ЯДЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
локально выпуклое пространство,у к-рого все линейные непрерывные отображения в каждое банахово пространство являютсяядерными операторами.Понятие Я. п. возникло [1] при исследовании вопроса о том, для каких пространств справедливы аналоги теоремы Шварца о ядре (см.Ядерная билинейная форма).Основополагающие результаты теории Я. и. принадлежат А. Гротендику [1]. Употребительные в анализе функциональные пространства, как правило, являются банаховыми или Я. п. Важную роль играют Я. п. в спектральном анализе операторов в гильбертовых пространствах (построение оснащенных гильбертовых пространств, разложения по обобщенным собственным векторам и т. п.) (см. [2]). Я. п. тесно связаны с теорией меры на локально выпуклых пространствах (см. [3]). Удается охарактеризовать Я. п. в терминах инвариантов типа размерности (аппроксимативная размерность, диаметральная размерность и др.) (см. [2], [4], [5]). Одним из таких инвариантов является функциональная размерность, к-рая для многих пространств, состоящих из целых аналитич. ф-ций, совпадает с числом переменных, от к-рых зависят эти функции (см. [2]).
По своим свойствам Я. п. приближаются к конечномерным пространствам. Каждое ограниченное множество в Я. п. предкомпактно. Если Я. п. полно (или хотя бы квазиполно, т. е. каждое замкнутое ограниченное множество является полным), то оно полурефлексивно (т. е. второе сопряженное к этому пространству совпадает с ним по запасу элементов) и каждое замкнутое ограниченное множество в нем является компактным. Если квазиполное Я. п. являетсябочечным пространством,то оно является иМонтеля пространством(в частности, рефлексивно); всякая слабо сходящаяся счетная последовательность в таком пространстве сходится и в исходной топологии.Нормированное пространство ядерно тогда и только тогда, когда оно конечномерно. Каждое Я. п. обладает свойством аппроксимации: любой непрерывный линейный оператор в таком пространстве можно приблизить в операторной топологии предкомпактной сходимости операторами конечного ранга (т. е. непрерывными линейными операторами с конечномерными образами). Тем не менее существуют ядерныеФреше пространства,не обладающие свойством ограниченной аппроксимации: в таком пространстве тождественный оператор не является пределом счетной последовательности операторов конечного ранга в сильной или слабой операторной топологии [6]. Построены Я. п. Фреше без базиса Шаудера, причем такие пространства могут иметь сколь угодно малую диаметральную размерность, т. е. в нек-ром смысле могут быть сколь угодно близкими к конечномерным [7]. Для Я. п. построен и контрпример к проблеме инвариантного подпространства: в нек-ром ядерном пространстве Фреше указан непрерывный линейный оператор, не имеющий нетривиальных замкнутых инвариантных подпространств [8].
Примеры Я. п. 1) Пусть - пространство всех (действительных или комплексных) бесконечно дифференцируемых функций на наделенное топологией равномерной сходимости со всеми производными на компактных подмножествах в Сопряженное к пространство состоит из всехобобщённых функцийс компактным носителем. Пусть и - линейные подпространства в состоящие соответственно из функций с компактным носителем и из функций, убывающих при вместе со всеми производными быстрее любой степени |х|-1.Сопряженные к и относительно стандартной топологии пространства и состоят соответственно из всех обобщенных функций и всех обобщенных функций медленного роста. Пространства наделенные сильными топологиями, являются полными рефлексивными Я. п.
2) Пусть {апр}-бесконечная матрица, причемп, р=1,2, .... Пространство таких последовательностей что для всехр,с топологией, задаваемой преднормами наз. пространством Кёте и обозначается Это пространство ядерно тогда и только тогда, когда для любого рнайдется такоеq,что
Свойства наследования. Локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда ядерно его пополнение. Каждое подпространство (отделимое факторпространство) Я. п. ядерно. Прямая сумма, индуктивный предел счетного семейства Я. п., а также произведение, проективный предел любого семейства Я. п.- снова Я. п.
ПустьЕ -произвольное локально выпуклое пространство,Е' -сопряженное пространство кЕ,наделенное сильной топологией. ЕслиЕ' -Я. п., то Еназ. дуально ядерным. ЕслиЕ -произвольное пространство, aF -Я. п., то пространство L(E, F)непрерывных линейных операторов из Ев Fявляется Я. п. относительно сильнойоператорной топологии(простой сходимости); если к тому же Еполурефлексивно и дуально ядерно, то L(E, F)ядерно и втопологии ограниченной сходимости.
Метрические и дуально метрические Я. п. Локально выпуклое пространство Еназ. дуально метрическим или пространством типа если оно имеет счетную фундаментальную систему ограниченных множеств и каждое (сильно) ограниченное счетное объединение равностепенно непрерывных подмножеств вЕ'равностепенно непрерывно. Всякое сильное сопряженное к метризуемому локально выпуклому пространству является дуально метрическим; обратное неверно. ЕслиЕ -пространство типа тоЕ' -пространство типа (пространство Фреше, т. е. полное и метризуемое). Примерами Я. п. типа являются пространства Кёте, а также соответственно - Я. п. типа Пространства и не являются ни метрическими, ни дуально метрическими.
Метрические и дуально метрические Я. п. сепарабельны, а если они полны, то рефлексивны. Переход к сопряженному пространству устанавливает взаимно однозначное соответствие между Я. п. типа и полными Я. п. типа ЕслиЕ -полное Я. п. типа aF -Я. п. типа то пространство операторов L(E, F),наделенное топологией ограниченной сходимости, ядерно и дуально ядерно.
Каждое Я. п. типа изоморфно подпространству пространства бесконечно дифференцируемых функций на прямой, т. е. - универсальное пространство для Я. п. типа (см. [10]). Пространство Фреше Еядерно тогда и только тогда, когда всякий безусловно сходящийся ряд в Есходится абсолютно (т. е. по любой непрерывной преднорме). Интенсивно изучаются пространства голоморфных функций на Я. и. типа и (см. [11]).
Тензорные произведении Я. п. и пространства вектор-функций. Алгебраическое тензорное произведение локально выпуклых пространств Еи Fможно наделить проективной и слабой топологиями, превращающими в топологическое тензорное произведение. Проективная топология - это сильнейшая локально выпуклая топология, для к-рой каноническое билинейное отображение непрерывно. Слабая топология (или топология (би)равностепенно непрерывной сходимости) индуцируется при естественном вложении где -сопряженное пространство кЕ,наделенное топологией Макки а - пространство непрерывных линейных отображений наделенное топологией равномерной сходимости на равностепенно непрерывных множествах вК'.При этом вложении алемент переходит в оператор где <х, х'> -значение функционала на Пополнение в проективной (слабой) топологии обозначается (соответственно
Для того чтобы Ебыло Я. п., необходимо и достаточно, чтобы для произвольного локально выпуклого пространства.проективная и слабая топологии в совпадали, т. е.
Если F совпадает с пространством l1суммируемых последовательностей, тоЕ -Я. п.; вместо l1можно взять любое пространство с безусловным базисом (см. [12]). Тем не менее существует такое (неядерное) бесконечномерное сепарабельное банахово пространствоX,что (см. [13]). Если ЕиF-полные пространства иF -Я. и., то вложение продолжается до изоморфизма между
ЕслиЕ -ненулевое Я. п., то ядерно тогда и только тогда, когда Fядерно. Если ЕиF -оба пространства типа (или иЕ -ядерно, то - пространство типа (соответственно и
Пусть Е- полное Я. п., состоящее из скалярных функций (не всех) на нек-ром множествеТ,причем.является индуктивным пределом (локально выпуклой оболочкой) счетной последовательности пространств типа и топология в Е не слабее топологии поточечной сходимости функций наТ.Тогда для любого полного пространства Fможно отождествить с пространством всех таких отображений (вектор-функций) что скалярные функции принадлежат Едля всех В частности, совпадает с пространством всех бесконечно дифференцируемых вектор-функций на со значениями вF,а
Структура Я. п. ПустьU -выпуклая закругленная окрестность нуля в локально выпуклом пространствеЕ,ар -соответствующий Uфункционал Минковского (непрерывная преднорма),ЕU- факторпространствоЕ/р-1(0)снормой, индуцированной проднормой - пополнение нормированного пространстваЕU.Определено непрерывное каноническое линейное отображение если окрестность Uсодержит окрестность F, то канонически определяется непрерывное линейное отображение
Для локально выпуклого пространства.следующие условия эквивалентны: 1) Еявляется Я. п.; 2) в.существует такой базис выпуклых закругленных окрестностей нуля, что для любой окрестности канонич. отображение является ядерным оператором; 3) отображение ядерно для любой выпуклой закругленной окрестности нуля Uв Е;4) всякая выпуклая закругленная окрестность нуля Uв Есодержит другую такую окрестность нуляV,что ядерно канонич. отображение
ПустьК -Я. и. Для любой окрестности нуля U в Еилюбого такого числа р, что существует выпуклая закругленная окрестность для к-ройEV(понорме) изоморфно подпространству в пространствеlpсуммируемых со степенью рпоследовательностей. Таким образом, Есовпадает с локально выпуклым ядром (индуктивным пределом) семейства пространств, изоморфныхlp.В частности (случай р=2) в любом Я. п. Есуществует такой базис окрестностей нуля что все пространства гильбертовы; таким образом,Е -мультигильбертово пространство, т. е. топология в Еможет быть порождена семейством преднорм, каждая из к-рых получается из нек-рой неотрицательно определенной эрмитовой формы на Любое полное Я. п. изоморфно проективному пределу семейства гильбертовых пространств. Пространство Етипа ядерно тогда и только тогда, когда его можно представить в виде такого проективного предела счетного семейства гильбертовых пространствНп.чтоgmn-ядерные операторы (или хотя быГильберта-Щмидта oператoры)приm
Пусть Е- Я. п. тина Топологию в Еможно задать счетной системой преднорм , р=1, 2, .. ., причем для всех Если в Есуществует базис или непрерывная норма, то преднормы можно считать нормами. Пусть {еn} - базис в Е;тогда любой элемент разлагается в сходящийся (абсолютно и безусловно) ряд
где координаты имеют вид а функционалы образуют биортогональный базис вЕ'.Пространство Еизоморфно пространству Кётe где при этом изоморфизме элемент переходит в последовательность своих координат Базис {fn} в Еэквивалентен базису {еn},т. е. получается из него под действием изоморфизма тогда и только тогда, когда пространства Кёте и совпадают как множества [4]. Базис {fn} наз. регулярным (пли правильным), если существует система норм и перестановка индексов такие, что монотонно убывает при всех
Если Я. п. Етипа имеет регулярный базис, то любые два базиса в Еквазиэквивалентны (т. Пример. Функции Эрмита образуют базис в полном метрич. Я. п. быстро убывающих вместо со всеми производными гладких функций на прямой. Пространство изоморфно пространству Кёте
Лит.:[1] Gruthtnidieck A., Produils tensoriels topologiques et espaces nucleaires, Providence, 1955; [2] Гольфанд И. М., Виленкин Н. Я., Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, М., 1961; [3] Минлос Р. А., лТр. Моск. матем. об-ва
- ядерное пространство—ядравая прастора...Русско-белорусский математический словарь