Математическая энциклопедия

УЗЛОВ И ЗАЦЕПЛЕНИЙ ГРУППЫ

класс групп, изоморфныхфундаментальным группамдополнительных пространств зацеплений kкоразмерности 2 в сферахSⁿ.
Для случая группы G гладких зацеплений кратности выделяются такими свойствами [3]: 1) G порождается как свoй нормальный делитель элементами; 2) двумерная группа гомологии H₂(G;Z)группыGс целыми коэффициентами и тривиальным действием G в Zравна 0; 3) факторгруппа Gпо ее коммутанту G' равна свободной абелевой группе ранга Если G - группа зацепленияk,то свойство 1) выполнено, так как G становится единичной группой после приравнивания единице меридианов (см. ниже), свойство 2) вытекает из теоремы Xопфа, согласно к-рой H²(G; Z)есть факторгруппа группы H₂(М (k);Z),равной нулю в силуАлександера двойственности;свойство 3) вытекает из того, чтои по двойственности Александера.
В случаях n=3 иn=4 необходимые и достаточные условия еще (1984) не получены. Если п=3, то k не распадается тогда и только тогда, когда М(k)асферично, т. е. является пространством Эйленберга - Маклейна типа R(G, 1).Зацеплении kраспадается тогда и только тогда, когда дефект группы G больше единицы [3]. Дополнение многомерного зацепления, имеющего больше одной компоненты, никогда не асферично, а дополнение многомерного узла может быть асферичным только при условии Более того, при всякий n-мерный узел с асферичным дополнением тривиален. Известно также, что при n=3 зацепление тривиально тогда и только тогда, когда его группа свободна [3]. Дальше принимается, чтоn=3. Для получения копредставления группы G(k)по общему правилу (см.Фундаментальная группа)в S³строят двумерный комплексК,содержащий исходный узел kи такой, что Тогда 2-клетки Кдают систему образующих G(k),а обходы вокруг 1-клеток из - соотношения. Если в качестве Квзять конус надk,идущий из точки снизу от плоскости проекции, получается верхнее копредставление Виртингера (см.Узлов и зацеплений диаграммы).Если в качестве.взять объединение черной и белой поверхностей, получаемых из диаграммы k(удалив внешнюю область), получится копредставление Дена.
Задание kв виде замкнутой косы приводит к копредставлению G (k)вида гдеL_i- слово в алфавите причем

в свободной группе При этом каждое копредставление такого типа получается из замкнутой косы. О других копредставлениях см. [11, [2], [4], [7], [8]. Сравнение верхнего и нижнего непредставлений Виртингера приводит к особого рода двойственности в G(k)(см. [7]). Она формулируется в терминах исчисления Фокса: G(k)имеет два таких непредставления (x_i;r_j)и (y_i;s_j),что для нек-рой их эквивалентности имеет место где сравнения берутся по модулю ядрагомоморфизма группового кольца свободной группы на групповое кольцоG/G'. Из этой двойственности вытекает симметрия вАлександера инвариантах.
Проблема тождества решается лишь для отдельных классов узлов (напр., для торических, нек-рых крендельных [6] и др.). Не существует (см. [1]) алгоритма для распознавания групп трехмерных узлов по копредставлениям. Более сильным инвариантом для kявляется групповая система <G,T_i>, состоящая из G(k)яиз системы классовТ_iсопряженных подгрупп. Подгруппа наз. периферической подгруппой компонентыk_i; это образ при гомоморфизме вложения фундаментальной группы края нек-рой регулярной окрестности N(k_i) компоненты Еслиk_iне является тривиальным узлом, отделенным от остальных компонент 2-сферой, то Меридиан и параллель в порождает вS_iдва элемента, к-рые также наз. меридианомт_iи параллельюl_iдляk_iв групповой системе. В случае параллель определяется самой группой Gв подгруппеS_iоднозначно, а меридиан только с точностью до сомножителя вида О силе <G,T_i> как инварианта см.Узлов теория.Группа автоморфизмов группы Gполностью изучена лишь для торич. зацеплений, дляЛистинга узлаи, в значительной степени, дляНейвирта узлов(см. [2]). Представления Gв различных группах, особенно с учетомT_i>,-мощный метод различения узлов. Напр., представления в группе движений плоскости Лобачевского позволяют заметить необратимые узлы. Систематически изучены метациклич. представления.
Если kне распадается, то для подгрупп пространствами типа К(F;1) служат накрывающиеМ,к-рые, как иМ,имеютгомотопический типдвумерного комплекса. Отсюда следует, что абелевы подгруппы G(k)изоморфны J или в частности, G(k)не имеет элементов конечного порядка. Для периферич. подгруппыS_iявляются максимальными во множестве абелевых подгрупп. Центр имеют только группы торич. зацеплений [10]. Особую роль играет подгруппа L(k),в к-рую входят элементы G(k),коэффициент зацепления к-рых с объединением ориентированных компонентk_iравен нулю. Если то L(k)-коммутант. Вообще, Поэтому L(k)служит группой накрывающего над М(k)с бесконечной циклич. группой f скольжений. Если F(k)-связная ориентируемая поверхность в S³с краемk,то она накрыта в счетной системой поверхностей к-рые разрезают на счетное число кусковM_j(край Отсюда получается, что L(k)есть предел диаграммы

• УЗЛОВАЯ ТОЧКА
• УИТТЕКЕРА УРАВНЕНИЕ