АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) — аксиомы (См. Аксиома),или Постулаты,из которых все остальные утверждения этой науки (теоремы (См. Теорема)) должны выводиться чисто логическим путём, посредством доказательств (См. Доказательство). Назначение А. м. состоит в ограничении произвола при принятии научных суждений в качестве истин данной теории. Построение науки на основе А. м. обычно называется дедуктивным. Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксированного числа первоначальных) вводятся посредством определений (См. Определение),выражающих (или разъясняющих) их через ранее введённые понятия. В той или иной мере дедуктивные доказательства, характерные для А. м., применяются во многих науках. Но, несмотря на попытки систематического применения А. м. к изложению философии (Б. Спиноза), социологии (Дж. Вико), политической экономии (К. Родбертус-Ягецов), биологии (Дж. Вуджер) и др. наук, главной областью его приложения до сих пор остаются математика и символическая логика, а также некоторые разделы физики (механика, термодинамика, электродинамика и др.).

А. м прошёл в своём историческом развитии 3 стадии. Первая связана с построением геометрии в Древней Греции. Основное сочинение этого периода — «Начала» Евклида (хотя, по-видимому, и до него Пифагор,которому приписывается открытие А.м., а затем Платон и его ученики немало сделали для развития геометрии на основе А. м.). В то время считалось, что в качестве аксиом должны выбираться суждения, истинность которых «самоочевидна», так что истинность теорем считалась гарантированной безупречностью самой логики. Но Евклиду не удалось ограничиться чисто логическими средствами при построении геометрии на основе аксиом. Он охотно прибегал к интуиции в вопросах, касающихся непрерывности, взаимного расположения и равенства геометрических объектов. Впрочем, во времена Евклида такие обращения к интуиции могли и не восприниматься как выход за пределы логики — прежде всего потому, что сама логика не была ещё аксиоматизирована (хотя частичная формализация логики, осуществленная Аристотелем (См. Аристотель) и его последователями, и была некоторым приближением к аксиоматизации). Не было и достаточной отчётливости во введении первоначальных понятий и при определении новых понятий.

Начало второй стадии в истории А. м. связывают обычно с открытием Н. И. Лобачевским (См. Лобачевский),Я.Больяй и К. Ф. Гауссом возможности построить непротиворечивым образом геометрию, исходя из систем аксиом, отличной от евклидовой. Это открытие разрушило убеждение в абсолютной («очевидной» или «априорной») истинности аксиом и основанных на них научных теорий. Теперь аксиомы стали пониматься просто как исходные положения данной теории, вопрос же об их истинности в том или ином смысле (и выбор в качестве аксиом) выходит за рамки аксиоматической теории как таковой и относится к её взаимоотношению с фактами, лежащими вне её. Появилось много (и притом различных) геометрических, арифметических и алгебраических теорий, которые строились средствами А. м. (работы Р. Дедекинда, Г. Грасмана и др.). Эта стадия развития А. м. завершилась созданием аксиоматических систем арифметики (Дж. Пеано, 1891), геометрии (Д. Гильберт,1899), исчисления высказываний и предикатов (А. Н. Уайтхед и Б. Рассел, Англия, 1910) и аксиоматической теории множеств (См. Аксиоматическая теория множеств) (Э. Цермело, 1908).

Гильбертовская аксиоматизация геометрии позволила Ф. Клейну и А. Пуанкаре доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского относительно евклидовой геометрии посредством указания интерпретации (См. Интерпретация) понятий и предложений неевклидовой геометрии в терминах геометрии Евклида, или, как говорят, построения модели (См. Модель) первой средствами второй. Метод моделей (интерпретаций) стал с тех пор важнейшим методом установления относительной непротиворечивости аксиоматических теорий. В то же время со всей отчётливостью выявилось, что, кроме «естественной» интерпретации (т. е. той, ради уточнения и развития которой данная теория строилась), у аксиоматической теории могут быть и др. интерпретации, причём её можно с равным основанием считать «говорящей» о каждой из них.

Последовательное развитие этой идеи и стремление точно описать логические средства вывода теорем из аксиом привели Гильберта к концепции формального А. м., характерной для третьей, современной его стадии. Основная идея Гильберта — полная формализация языка науки, при которой её суждения рассматриваются просто как последовательности знаков (формулы), не имеющие как таковые никакого смысла (который они приобретают лишь при некоторой конкретной интерпретации). Это относится и к аксиомам — как общелогическим, так и специфическим для данной теории. Для вывода теорем из аксиом (и вообще одних формул из других) формулируются специальные правила вывода (например, т. н. правило modus ponens — «правило зачёркивания», позволяющее получитьВизАи «А влечёт В»). Доказательство в такой теории (исчислении (См. Исчисление),или формальной системе (См. Формальная система))—это просто последовательность формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из предыдущих формул последовательности по какому-либо правилу вывода (См. Правило вывода).В отличие от таких формальных доказательств, свойства самой формальной системы в целом обсуждаются — а иногда их удаётся и доказать — содержательными средствами т. н. метатеории (См. Метатеория),т. е. теории, рассматривающей данную («предметную») теорию как предмет изучения. На языке метатеории (метаязыка) формулируются и правила вывода предметной теории. По замыслу Гильберта, в рамках созданной им теории доказательств, т.е. допуская в метатеории только т. н. финитные способы рассуждения (не использующие ссылки ни на какие объекты, не имеющие конечного построения), можно было бы доказать непротиворечивость и полноту всей классической математики (т. е. доказуемость каждой формулы, истинной при некоторой определённой интерпретации). Несмотря на ряд значительных результатов в этом направлении, гильбертовская программа в целом (её обычно называют формализмом) невыполнима, т. к., согласно важнейшему результату К. Гёделя (См. Гёдель)(1931), всякая достаточно богатая непротиворечивая формальная система непременно неполна (т. н. теорема о неполноте). Теорема Гёделя свидетельствует об ограниченности А. м. (хотя определённые расширения допускаемых метатеоретических средств и позволили немецкому математику Г. Генцену, П. С. Новикову и др. математикам получить доказательство непротиворечивости формализованной арифметики).

А. м. подвержен также критике, исходящей из различных семантических (см. Логическая семантика) критериев. Так, интуиционисты (Л. Э. Я. Брауэр, Г. Вейльи др.) не признают обоснованности в применении к бесконечным множествам принципа исключенного третьего (см. Исключённого третьего принцип) между тем этот принцип не только берётся в качестве логической аксиомы в большинстве формальных теорий, но и используется по существу (хотя и неявно) в основных предпосылках гильбертовской программы, согласно которой непротиворечивость теории — достаточное условие её «истинности». Как и интуиционизм, конструктивное направление (См. Конструктивная математика) в математике (в СССР — А. А. Марков и Н. А. Шанин) считает назначением математики изучение не произвольных моделей непротиворечивых формальных систем, а лишь совокупностей объектов, допускающих в определённом смысле эффективное построение.

Ещё более существенные возражения против А. м. выдвигает ультраинтуиционистская критика, ставящая под сомнение единственность натурального ряда чисел и, тем самым, однозначную определённость понятия теоремы формальной системы. Согласно этой критике, А. м. основан на «принципе локальности для доказательств», предполагающем, что если аксиомы истинны и правила вывода сохраняют истинность, то истинными непременно должны быть и теоремы. Т. о., интуитивное обоснование общеупотребительного принципа математической индукции, согласно ультраинтуиционистской критике, содержит неустранимый порочный круг. Ультраинтуиционизм, не ограничиваясь критикой, предлагает и положительную программу преодоления указанных трудностей.

Лит.:Начала Евклида, пер. с греч., [т. 1 — 3], М. — Л., 1948 — 50; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957 (библ.); Новиков П. С., Элементы математической логики, М., 1959: Есенин-Вольпин А. С., Об аксиоматическом методе, «Вопросы философии», 1959, № 7; Садовский В. Н., Аксиоматич. метод построения науч. знания, в кн.: Филос. вопросы совр. формальной логики, М., 1962; Hilbert D., Bernays P., Grundlagen der Mathematik, Bd 1 — 2, В., 1934 — 39.

Ю. А. Гастев, А. С. Есенин-Вольпин.

аксиоматический метод—способ построения научной теории в виде системыаксиом постулатов и правил вывода аксиоматики позволяющих путемлогической дедукции получать утверждения теоремы данной теор...Большой энциклопедический словарь II
аксиоматический метод—АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД способ построения научной теории в виде системы аксиом постулатов и правил вывода аксиоматики позволяющих путем логической дедукции получать утвержд...Большой энциклопедический словарь III
аксиоматический метод—АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД способ построения научной теории в виде системы аксиом постулатов и правил вывода аксиоматики позволяющих путем логической дедукции получать утверж...Большой Энциклопедический словарь V
аксиоматический метод—способ построения теории при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения аксиомы или постулаты из которых все остальные утверждения этой теории должны выво...Глоссарий философских терминов
аксиоматический метод—способ построения науч. теории в виде системы аксиом постулатов и правил вывода аксиоматики позволяющих путм логич. дедукции получать утверждения теоремы данной теории....Естествознание. Энциклопедический словарь
аксиоматический метод—способ построения научной теории при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения называемые аксиомами а все остальные положения теории вспомогательные ...Иллюстрированный энциклопедический словарь
аксиоматический метод—способ организации научного знания при которой ряд утверждений принимается без доказательства а все остальное знание выводится из них по определенным логическим правилам....Исследовательская деятельность
аксиоматический метод—способ построения науч. теории при кром в ее основе лежат некрые исходные положения суждения аксиомы или постулаты из крых все остальные утверждения этой науки теоремы д...История и философия науки. Энциклопедический словарь
аксиоматический метод—способ построения научной теории при кром в основу теории кладутся некрые исходные положения наз. аксиомамиi теории а все остальные предложения теории получаются как логи...Математическая энциклопедия
аксиоматический метод—АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОДstrong метод математических рассуждений основанный на логическом выводе из некоторых утверждений аксиом. Этот метод является одной из основ математич...Научно-технический энциклопедический словарь
аксиоматический метод—метод построения научной теории как системы аксиом постулатов и правил вывода аксиоматики позволяющих путем логической дедукции получать утверждения теоремы данной теории...Начала современного естествознания
аксиоматический метод—АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД греч. axioma значимое принятое положение способ построения теории при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положе...Новейший философский словарь
аксиоматический метод—АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД способ построения научной теории в виде системы аксиом постулатов и правил вывода аксиоматики позволяющих путем логической дедукции получать утвержд...Новый большой англо-русский словарь II
аксиоматический метод—аксоматичний метод...Російсько-український словник логіки
аксиоматический метод—axiomatic method...Русско-английский психологический словарь
аксиоматический метод—postulational method...Русско-английский словарь по машиностроению
аксиоматический метод—axiomatic method...Русско-английский словарь по физике
аксиоматический метод—axiomatic method...Русско-английский технический словарь
аксиоматический метод—аксяматычны метад...Русско-белорусский математический словарь
аксиоматический метод—metodo assiomatico...Русско-итальянский политехнический словарь
аксиоматический метод—аксоматичний метод...Русско-украинский политехнический словарь
аксиоматический метод—Способ исследования состоящий в том что множество элементов или объектов разбивается на части подмножества. Одна часть рассматривается как исходные положения аксиомы пос...Словарь лингвистических терминов Т.В. Жеребило
аксиоматический метод—способ построения научной теории при котором какието положения теории избираются в качестве исходных а все остальные ее положения выводятся из них чисто логическим путем ...Словарь логики
аксиоматический метод—АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД способ построения научной теории при котором какието положения теории избираются в качестве исходных а все остальные ее положения выводятся из них ...Словарь по логике
аксиоматический метод—способ построения научной теории при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения называемые аксиомами а все остальные положения теории вспомогательные ...Словарь по педагогической психологии
аксиоматический метод—способ построения науч. теории при кром в е основу кладутся некрые исходные положения суждения аксиомы или постулаты из крых все остальные утверждения этой теории должны ...Советский философский словарь
аксиоматический метод—АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД способ построения научной теории при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения называемые аксиомами а все остальные положения те...Современная энциклопедия
аксиоматический метод—АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД способ построения научной теории в виде системы аксиом постулатов и правил вывода аксиоматики позволяющих путем логической дедукции получать утвержд...Современный энциклопедический словарь
аксиоматический метод—греч. axioma значимое принятое положение способ построения теории при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положений аксиом из которых з...Социологическая энциклопедия
аксиоматический метод—способ организации научного в особенности теоретического знания сущность которого состоит в выделении среди всего множества истинных высказываний об определенной предметн...Философия науки
аксиоматический метод—способ построения научной теории при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения аксиомы или постулаты из которых все остальные утверждения этой теории долж...Философия науки и техники
аксиоматический метод—от греч. axioma принятое положение способ построения научной теории в качестве ее основы априори принимающий положения из которых все остальные утверждения теории вывод...Философия науки. Эпистемология. Методология. Культура
аксиоматический метод—АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД способ построения науч.em теории при котором в е основу кладутся некоторые исходные положения сужденияem аксиомы или постулаты из которых все остал...Философская энциклопедия
аксиоматический метод—см. Метод аксиоматический....Философская Энциклопедия (в 5 томах)
аксиоматический метод—один из способов дедуктивного построения научных теорий при кром выбирается некрое множество принимаемых без доказательства предложений определенной теории аксиом входя...Философский энциклопедический словарь
аксиоматический метод—способ построения научной теории при котором е основу составляют некоторые исходные положения аксиомы или постулаты из которых логически выводятся все остальные положени...Человек и общество
аксиоматический метод—АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД способ построения научной теории в виде системы аксиом постулатов и правил вывода аксиоматики позволяющих путем логической дедукции получать утверж...Энциклопедический словарь естествознания
аксиоматический метод—. см. МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ. Antinazi.Энциклопедия социологии...Энциклопедия социологии
аксиоматический метод—АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД от греч. axioma принятое положение способ построения научной теории при котором в доказательствах пользуются лишь аксиомами постулатами и ранее вы...Энциклопедия эпистемологии и философии науки