УЗЛОВ КОБОРДИЗМ
(правильнее бордизм узлов, см.Бордизм)-отношение эквивалентности на множестве узлов, более слабое, чем изотопич. тип. Два гладких n-мерных узла и наз. кобордантными, если существует гладкое ориентированное (n+1)-мерное подмногообразие V многообразия причем V гомеоморфно
и
Здесь знак минус означает обращение ориентации. Узлы, кобордантные тривиальному узлу, наз. кобордантными нулю или срезанными узлами. Множество классов эквивалентности (кобордантности) n-мерных гладких узлов обозначаетсяСn.Операция несвязной суммы определяет во множествеСпструктуру абелевой группы. Обратным для класса У. к. (Sn+3,kn)служит класс У. к. (-Sk+2, -kn).
При всех четных пгруппаСДравна нулю. Класс У. к. нечетномерного узла определяется егоЗейферта матрицей.Квадратная целочисленная матрица Аназывается кобордантной нулю, если она унимодулярно конгруэнтна матрице вида где N1, N2,N3-квадратные матрицы одинакового размера, а 0 - нулевая матрица. Две квадратные матрицы А1и А2наз. кобордантными, если матрица кобордантна нулю. Квадратная целочисленная матрица Аназ. -матрицей, где или -1, если Матрица Зейферта всякого (2q-1)-мерного узла является (- 1)q-матрицей. Для всякого e отношение кобордантности является отношением эквивалентности на множестве всех -матриц. Множество классов эквивалентности обозначается через Операция прямой суммы определяет в структуру абелевой группы. Имеется гомоморфизм Левина: к-рый сопоставляет классу У. к. Ккласс кобордизмов матрицы Зейферта узлаК.Гомоморфизм Левина является изоморфизмом при всех Гомоморфизм j2:С3-> является мономорфизмом, и его образ является подгруппой индекса 2 вG+,состоящей из классов (+1)-матрицА,для к-рых сигнатура матрицыA+A'делится на 16. Гомоморфизм является эпиморфизмом; его ядро нетривиально.
Для изучения строения группG+и G-и построения полной системы инвариантов класса У. к. используется следующая конструкция. Изометрической структурой над полем Fназ. пара (; Т),состоящая из невырожденной квадратичной формы , заданной на конечномерном векторном пространстве Vнад полемF,и ее изометрии Изомотрич. структура (; Т)наз. кобордантной нулю, если V содержит вполне изотропное инвариантное относительно.подпространство половинной размерности. Операции ортогональной суммы форм и прямой суммы изометрий определяют во множестве изометрич. структур операцию Две изометрич. структуры и наз. кобордантными, если изометрич. структура кобордантна нулю. ПустьGF-множество классов кобордизмов изометрических структур удовлетворяющих условию где - характеристич. многочлен изометрийТ.В изучении групп G+и G-важную роль играют вложения и к-рые строятся следующим образом. Каждый класс кобордизмов -матриц содержит невырожденную матрицу. ЕслиА -невырожденная e-матрица, то пустьQ=A+A'и - изометрич. структура, в к-рой форма задается матрицейQ,а изометрняТ -матрицейВ.Это сопоставление корректно определяет гомоморфизмы и
Пусть - изометрич. структура на векторном пространстве Vи Пусть обозначает -примерную компоненту пространстваV,т. е. для большегоN.Многочлен наз. возвратным, еслиai=ak-iпри всех i. Для каждого неприводимого возвратного многочлена через обозначается приведенный по mod 2 показатель, с к-рым входит в характеристич. многочлен изометрийТ.Для каждого возвратного неприводимого в многочлена обозначается через сигнатура сужения формы на Для каждого простого числа ри возвратного неприводимого в многочлена пусть сужение формы на где - поле р-адических чисел. Пусть
где (,) - символ Гильберта в - символ Хассе, 2r - ранг Две изометрич. структуры кобордантны тогда и только тогда, когда для всех ир,для к-рых эти инварианты определены (см. [3], [4]).
Композиция гомоморфизма Левина, гомоморфизма и функций сопоставляет каждому нечетномерному узлу Кчисла Два (2q-1)-мерных узла К1и K2, где q>1, кобордантны тогда и только тогда, когда
для всех ир,для к-рых эти инварианты определены равна сигнатуре узла K (см.Узлов и зацеплений квадратичные формы).где сумма берется по всемвида где и в этой сумме лишь конечное число слагаемых отлично от нуля.
Аналогичным образом определяются группы кобордизмов локально плоских и кусочно линейных, к-рые обозначаются и соответственно. При всех пимеется изоморфизм Естественное отображение является изоморфизмом при а при п=3 оно является мономорфизмом с образом индекса 2. Это, в частности, означает существование несглаживаемых локально плоских топологических трехмерных узлов в S5(см. [5]).
Теория У. к. связана с изучением особенностей не локально плоских и кусочно линейных вложений коразмерности 2. Если.есть (n+1)-мерное ориентированное многообразие, вложенное как подкомплекс в (n+3)-мерное многообразиеМ,иN -малая звездная окрестность хвМ,то особенность вложения Рв Мв точке хизмеряется следующим образом. Край является (n+2)-мерной сферой, ориентация к-рой определяется ориентацией М;является п-мерной сферой, ориентация к-рой определяется ориентациейР.Таким образом, возникает n-мерный узелк-рый наз. особенностью вложения в точкех.
Лит.:[1] Fох R. H., Мilnоr J. W., лOsaka J. Math.