ЯКОВИ МЕТОД
- 1) Я. м. метод приведения квадратичной формы к канонич. виду при помощи треугольного преобразования неизвестных, предложенный К. Якоби (С. Jacobi, 1834) (см. [1]).
Пусть дана билинейная форма
(не обязательно симметрическая) над нек-рым полемР,и пусть матрицаA=||aki||этойформы удовлетворяет следующему условию:
где - минор k-гo порядка, стоящий в ее левом верхнем углу.Тогда форма f может быть записана в таком виде:
где
а приk=2, . . .,п.,
В частности, еслиА -симметрич. матрица и f - квадратичная форма с матрицейА,удовлетворяющая условию (1), то форма f приводится к канонич. виду
при помощи следующего преобразования неизвестных:
приk=2,. . ., п,и
Это преобразование имеет треугольную матрицу и записывается в виде
гдеCki- минор матрицыA,стоящий в строках с номерами 1, 2, . . ., k-, kи столбцах с номерами 1, 2, ..., k-1,i.
Формулы (2) - (7) наз. иногда формулами Якоби.
В случае, когда матрица квадратичной формы f удовлетворяет лить условию
где r - ранг формы, эта форма может быть приведена к каноническому виду
(здесь треугольным преобразованием неизвестных. Приведение можно осуществить при помощи метода Гаусса (см. [1], с. 272-275). В частности, если поле то положительный индекс инерции квадратичной формы f равен числу сохранений знака, а отрицательный индекс инерции - числу перемен знака в ряду чисел
См. такжеИнерции закон.
Лит.:[1]Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 2 изд., М., 1966.
И. В. Проскуряков.
2) Я. м.-простой итерации методдля решения системы линейных алгебраич. уравненийAx=b,в к-ром предварительное преобразование системы к видуx=Bx+gосуществляется по правилу
3) Я. м.-вращений методдля решения полной проблемы собственных значений и собственных векторов эрмитовой матрицы.
Г.Д Ким