-рых являются элементыгруппыили точки однородного пространства (любую точку такого пространства можно перевести в другую заданным действием группы). И. и. согласовано с действием группы: значение интеграла не меняется при заменах переменных, отвечающих этому действию, а якобиан замены равен 1.И. и.- стандартный приём для построенияфункционального интеграла,служащего эфф. средством изучения калибровочных полей, разл. моделей квантовой теории поля. пространство аргументовXявляетсямногообразием(т. е. допускает введение локальных координатx1,...,хп),И. и. функцииf(x)сводится к вычислению интеграла отдифференциальной формы f.w, где ; явная ф-ла для r(х)приводится ниже. Условие согласования имеет вид
;
здесьTgозначает оператор сдвига наX спомощью gОG:Tgf(x)=f(g-1x).Пусть X=G - топология, группа, действующая на себе левыми сдвигами. И. и. существует тогда и только тогда, когда G локально компактна (в частности, на бесконечномерных группах И. и. не существует). Для подмножества И.и. характеристич. ф-ции cA(равной 1 наAи 0 внеА)задаёт левую меру Xаара m(A). Определяющим свойством этой меры является её инвариантность при левых сдвигах: m(g-1A)=m(А)для всех gОG. Левая мера Хаара на группе определена однозначно с точностью до положит, скалярного множителя. Если известна мера Хаара m, то И. и. ф-цииfдаётся ф-лой . Аналогичными свойствами обладает правая мера Хаара. Существует непрерывный гомоморфизм (отображение, сохраняющее групповое свойство) DGгруппы G в группу (относительно умножения) положит. чисел, для к-рого

гдеdmrиdmi-правая и левая меры Хаара. Ф-цию DG(g) наз. модулем группы G. Если , то группа G наз. унимодулярной; в этом случае правая и левая меры Хаара совпадают. Компактные, полупростые и нильпотентные (в частности, коммутативные) группы унимодулярны. Если G - n-мерная группа Ли и q1, ...,qn- базис в пространстве левоинвариантных 1-форм на G, то левая мера Хаара наGзадаётся n-формой. В локальных координатахдля вычисления

форм qiможно воспользоваться любой матричной реализацией группы G: матричная 1-формаg-1dgлевоинвариантна, а её коэф. являются левоинва-риантными скалярными 1-формами, из к-рых и выбирается искомый базис. Напр., полная матричная группаGL(n, R)унимодулярна и мера Хаара на ней задаётся формой.X=G/H -однородное пространство, для к-рого локально компактная группа G является группой преобразований, а замкнутая подгруппаН -стабилизатором нeк-рой точки. Для того чтобы наXсуществовало И. и., необходимо и достаточно, чтобы для всехhОHвыполнялось равенство DG(h)=DH(h). В частности, это верно в случае, когдаНкомпактна или полупроста. Функциональный интеграл, Винеровский функциональный интеграл, Калибровочные поля.Лит.:Вейль А., Интегрирование в топологических группах и его применения, пер. с франц., М., 1950; Кириллов А. А., Элементы теории представлений, 2 изд., М., 1978; Славное А. А., Фаддеев Л. Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей, 2 изд., М., 1988.А. А. Кириллов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.


  1. инвариантное интегрирование—на группе интегрирование функций на топологич. группе обладающее некрым определенным свойством инвариантности относительно групповых операций. А именно пусть G локально ...Математическая энциклопедия
  2. инвариантное интегрирование—invariant integration...Русско-английский словарь по физике
  3. инвариантное интегрирование—invariant integration...Русско-английский технический словарь