ЯКОБИ УСЛОВИЕ

- необходимое условие оптимальности в задачах вариационного исчисления. Я. у. является необходимым условием неотрицательности 2-й вариации минимизируемого функционала в точке его минимума (равенство нулю 1-й вариации функционала
обеспечивается выполнением необходимых условий первого порядка - дифференциальногоЭйлера уравнения, трансверсальности условием,а такжеВейерштрасса условием).
Пусть, напр., поставлена задача минимизации функционала

при ладанных условиях на концах

Если есть решение задачи (1), (2), то 1-я вариация функционала должна быть равна нулю, и отсюда следуют необходимые условия 1-го порядка, а 2-я вариация

должна быть больше или равна нулю при любой кусочно гладкой функции удовлетворяющей нулевым граничным условиям

Уравнение Эйлера для функционала

наз. уравнением Якоби. Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка относительно неизвестной функции
Все коэффициенты в (5) при и вычисляются при значениях соответствующих известному оптимальному решению x(t)и, следовательно, все они являются известными функциями, зависящими от аргументаt.

Функция удовлетворяет уравнению Якоби при граничных условиях (4), то есть является экстремалью функционала С другой стороны, для 2-я вариация и так как для оптимального решения x(t)2-явариация неотрицательна при любых то функция доставляет минимум функционалу Если выполнено условие Лежандра то есть x(t)является неособенной экстремалью, то при начальных условиях решение уравнения Якоби тождественно равно нулю.
Точкаt=сназ. сопряженной с точкойt=a,если существует решение уравнения Якоби, обращающееся в нуль при 2=а и t=с и не равное тождественно нулю между а и с. Согласно необходимому Я. у., если неособенная экстремаль x(t),доставляет минимум функционалу (1), то интервал (t₁, t₂) не содержит точек, сопряженных с t₁.
Практич. смысл Я. у. может быть пояснен следующим образом. Пусть Я. у. не выполняется, т. е. существует точкаа, t₁2, сопряженная с t₁. Тогда можно было бы построить непрерывную функцию

являющуюся решением уравнения (5), для к-рой Таким образом, является ломаной экстремалью функционала с угловой точкой приt=a.По согласно необходимому условию Вейерштрасса - Эрдмана (см.Эйлера уравнение),требующему непрерывности выражений и в угловой точке, приt=aдолжно выполняться равенство что вместе с дает а это противоречит предположению .
Для непосредственной проверки Я. у. следует рассматривать решение уравнения (5), удовлетворяющее начальным условиям

Пусть - это решение. Для того, чтобы точкаt=a,была сопряжена с t₁, необходимо и достаточно, чтобы функция обратилась в нуль приt=a.Таким образом, выполнение Я. у. эквивалентно условию необращения в нуль решения уравнения Якоби на интервале (t₁,t₂).
В более общем случае, когда рассматривается вариационная задача на условный минимум (задача в форме Лагранжа, Майера или Больца), формулировка Я. у. имеет нек-рые особенности. Возникающая здесь задача на минимум 2-й вариации функционала формулируется как задача на условный экстремум (в форме задачи Больца). Эта задача наз. присоединенной задачей, а ее экстремали - присоединенными экстремалями. Дифференциальные условия связи и граничные условия в присоединенной задаче на минимум 2-й вариации получаются в результате варьирования соответствующих условий исходной вариационной задачи. Определение сопряженной точки остается по форме таким же. Для неотрицательности 2-й вариации функционала на классе присоединенных экстремалей, удовлетворяющих присоединенным условиям для концов, должно выполняться Я. у., требующее, чтобы интервал (t_l,t₂)не содержал точек, сопряженных с t₁.
Я. у. установлено К. Якоби (С. Jacobi, 1837).

Лит.:[1] Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. о англ., М., 1950; [2] Лаврентьев М. А., Люстерникc Л.А.,Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.- Л., 1950.
И. Б. Вапнярский.