ЧАСТОТНАЯ ТЕОРЕМА
- теорема, формулирующая условия разрешимости уравнений Лурье
где - заданные матрицы размеров соответственно,Н=Н*, h -искомые матрицы размера nX.и.Хт.Уравнения Лурье имеют две другие эквивалентные формы: при
где и в общем случае
где заданная эрмитова форма векторов
При этом
Если пара {Р, q}управляема, то уравнения Лурье сводятся к случаю, когда
При m = 1 и когда все матрицы действительны, в скалярной записи уравнения Лурье приобретают вид
здесьh=[h1, ..., hn]- искомый вектор.
Пусть пара {Р, q}стабилизируема, т. е. существует rтакое, чтоR = P+qr* -матрица Гурвица.
Частотная теорема утверждает: для разрешимости уравнений Лурье необходимо и достаточно, чтобы
для всех (I-единичнаяматрица). Ч. т. также формулирует процедуру определения матрицH, hи утверждает, что при
существуют такие (единственные) матрицыH, h,чтокроме (3) выполнено: есть матрица Гурвица (см. [3]).
Уравнение Лурье в форме (2) иногда наз. также матричным алгебраическим уравнением Риккати. Ч. т. используется при решении задач абсолютной устойчивости [2, 4, 5], управления и адаптации (см., напр., [6]).
Лит.:[1] Лурье А. И., Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования, М.- Л., 1951; [2] Попов В. М., Гиперустойчивость автоматических систем, пер. с рум., М., 1970; [3] Якубович В. А., лСиб. матем. ж.