ЯКОБИ МНОГООБРАЗИЕ
якобиан, алгебраической кривойS -главно поляризованное абелево многообразие сопоставляемое этой кривой. Иногда Я. м. является просто коммутативной алгебраич. группой. Если S- гладкая проективная кривая рода.над полем С или, в классич. терминологии, компактная риманова поверхность родаg,то интегрирование голоморфных 1-форм но 1-циклам на.задает вложение
образ к-рого является решеткой максимального ранга (здесь - пучок голоморфных 1-форм на S).Я. м. кривой Sесть фактормногообразие
В качестве поляризации на нем берется класс когомологий из
соответствующий форме пересечения на Эта поляризация является главной, т. е. Для более явного задания Я. м. обычно берется нек-рый базис в и базис из форм в Эти данные определяют матрицу размера - матрицу периодов римановои поверхности
Тогда где - решетка с базисом, состоящим из столбцов матрицы Базисы и можно выбрать так, что при этом матрицаZ =X+iYсимметрична и Y>0 (см.Абе. ).Класс поляризации представляется формойк-рая в стандартных координатах (z1, . . .,zg)на записывается в виде
Вместо класса когомологий часто рассматривают двойственный к нему эффективный дивизор, обозначаемый той же буквой; он определен однозначно с точностью до сдвига. Геометрич. описание дивизора дается отображением Абеля заданным формулой
где -фиксированная точка. Пусть S(d)естьd-ясимметрич. степень кривой S,т. е. Sdно симметрич. группе (точки многообразия S(d)соответствуют эффективным дивизорам степени dна S). Формула
определяет продолжение отображения Абеля до отображения Тогда
Отношение эквивалентности в S(g)определяемое отображением m, совпадает с рациональной эквивалентностью дивизоров (теорема Абеля). Кроме того, (теорема Якоби об обращении). Сам К. Якоби [1] занимался проблемой обращения в случаеg=2(см. такжеЯкоби проблема обращения).Указанные теоремы определяют изоморфизм где Picg(S) - компонентаПикара группыPic(S).отвечающая дивизорам степениg.Умножение на класс дивизора -gs0приводит к канонич. изоморфизму абелевых многообразий
В случае полной гладкой кривой над произвольным полем Я. м. J(S)определяется какПикара многообразиеPicS.Отображение Абеля сопоставляет точке класс дивизораs-s0, а поляризация определяется дивизором
Значение Я. м. в теории алгебраич. кривых видно из следующейТорелли теоремы:неособая полная кривая однозначно определяется по своему якобиану (с учетом поляризации), см. [5]. Переход от кривой к ее якобиану позволяет лианеризовать ряд нелинейных задач теории кривых. Напр., вопрос об описании специальных дивизоров на S(т. е. эффективных дивизоров D, для к-рых h0(S, О(K-D))>0)по существу переводится на язык особенностей специальных подмногообразий якобиана J(S).Этот перевод основан на теореме Римана - Кэмпфа об особенностях (см. [1], [5]). Одно из следствий теоремы Римана - Кэмпфа состоит в том, что многообразие особых точек дивизора поляризации имеет коразмерность, не превосходящую 4. ато свойство Я. м. является характеристическим, если рассматривать лишь главно поляризованные абелевы многообразия, принадлежащие окрестности якобиана общей кривой. Точнее, если много образие особых точек дивизора поляризации главнополяризованного абелева многообразия Аимеет коразмерность и Ане принадлежит нескольким выделенным компонентам многообразия модулей, то для нек-рой гладкой кривой S(см. [2]).
Другой подход к выделению якобианов среди абелевых многообразий - задание уравнений на значения q-функций и их производных в специальных точках. Отыскание таких уравнений называют проблемой Шоттки.
В случае особой кривой SЯ. м. J(S)называют подгруппу в Pic(S),определяемую дивизорами, имеющими степень 0 по каждой неприводимой компоненте кривой S(она совпадает со связной компонентой единицы в Pic(S)).Если кривая Sзадана модулем тна гладкой моделиN,то J(S)обычно называют обобщенным якобианом кривой N(относительно модуля т) и обозначают черезJm(см. [6]).
Лит.:[1] Jасоbi С. G. J., Gesammelte Werko, Bd 2, В., 1882, S. 5-16, 23-50; [2] Andrеоtti A., Mауеr A., лAnn. Scu. Norm. Super. Pisa