Энциклопедия эпистемологии и философии науки

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

ЛОГИКА СИМВОЛИЧЕСКАЯ,математическая логика, теоретическая логика — область логики, в которой логические выводы исследуются посредством логических исчислений на основе строгого символического языка. Термин «Л. с.» был, по-видимому, впервые применен Дж. Венном в 1880.

Уже Аристотель широко применял буквенные обозначения для переменных в своих логических работах. Идея построения универсального языка для всей математики и формализации на базе такого языка математических доказательств, и вообще, любых рассуждений, выдвигалась в 17 в. Г. Лейбницем. Однако только к середине 19 в. стало очевидным, что существующая логическая парадигма, а именно аристотелевская силлогистика, уже не отвечает требованиям развития современной науки.

С работ Дж. Буля 1847 и 1854 начался новый этап развития логики под названием «алгебра логики». С др. стороны, возникновение и развитие Л. с. связано с работами Г. Фреге, который впервые в 1879 представил свод логических законов в виде исчисления. Кроме того, для логики предикатов Фреге дает строгое определение понятия «доказательства», которое является общепринятым и по сей день.

Основы современной логической символики были разработаны итал. математиком Дж. Пеано, чьи интересы, как и интересы Фреге, концентрировались вокруг оснований математики и развития формально-логического языка. Логическая запись Пеано была принята, хотя и частично модифицирована, А.Н. Уайтхедом и Б. Расселом в их знаменитой трехтомной «Principia Mathematica» (1910—1913), а затем одобрена и Д. Гильбертом.

Создание логического языка и с его помощью таких объектов, как логические исчисления, строго формализующие различные теории в виде некоторого конечного списка аксиом и правил вывода, означало, что в науке 19 в.возникла потребность в Л. с. В первую очередь, развитие Л. с. было вызвано потребностями математики, ставившей проблемы, для решения которых средства традиционной логики были непригодны. Одной из таких проблем была недоказуемость 5-го постулата Евклида в геометрии. Только с развитием Л. с. появился аппарат, позволяющий решать проблему логической независимости аксиом данной теории. Суть проблемы состоит в установлении того, что некоторая аксиома теории не доказуема из остальных.

Основным стимулом развития Л. с. в начале 20 в. была проблема оснований математики, особенно после того, как в теории множеств были обнаружены различные парадоксы. Ответом на парадоксы стало возникновение четырех направлений в основаниях математики:логицизма, интуиционизма, формализма(программа Гильберта) и теретико-множественногоплатонизмав виде аксиоматической теории множеств ZF. В каждом из этих случаев потребовалось развитие и применение технического аппарата Л. с. В первую очередь, это относится к программе Гильберта (начиная с 1904 ), где была поставлена главная задача: найти строгое основание для математики посредством доказательства ее непротиворечивости. Для этого потребовалось развить теорию доказательств (см.Доказательств теория).

Однако вывод К. Геделя о неполноте арифметики — сделанный в 1931 и утверждающий, что если теорияS,содержащая арифметику, непротиворечива, то доказательство непротиворечивости теории не может быть проведено средствами самой теории S — убедительно показал, что программа Гильберта невыполнима. Обширным полем деятельности для современной Л. с. является теория рекурсии, которая, в первую очередь, имеет дело с проблемой разрешимости: доказуема или нет формулаАиз некоторого множества посылок. Эти исследования привели к теориям вычислимости, к созданию компьютерных программ автоматического поиска доказательств. Решение проблемы разрешимости (см.Разрешения проблема)явилось основным стимулом для создания теории алгорифмов. Только после уточнения понятия алгорифма выяснилось, что в хорошо известных разделах математики существуют алгоритмически неразрешимые проблемы (А.А. Марков, Э. Пост, П.С. Новиков).

И, наконец, важное место в современной Л. с. занимает теория моделей (см.Моделей теория),которая изучает модели формальных теорий, соотношения между моделями и теориями и преобразования моделей.

Развитие современной логики показывает, что терм и н «Л. с.» гораздо шире термина «Математическая логик а», г д е изучаются только те типы рассуждений, которыми пользуются математики. Символизация и представление различных логических теорий в виде исчислений стало обычным делом, и поэтому строго разделить современные логические исследования на относящиеся к Л. с. и не относящиеся к ней порой просто невозможно.

Л. с. является рефлексивной наукой. Это означает, что она применяет свои методы и логические средства для анализа и понимания своей собственной структуры. В первую очередь, это результаты Геделя о неполноте. Оказалось, что неполнота арифметики принципиальна, т.е. подобные теории нельзя пополнить, чтобы доказать их непротиворечивость. Итог этой рефлексии имеет далеко идущие последствия, ибо встает вопрос о самом статусе математики: не основывается ли она на глубоко скрытых противоречиях? Кроме того, в настоящее время идет оживленная дискуссия, вызванная результатом Геделя. Многие ученые, в том числе и с мировым именем(Пенроуз Р.Тени разума. В поисках науки о сознании. М.— Ижевск, 2003), пришли к выводу, что деятельность человеческого разума является невычислимым процессом, и поэтому моделирование его на компьютерном устройстве в принципе невозможно.

Рефлексия чистой логики над собой достигла к концу 20 в. критической точки и поставила вопрос о статусе уже самой логики, о том, что такое логика. Дело в том, что, в отличие от математики, рефлексия чистой логики континуально размножилась. Сейчас мы имеем континуумы различных классов логик. О единстве Л. с. не может быть и речи — столь удивительными и неожиданными свойствами и моделями обладают некоторые представители неклассических логик. Встает вопрос об иерархии, о взаимоотношениях и классификации всех эти логик. В 1936 создана Международная Ассоциация Символической Логики. В том же году начал издаваться самый известный журнал по логике: «The Journal of Symbolic Logic».

А. С. Карпенко

Лит.:Гильберт Д., Аккерман В.О сновы теоретической логики. М., 1947;Гильберт Д., Бернайс П.Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. М., 1979;Гильберт Д., Бернайс П.Основания математики: Теория доказательств. М., 1 9 8 2;Ершов ЮЛ., Палютин Е.А.Математическая логика М., 1979;КарриХ.Б.Основания математической логики. М., 1969;Клини С.К.Введение в метаматематику. М., 1957;Клини С.К.Математическая логика. М., 1973;Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г.Математическая логика. М., 2004;Марков А.А.Элементы математической логики. М., 1984;Мендельсон Э.Введение в математическую логику. М., 1984 (3-е изд.);Новиков П.С.Элементы математической логики. М., 1973; Справочная книга по математической логике. Т. 1 — 4. М., 1982—1983;Copi I.M.Symbolic Logic. Prentice Hall, 1979 (5th ed.); From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879 — 1931. Cambridge, 1967;Klerk V.Understanding Symbolic Logic. Prentice Hall, 1994; П-Bibliography of Mathematical Logic. Vols. I—VI. В., 1987.

Синонимы:

логистика

математическая логика—МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА логи ка развиваемая математич. методом. Характерным для М. л. является использование формальных языков с точным синтаксисом и чткой семантикой одноз...Большая советская энциклопедия
математическая логика—логика развиваемая математическим методом. Характерным для М. л. является использование формальных языков с точным синтаксисом и чткой семантикой однозначно определяющими...Большая Советская энциклопедия II
математическая логика—дедуктивная логика включающая математическиеметоды исследования способов рассуждений выводов математическая теориядедуктивных способов рассуждений. Математической логикой...Большой энциклопедический словарь II
математическая логика—МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА дедуктивная логика включающая математические методы исследования способов рассуждений выводов математическая теория дедуктивных способов рассуждений...Большой энциклопедический словарь III
математическая логика—МАТЕМАТИЧЕСКАЯ логика дедуктивная логика включающая математические методы исследования способов рассуждений выводов математическая теория дедуктивных способов рассуждени...Большой Энциклопедический словарь V
математическая логика—дедуктивная логика включающая матем. методы иссл. способов рассуждений выводов математическая теория дедуктивных способов рассуждений. М. л. наз. также логику крой пользу...Естествознание. Энциклопедический словарь
математическая логика—теоретическая логика символическая логика раздел математики посвященный изучению математич. доказательств и вопросов оснований математики. Исторический очерк. Идея постр...Математическая энциклопедия
математическая логика—МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКАstrong символическая логика аналитический раздел логики результат применения математических методов к проблемам классической логики. Рассматривает по...Научно-технический энциклопедический словарь
математическая логика—МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА один из ведущих разделов современной логики и математики. Сформировался в ст. как реализация идеи о возможности записать все исходные допущения на...Новейший философский словарь
математическая логика—математикалы логика...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
математическая логика—logique fu mathmatique...Политехнический русско-французский словарь
математическая логика—математична логка...Російсько-український словник логіки
математическая логика—исследование мышления с помощью исчислений и формализованных языков mathematical logic...Русско-английский машиностроительный словарь
математическая логика—mathematical logic...Русско-английский морской словарь
математическая логика—mathematical logic logic logic theory mathematical logic логистика...Русско-английский политехнический словарь
математическая логика—symbolic logic logistics...Русско-английский психологический словарь
математическая логика—mathematical logic логистика...Русско-английский словарь по машиностроению
математическая логика—mathematics of logic...Русско-английский словарь по электронике
математическая логика—mathematical logic логистика...Русско-английский технический словарь
математическая логика—logistics...Русско-английский толковый словарь терминов по информатике
математическая логика—матэматычная логка...Русско-белорусский математический словарь
математическая логика—logica matematica...Русско-итальянский политехнический словарь
математическая логика—математикалы логика...Русско-казахский терминологический словарь «Философия и политология»
математическая логика—SymbolLogik...Русско-немецкий политехнический словарь
математическая логика—математична логка Синонимы логистика...Русско-украинский политехнический словарь
математическая логика—matematick logika...Русско-чешский словарь
математическая логика—одно из названий современной формальной логики пришедшей во второй половине XIX начале XX в. на смену традиционной логике. В качестве другого названия современного этапа...Словарь логики
математическая логика—МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА одно из названий современной формальной логики пришедшей во второй половине XIX начале XX в. на смену традиционной логикеi. iВ качестве другого на...Словарь по логике
математическая логика—математическая логика сущ. колво синонимов логистика Словарь синонимов ASIS.В.Н. Тришин. . Синонимы логистика...Словарь синонимов II
математическая логика—МАТЕМАТИЧЕСКАЯ логика дедуктивная логика использующая математические методы исследования способов рассуждений выводов математическая теория дедуктивных способов рассужден...Современная энциклопедия
математическая логика—МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА дедуктивная логика включающая математические методы исследования способов рассуждений выводов математическая теория дедуктивных способов рассуждений...Современный энциклопедический словарь
математическая логика—современная математическая модель формальной логики как науки о правильном рассуждении. По меткому выражению русского логика Порецкого математическая логика суть логика п...Философия науки
математическая логика—МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА одно из названий современной логики пришедшей во втор. пол. нач. в. на смену традиционной логике. В качестве др. названия современного этапа в р...Философская энциклопедия
математическая логика—логика развившаяся в точную науку применяющую математич. методы или согласно П. С. Порецкому логика по предмету математика по методам. Идея построения М. л. высказывалась...Философская Энциклопедия (в 5 томах)
математическая логика—область знания края сложилась в результате применения в логике формальных методов математики и логического исследования математических рассуждений и доказательств. В М. л...Философский энциклопедический словарь
математическая логика—МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА дедуктивная логика включающая математические методы исследования способов рассуждений выводов математическая теория дедуктивных способов рассуждени...Энциклопедический словарь естествознания
математическая логика—МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА Ее еще называют символической логикой. М. л. это та же самая Аристотелева силлогистическая логика но только громоздкие словесные выводы заменены в ...Энциклопедия культурологии