УАЙТХЕДА КРУЧЕНИЕ

- элементУайтхеда группыпостроенный по комплексу А-модулей. В частности, получается У. к. отображения комплексов. ПустьА -кольцо, F- конечнопорожденный А-модуль. Пустьb=(b_l, . . ., b_k)иc=(c₁, . . .,c_k)- два его базиса, и Тогда матрицa невырождена и, следовательно, определяет элeмент группы обозначаемый [с/b].Если [с/b]=0, то базисы bи сназ. эквивалентными. Очевидно,
Для произвольной точной последовательности свободных А-модулей и базисов ки gв Еи.определен базисeg=(e, f)вF,причем образом элементов f является базисg.Класс эквивалентности этого базиса зависит только от базисов е иg.
Пусть теперь - комплекс из свободных A-модулейС_iс отмеченными базисамие_i,гомологии этого комплекса свободны и в них также выбраны базисыh_i.Пусть образы гомоморфизмов также свободны. Комбинации базисов задают новые базисы вС_i. Тогда кручение комплекса.определяется формулой

При этом кручение не зависит от базисовb_iв группах границ, а только отс_iиh_i.
Пусть дана пара (K,L),состоящая из конечного связного клеточного разбиения Ки подкомплексаL,являющегосядеформационным ретрактом К.Пусть Если и - универсальные накрывающие разбиений КиL,то определяет клеточное отображение а следовательно, и отображение групп цепей т. е. является -модулем. Получается свободный цепной комплекс над Гомологии этого комплекса тривиальны, т. е. - деформационный рет-ракт
Пусть суть р-клетки в Для каждой клеткиe_iвыбирается клетка-представитель в лежащая наде_i,и фиксируется ее ориентация. Тогда - базис в Следовательно, определено подмножество т. к. кручение, вообще говоря, зависит от выбора Оазисас_р.Однако уже образ этого множества в группе УайтхедаWh(П) состоит из одного элемента и наз. кручением Уайтхеда пары (К, L).
Важным свойством У. к. является его комбинаторная инвариантность. Является ли топологич. инвариантом, неизвестно (1984).
Пусть - гомотопич. эквивалентность (Xи Y- клеточные комплексы). Тогда кручение отображения / определяется как гдеМ_f-цилиндр отображения f. Если то f наз. простой гомотопической эквивалентностью. Свойства кручения 1) если - включение, то 2) 3) если f гомотопно f', то если f - тождественное отображение односвязного комплекса с эйлеровой характеристикой то

Лит.:[1] Whitehead J. H. C., лAmer. J. Math.