ШВАРЦА АЛЬТЕРНИРУЮЩИЙ МЕТОД
один из общих методов решенияДирихле задачи,позволяющий получить решение задачи Дирихле для дифференциального уравнения эллиптич. типа в областяхD,представимых в виде объединения конечного числа областейDi,для к-рых решение задачи Дирихле уже известно. Работы Г. Шварца (1869; см. [1]) и ряд последующих работ других авторов были посвящены Ш. а. м. решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в плоских областях. Сущность III. а. м. применительно к простейшему случаю уравнения Лапласа в объединении двух плоских областей заключается в следующем.
Пусть АиВ -две области на плоскости, имеющие непустое пересечение и такие, что решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа для каждой из них известно; напр., если.иВ -круги, то решение задачи Дирихле для каждого из них дается интегралом Пуассона. Пусть, далее,D -объединение областей.иВ,для к-рого требуется найти решение задачи Дирихле (см. рис.). Через обозначена граница областиА,через - части границы попавшие в В(они входят в D).а через - оставшиеся части, так что Аналогично - граница областиВ,- ее части, попавшие вA(они тоже входят в D),- оставшиеся части, то есть Тогда граница области Dможет быть представлена в виде
Пусть теперь на задана непрерывная функция / и пусть требуется найти гармонич.функцию wвD,непрерывную в замкнутой области и принимающую на значения функции f. Сужение функции f на продолжается непрерывно на всю границу и для этих граничных значений находится решение u1задачи Дирихле вА .Значения и1на вместе со значениями f на образуют теперь непрерывную функцию на для к-рой находится решение v1задачи Дирихле вВ.Далее, решение и2задачи Дирихле в Астроится по значениям функции f на и функции v1на и т. д. Искомая функция имеет вид
Применение ограниченных решений задачи Дирихле для кусочно непрерывных граничных данных позволяет полагать, не заботясь о непрерывном продолжении f, значения равными нулю на оставшихся частях границ.
Метод, аналогичный Ш. а. м. (см. [2]), может быть применен к отысканию решения задачи Дирихле в пересечении двух областей Aи В, если ее решения для Аи Визвестны.
Ш. а. м. используется и при решении краевых задач более общей природы для общих уравнений эллиптич. типа (в том числе и порядка выше второго), подчиненных нек-рым дополнительным условиям [3], причем также и в пространственных областях.
Важное значение имеет Ш. а. м. для построения гармонич. функций различного вида (с наперед заданными особенностями) на римановых поверхностях [4].
Лит.: [1] SсhwarzН., Ges. math. Abh., Bd 2, В., 1890: [2] Neumann С., лBer. Verhandl. Sachsisch. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-naturwiss. K1