ШТИФEЛЯ ЧИСЛО

-характеристическое числозамкнутого многообразия, принимающее значения вычетов по модулю 2. Пусть - произвольный стабильный характеристич. класс,М -замкнутое многообразие. Вычет по модулю 2, определяемый равенством наз. числом Штифеля (или Штифеля - Уитни) многообразияМ,соответствующим классух.Здесь -касательное расслоение многообразияМ,а - фундаментальный класс. Для многообразий размерности n Ш. ч. зависят лишь от однородной компоненты степени пклассах.Группа изоморфна векторному пространству над полем с базисом, находящимся во взаимно однозначном соответствии с множеством всех разбиенийw={i₁, .....i_k}числап,т. е. наборов (i₁, .....i_k) целых неотрицательных чисел с i₁+ .....+i_k= n.В качестве базиса группы естественно взять классы Поэтому с точки зрения характеризации многообразия его Ш. ч. достаточно рассматривать классы где -разбиение размерности многообразия.
Бордантные многообразия имеют одинаковые Ш. ч., так что каждый характеристич. класс хопределяет гомоморфизм где -группа классов бордантных неориентированных многообразий размерностип.Если для двух замкнутых многообразийМ, Nимеет место равенство при всех разбиениях числа то многообразия Ми N бордантны (теорема Тома).
ПустьА-векторное пространство над полем Пусть -базис в пространствеА,дуальный базису пространства здесь -разбиения числа n; и пусть отображение определено формулой

Отображение мономорфно и для полного описания группы в терминах Ш. ч. нужно найти его образ. Эта проблема аналогична проблеме Милнора - Хирцебруха дляЧжэня классов.Для замкнутого многообразия Мпусть т. н. класс By, к-рый однозначно определен равенством имеющим место при всех Тогда где -касательное расслоение к М(теорема By).
Из этой теоремы видно, что класс By может быть определен как нек-рый характеристич. класс: пусть

где -полный Штнфеля-Уитни класс, а -когомологич. операция, обратная к полномуСтинрода квадрату Sq.Пусть - произвольный характеристич. класс. Тогда, для любого замкнутого многообразия числа и совпадают. Таким образом, для того чтобы элемент лежал в образе отображения необходимо, чтобы для всех имело место равенство Для гомоморфизма тогда и только тогда существует такое многообразиеМ^п,что.[М^п]=а(х)при всех когда при всех (теорема Дольда).Лит.см. при статьеШтифеля-Уитни класс.

А. Ф. Харшиладзе.