Энциклопедический словарь

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Интегральное исчисление — в сочинении Архимеда "Об измерении длины окружности" рассматривается вопрос об определении площади и длины окружности круга, а в трактате "О шаре и цилиндре" — о поверхностях и объемах тел, ограниченных кривыми поверхностями; эти вопросы представляют первые геометрические задачи, относящиеся к И. исчислению. И в настоящее время основной задачей И. исчисления является нахождение площадей криволинейных фигур. Под площадью криволинейной фигурыS(черт. 1) разумеется предел, к которому стремится площадь вписанного в фигуру многоугольника по мере увеличения числа его сторон, причем эти стороны могут быть сделаны меньше всякого заранее заданного произвольно малого числа. Черт. 1. Указанная задача решается при помощи И. исчисления, если криволинейный контур фигурыSзадан уравнением, как это делается в аналитической геометрии (см. Аналитическая геометрия и Дифференциальное исчисление). Пусть уравнение заданной кривойS(черт. 2) естьy = f(x).Черт. 2. Определим площадьРoМoМnРn,образованную отрезком осиx-овPoPn, двумя ординатамиMoРоиМnРnи дугойМоМnкривойS. Ясно, что нахождение площади всякой криволинейной фигуры может быть сведено к нахождению площадей такого вида (т. е. ограниченным тремя прямыми и дугой кривой). Проведем между крайними ординатамиМоPоиМnРnп-1ординатМ1Р1,М2P2..., соответствующих точкам деленияР1,Р2.... отрезка осиРoРn. Эти точки выберем произвольно, с тем лишь ограничением, чтобы по мере увеличения числапнаибольший из отрезков был бесконечно мал (напр. точкиР1, Р2.... можно выбрать на равных расстояниях друг от друга). Предполагая, как это имеет место на черт. 2, что ординаты кривой во все время при переходе отMoкMnвозрастают, легко видеть, что криволинейная площадь фигурыSбудет заключаться между следующими двумя суммами:Sn= f(xo)(x1— xo) + f(x1)(х2— х1)+.... +f(xn-1)(xn—xn-1)иS‘n= f(x1)(х1— хo) + f(x2)(х2— х1)+... +f(xn)(xn—xn-1)гдеxо=ОРo, х1= ОР1,x2=ОР2.....xn=ОРnaf(xo)=MoPo, f(x1)=М1Р1, f(x2)=М2P2.......f (хn)=МnРn. Из чертежа очевидно, чтоSn<S<S‘n. Для обратного случая, т. е. когда ординаты кривой уменьшаются при переходе отMoкMn, рассуждение будет то же самое, только последнее неравенство изменит знак, т. е. будет:Sn>S>S‘n. Докажем, что разностьS‘n—Snпри возрастании числаnможет быть сделана как угодно мала. Вычитая на самом деле, имеем:S‘n— Sn=[f(x1)—f(xo)](x1—xо)+ [f(x2)—f(x1)](x2— x1)+....+ [f(xn)—f(xn-1)](xn— xn-1). Вследствие непрерывности функцииf(x)в границах рассматриваемой площади числопможно подобрать настолько большим, что все разностиf(x1) — f(xo), f(x2) — f(x1)....f(xn) — f(xn-1)выйдут меньше ε, где ε произвольно малое число. ТогдаS‘п— Sn<ε(x1— xо)+ ε(x2— x1)+ ... + ε(xn— xn-1)т. е.S‘n—Sn< ε(xn— xo)а произведение ε(xn— xo)из конечного числа на бесконечно малое ε, очевидно, есть величина бесконечно малая. Отсюда следует, чтоSможно рассматривать как пределSnпри возрастаниип, так чтоS =пред. {f(xo)(x1— xo) + f(x1)(x2— x1)+... +f(xn-1)(xn— xn-1)} приn= ∞. Введем означения:x1— xo=Δxo,x2— x1=Δх1....хn—xn-1= Δxn-1, тогдаS= пред. {f(xo)Δxo+ f(x1)Δx1+.... +f(xn-1)Δxn-1} приn= ∞ или корочеS= пред. ∑f(x)∙ Δx. Этот предел называетсяопределенным интегралом,взятым отf(х)между границам иxoиxn; для него употребляют особый знак: Функцияf(x)называетсяподынтегральной,а значкиx0иxnпределами: xo—нижним,аxn—верхнимпределами. Знак ∫ произошел от буквы S, выражающей сумму элементовf(x)∙dx;название же интеграл произошло от латинского слова integer — целый. Знак ∫ введен Лейбницем и долгое время его употребляли без означения пределов; указание пределов введено Фурье. Пример. Вычислить площадь,ограниченную осьюх-ов (черт. 3) между началом координат и точкой, имеющею абсциссуа, между дугой параболыОМ,уравнение которой естьу=х2, и ординатойMa.Черт. 3. Разобьем основаниеОанаnравных частейa/n=h; тогда площадьОМабудет пределом суммы ∑х2h = оh + h2h+ (2h)2h+... +((n-1)h)2h=h3(1 + 22+...+(n-1)2)= [a3/n3]∙[(n-1)n(2n-1)/6] или ∑x2h= [a3/3][1 — 3/2n+ 1/2n2]. При увеличенииnдо ∞ получим пред. ∑x2h=A3/3 так что Зная, чтоaM=a2, заключаем, что площадь криволинейной фигурыОМаравна одной трети площади прямоугольникаОКМа. Необходимо заметить, что определение интеграла как предела суммы дает возможность вычислить его с любой степенью точности. Для этой цели можно поступать так: разобьем промежутокхn—xо(черт. 2) наnравных частейx1, x2, x3,....хn— 1, хn; тогдаx1=xо+h,x2=xо+ 2h,.....xn=xо+nh;отсюда:Sn=h{f(xo)+f(x1)+... +f(xn-1)}S‘n=h{f(x1)+f(x2)+... +f(xn)} Вычитая, получимS‘n—Sn=h{f(xn) — f(xo)} Подбираяnнастолько большим, чтобыhвышло меньшеk/[f(xn) — f(xo)], получимS‘n— Sn<kи, следовательно, определенный интегралSбудет отличаться отSnменьше, чем на величинуk.Отсюда вычислить интеграл с точностьюkзначит вычислить соответствующую суммуSn. Здесь указана, конечно, только возможность вычисления определенного интеграла с данной степенью точности. В настоящее время в математике известны различные приемы для приближенного вычисления интегралов (площадей), более удобные, чем прием, получаемый непосредственно из определения интеграла как предела суммы. Приемы эти, принадлежащие Симпсону, Котесу, Эйлеру, Гауссу, Чебышеву, Эрмиту и др., известны под названиемформул квадратур,откуда название квадратур дается и самим интегралам, так что, если говорят, что вопрос решается в квадратурах, это значит, что искомую величину можно выразить при помощи интегралов от некоторых функций. Из вышеприведенного примера видно, что вычисление определенного интеграла равносильно задаче вычисления площади некоторого криволинейного контура. Оказывается, что вычисление определенного интеграла от любой функции может быть приведено к одной общей задаче, основной в И. исчислении, а именно кинтегрированию функций.Эта задача формулируется так: дана функцияf(x);найти новую функциюF (x),называемую первообразной (неопределенный интеграл), так, чтобыF‘(x)=f(x),т. е. чтобы заданная функция была производной от искомой. В самом деле, рассмотрим площадьАВРМ(черт. 4), ограниченную отрезком осих-овВР, дугой, заданной кривойAM,ординатойABнекоторой определенной точкиА, от которой отсчитываются дуги по кривойAM,и переменной ординатойМР, соответствующей некоторой точкеMкривой линии, не указывая, которой именно. Черт. 4. Положение переменной ординатыМР,конечно, зависит от абсциссых=ОРточкиМ.Поэтому и площадьS = ABPMесть некоторая функция отх; означим ее черезF(x).Посмотрим, чему равна производная этой функции. Приращение ΔS =ΔF(x)есть не что иное, как площадьМPР1М1,гдеРР1= Δx. Если в сопредельности с точкойMфункция возрастает, как это имеет место на чертеже, тоPMN1P1< ΔS<РN2M1Р1. Если бы в сопредельности с точкойMфункция убывала, то можно написать такое же неравенство, но с обратным знаком. Вводя предыдущие обозначения и видя, чтоРМ=f(x),aP1M1=f(x+ Δx), имеем:f(x)Δx <ΔF(x) < f(x +Δx)Δx.Разделяя все части этого неравенства на Δx, получимf(x) <ΔF(x)/Δx < f(x +Δx);откуда в пределе: пред. {ΔF(x)/Δx} =F‘(x)=f(x). Итак, нахождение определенных интегралов сводится к поставленной выше задаче. Очевидно, эта задача неопределенная, потому что существует бесчисленное множество функций, имеющих ту же самую производную. Все эти функции отличаются друг от друга на числа постоянные, так как производная от постоянного числа равна нулю. Если, например, обозначить черезF(х)одну из бесчисленного множества функций, имеющих производной заданную функциюf(x),то другие функции будутF(x)+ 1, F(x)+2,F(x)+ π и т. д., вообще говоря,F(x)+С, гдеС— некоторое постоянное число, не зависящее отх. ФункцияF(x)+С, заключающая неопределенную постояннуюС, называется поэтомунеопределенным интеграломи обозначается так: ∫f(x)∙dx = F(x) + C.Что в выражение площади должна входить некоторая произвольная постоянная, ясно из геометрических соображений, ибо площади можно отсчитывать от совершенно произвольной ординатыAB(черт. 4). Выбору некоторой ординаты за начальную будет соответствовать аналитическое указание постоянного числаС.Положим, что за начальную ординату счета площадей выбрана ордината, соответствующая некоторому числуа; тогда, если конечную ординату площади означить черезхи положить, чтох>а, то площадь выразится некоторым числом. По мере приближения ординатыхк начальнойаплощадь будет уменьшаться, так что прих=аона обратится в нуль. Согласно тому, что уже сказано о пределах определенного интеграла, рассматриваемая площадь может быть обозначена интегралом: Рассматривая верхний пределхкак переменную величину, легко видеть, что этот интеграл равенF(x)+Со,гдеСоподобрано так, что этот интеграл (площадь) обращается в нуль прих=а; отсюдаF(a)+ Co=0иСо=-F(a); так что Этот интеграл назывался Эйлером integrale quod evanescit positox=a, так как Эйлер не употреблял еще знаков пределов. Отсюда ясно, что всякийопределенный интегралот функцииf (х)между пределамиaиbможет быть вычислен по формуле гдеF(x)совершенно произвольное значениенеопределенного интеграла.Это значит, что заF(x)нужно взять совершенно произвольную из числа функций, имеющих заданную производную. Сказанное, впрочем, очевидно, потому что если означить через Ф(х) другое значение неопределенного интеграла, то получается Ф(х)= F(х) + С; подставляя вместоx,aиbполучим Ф(a) =F(а)+СФ(b) =F(b)+Соткуда Ф(b) — Ф(а) =F(b)—F(а)и, следовательно, можно взять другое значение неопределенного интеграла Ф(х), так что рассматриваемый определенный интеграл можно вычислить по формуле Независимость определенного интеграла от той функции из числа первообразных, которую мы выбираем, следует и из того, что площадь между двумя определенными ординатами не зависит от положения третьей ординаты, принятой за начало счета площадей. — И. исчисление разделяется на следующие большие отделы: I.Интегрирование функций.Здесь излагаются приемы для нахождения по заданной функции ее первообразной, другими словами — нахождение неопределенного интеграла от заданной функции. — Прежде всего необходимо заметить, что знаки дифференцирования и интегрирования друг друга уничтожают, т. е.d∫f(x)∙dx = f(x)∙dxи ∫df(x) = f(x) + C.Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла, т. е. ∫a∙f(x)∙dx=a∫f(x)∙dx; это очевидно как из определения интеграла как предела суммы, так и из понятия о интеграле, как о функции первообразной. Аналогичная теорема существует и в дифференциальном исчислении. В статье Дифференциальное исчисление (см.) помещена табличка производных и дифференциалов простейших функций. Обращение ее дает основную табличку и для интегрирования функций. Возьмем, например, формулу для дифференциала степени:d(xa) = a.xa-1∙dx.Взяв интегралы обеих частей, или, как говорят,интегрируя обе части этого уравнения,получим: ∫d(xa) = ∫a∙xa-1∙dx = a∫xa-1dxоткудаxa+ C = a∫xa-1∙dxт. е.∫xa-1∙dx=xa/a+Спри замененииачереза+ 1 эта же формула представится так:∫xa∙dx=xa+1/(a+ 1) + C. Эта формула не имеет места приа= -1, но тогда на основании формулы (8) упомянутой таблички получим:∫dx/x =lgx+CПрименяя подобные же рассуждения ко всем прочим формулам таблички дифференциалов простейших функций, получимтабличку основных формул интегрирования простейших функций:1)∫xa∙dx=xa+1/(a+ 1) +C2) ∫dx/x =lgx+C3)∫exdx = ex+ C4)∫ax∙dx = ax/lga + C5)∫sinx∙dx = -cosx + С6)∫cosx∙dx= sinx + С7) ∫dx/cos2x= tgx+C8) ∫dx/(1 —x2)1/2= arcsinx+C9) ∫dx/(1 +x2) = arctgx+CИз этой таблички видно, что интегралы от весьма простых алгебраических функций ∫dx/x, ∫dx/[√(1 —x2)1/2] и ∫dx/(1 +x2) выражаются трансцендентными функциями: lgx, arcsinxи arctgx. Изыскивая же правила для интегрирования более сложных функций, уже первые исследователи в области И. исчисления заметили, что только интегралы немногих функций вообще представляются в конечном виде; для огромного же большинства функций их первообразные представляют новые виды функций, изучение которых и составляет обширное и еще мало разработанное поле исследований. К числу таких новых трансцендентных принадлежат так называемыеэллиптические интегралы,теория которых в настоящее время уже хорошо разработана и получила большие приложения. Интегрирование же функций более сложных состоит пока из отдельных попыток, причем рядом преобразований стремятся свести интегрирование рассматриваемой функции к интегрированию функций, помещенных в табличке простейших. Эта часть И. исчисления доставила, однако, весьма важные результаты; так, например, известно, что интеграл от всякой рациональной функции выражается в конечном виде, т. е. при помощи конечного числа знаков функций, встречающихся уже в элементарной математике. Из числа иррациональных функций заслуживает особенного внимания случай, когда иррациональность подынтегральной функции состоит или из дробных степеней переменного независимого, или же представляет квадратный корень из многочлена, степени не выше второй. В этих случаях интегрирование также совершается в конечном виде. Известны, наконец, некоторые интегрируемые классы функций трансцендентных. К числу упомянутых выше основных преобразований относятся: 1) разложение интеграла на части по формуле:∫(u + v -w)dx = ∫u∙dx + ∫v∙dx — ∫w∙dx... (I) 2) введение новой переменной, по формулам:x=φ(t) dx =φ ‘(t)∙dt... (II) откуда∫f(x)dx = ∫f[ φ(t)]∙ φ ‘(t)∙dtи 3) интегрирование по частям по формуле:∫u∙dv=u∙v—∫v∙du... (III)II.Теория определенных и кратных интегралов.Сюда относятся исследования и нахождения определенных интегралов в тех случаях, когда неопределенный интеграл весьма трудно или вовсе нельзя выразить через известные функции, а потому тут излагаются приемы, дающие возможность вычислять определенные интегралы не пользуясь основной формулой (*); здесь также обобщается понятие об определенном интеграле на случай нескольких независимых переменных.III. Геометрические приложения интегрального исчисления.В этом отделе рассматриваются четыре основные задачи: 1) квадратура площадей, ограниченных кривыми линиями, 2) вычисление длин дуг кривых линий, 3) вычисление объемов (кубатура) тел, ограниченных кривыми поверхностями, и 4) вычисление площадей криволинейных поверхностей в некоторых контурах, проведенных на этих поверхностях. Чтобы дать понятие о геометрических приложениях И. исчисления, а равно о кратных интегралах, рассмотрим задачу об определении объема тел, ограниченных кривыми поверхностями. Такой объемU(черт. 5) можно рассматривать как сумму параллелепипедов, составленных приращениями координат Δx, Δуи Δz, распространенную на все пространство, ограниченное заданной поверхностью. Черт. 5. Отсюда общая формула для объема будет:U= пред. ∑Δx. Δу. ΔzЭтот предел обозначается тройным интеграломU= ∫∫∫dx.dy.dzкоторый представляет, следовательно, общую формулу для нахождения каких угодно объемов. Вся задача состоит в указании пределов у трех знаков интеграла, так как одно интегрирование (суммирование) производится по буквех, другое по буквеу, а третье по буквеz.Требуется указать пределы таким образом, чтобы при интегрировании были приняты в расчет все элементы, лежащие внутри рассматриваемого криволинейного тела. Полученная выше формула квадратур ∫y.dxможет быть написана также в виде двойного интеграла ∫dx.dy,потому чтоIV. Интегрирование дифференциальных уравнений(см.). Исторический очерк развития И. исчисления см. Математика. Укажем здесь еще классические сочинения и руководства по этому предмету. Полная система интегрального исчисления в том виде, как оно излагается в настоящее время, находится в знаменитом трактате Эйлера "Institutiones calculi integralis" (СПб., 4 тома). Затем укажем на Коши: "Oeuvres compl è tes", Бертрана: "Trait é de calcul différentiel et de calcul intégral" (2 тома), Ceppe: "Cours de calcul diff érentiel et inté gral" (2 тома), Поссе: "Курс интегрального исчисления" (СПб., 1891 г.), и курсы, указанные в конце статьи Дифференциальное исчисление.Д. Граве.


  1. интегральное исчисление—раздел математики в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. И. и. тесно связано с дифференциальным исчислением См. Дифференциальное ис...Большая Советская энциклопедия II
  2. интегральное исчисление—раздел математики в кром изучаются свва и способы вычисления интегралов и их приложения. И. и. возникло из задач определения площадей квадратур объмов кубатур и центров т...Большой энциклопедический политехнический словарь
  3. интегральное исчисление—ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ раздел математики в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения к решению различных математических физических и дру...Большой энциклопедический словарь III
  4. интегральное исчисление—ИНТЕГРАЛЬНОЕ исчисление раздел математики в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения к решению различных математических физических и др...Большой Энциклопедический словарь V
  5. интегральное исчисление—раздел мате матики в кром изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения к решению разл. матем. физ. и др. задач. В систематич. форме И. и. было предл...Естествознание. Энциклопедический словарь
  6. интегральное исчисление—. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ раздел математики в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения к решению различных математических и физических з...Иллюстрированный энциклопедический словарь
  7. интегральное исчисление—раздел математики в кром изучаются понятия интегралаi его свойства и методы вычислений. И. и. непрерывно связано с дифференциальным исчислениемi и составляет вместе с ни...Математическая энциклопедия
  8. интегральное исчисление—ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕstrong см....Научно-технический энциклопедический словарь
  9. интегральное исчисление—calcul intgral...Политехнический русско-французский словарь
  10. интегральное исчисление—мат.em нтегральне числення....Російсько-український словник сталих словосполучень
  11. интегральное исчисление—integral calculus calculus integral calculus...Русско-английский политехнический словарь
  12. интегральное исчисление—integral calculus...Русско-английский словарь по машиностроению
  13. интегральное исчисление—integral calculus...Русско-английский словарь по физике
  14. интегральное исчисление—integral calculus...Русско-английский словарь по электронике
  15. интегральное исчисление—integral calculus...Русско-английский технический словарь
  16. интегральное исчисление—нтэгральнае злчэнне...Русско-белорусский математический словарь
  17. интегральное исчисление—интегральное исчисле...Русско-ивритский словарь
  18. интегральное исчисление—calcolo integrale...Русско-итальянский политехнический словарь
  19. интегральное исчисление—...Русско-китайский словарь
  20. интегральное исчисление—Integralrechnung...Русско-немецкий политехнический словарь
  21. интегральное исчисление—clculo integral...Русско-португальский словарь
  22. интегральное исчисление—нтеральне числення...Русско-украинский политехнический словарь
  23. интегральное исчисление—integrln poet...Русско-чешский словарь
  24. интегральное исчисление—ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ отдел высшей математики учение о действиях противоположных дифференциальному вычислению а именно об определении зависимости между несколькими пер...Словарь иностранных слов русского языка
  25. интегральное исчисление—ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ раздел математики в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения к решению различных математических физических и дру...Современный энциклопедический словарь
  26. интегральное исчисление—ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ раздел математики в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения к решению различных математических физических и др...Энциклопедический словарь естествознания
  27. интегральное исчисление—в сочинении Архимеда Об измерении длины окружности рассматривается вопрос об определении площади и длины окружности круга а в трактате О шаре и цилиндре о поверхностях и...Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона