Математическая энциклопедия

ИНВАРИАНТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

на группе - интегрирование функций на топологич. группе, обладающее нек-рым определенным свойством инвариантности относительно групповых операций. А именно, пусть G- локально компактная топологич. группа,C0(G)- векторное пространство всех непрерывных финитных (с компактными носителями) комплексно-значных функций на G, I - интеграл наC0(G),т. е. линейный положительный при функционал наC0(G).Интеграл I наз. левоинвариантным (правоинварнантным), если I(gf)=If(соответственно I(fg)= If)для всех здесь

Интеграл I наз. двусторонне инвариантным, если он одновременно лево- и правоинвариантен.

Отображение где определяет взаимно однозначное соответствие между классами левоинвариантных и правоинвариантных интегралов вС0(G).Если то интеграл Iназ. инверсионно инвариантным.

На всякой локально компактной группе Gсуществует ненулевой левоинвариантныи интеграл, единственный с точностью до числового множителя (теорема Хаара - Неймана - Вейля). Этот интеграл наз. левым интегралом Хаара.Имеет место равенство где а D - непрерывный гомоморфизм группы Gв мультипликативную группу положительных действительных чисел (положительный характер). При этом Характер D наз. модулем группыG.Если D(g)=l, то группа Gназ. ун и модулярной. В этом случае I является двусторонне инвариантным интегралом.

В частности, унимодулярна всякая компактная группа (причем ) и всякая дискретная группа (причем ).

Согласно теореме Рисе а, всякий интеграл на С0(G) является интегралом Лебега по нек-рой борелевскоймереm, определяемой однозначно в классе регулярных борелевских мер, конечных на каждом компактном подмножестве Лево- (право-) инвариантная мера m,отвечающая левому (правому) интегралу Хаара в C0(G), наз. левой (правой)Хаара меройнаG.

Пусть Н- замкнутая подгруппа вG,m0- модуль группыН.Если Допродолжается до непрерывного положительного характера группыG,то на левом однородном пространствеX=G/Hсуществует относительно инвариантный интеграл J, т. е. положительный функционал на пространстве С0(X)непрерывных финитных функций наX,удовлетворяющий тождеству для всех здесь

D - модуль группыG.Этот интеграл определяется по правилу где I - левый интеграл Хаара на - функция на Gтакая, что

(I0- левый интеграл Хаара наН,а jH- сужение функции j на подгруппу Н).Это определение корректно, поскольку является отображениемС0(G)наС0(Х)иJf=0 при f=0. С И. и. тесно связано понятиеинвариантного среднего.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара. Свертка и представления, пер. с франц., М., 1970; [2] Вейль А., Интегрирование в топологических группах и его применения, пер. с франц., М., 1950; [3] Люмис Л., Введение в абстрактный гармонический анализ, пер. с англ., М., 1956; [4] Хьюитт Э., Росс К., Абстрактный гармонический анализ, т. 1, пер. с англ., М., 1975.

Д. П. Желобенко.


  1. инвариантное интегрирование—invariant integration...Русско-английский словарь по физике
  2. инвариантное интегрирование—invariant integration...Русско-английский технический словарь
  3. инвариантное интегрирование—вид интегрирования для фций аргументом крых являются элементы группыi или точки однородного пространства любую точку такого пространства можно перевести в другую заданным...Физическая энциклопедия