ЧЕБЫШЕВА ТЕОРЕМЫ

о простых числах - теоремы 1)-8) о распределении простых чисел, доказанные П. Л. Чебышевым [1] в 1848-50.
Пусть - число простых чисел, не превосходящих x, т - целое p - простое число, ln и- натуральный логарифми,

1) Для любого тсумма ряда

имеет конечный предел при

2) Как бы ни было мало а>0, aтвелико, функция бесконечное число раз удовлетворяет каждому из неравенств:

3) Частное при не может иметь предела, отличного от 1.

4) Если функция может быть выражена до количества порядка хln^-nхвключительно алгебраически вх,lnх, е^х,то таким выражением является выражение (*).
После этого П. Л. Чебышев ввел две новые функции распределения простых чисел и -Чебышева функции

и установил фактич. порядок роста этих функций. Отсюда впервые им получен фактнч. порядок роста числа простых чисел и n-го простого числаР_п.Точнее, он доказал:

5) Дляx>1 при имеют место неравенства

6) Длях,начиная с нек-рого х₀.имеют место неравенства

7) Существуют постоянные a > 0,.>0 такие, что n-е простое числоР_п,для всехп =1, 2, ... удовлетворяет неравенствамanln.<Р_n<Anlnn.

8) В интервале (а,2a-2) при а>3 лежит, по крайней мере, одно простое число (постулат Бертрана).
Главная идея метода доказательства 1)- 4) состоит в изучении поведения величин

и их производных при В основе метода вывода 5)-8) лежит тождество Чебышева:

Лит.:[1] Чeбышев П. Л., Полн. собр. соч., т. 1, Теория чисел, М. - Л., 1944.
А. Ф. Лаврик.