Математическая энциклопедия

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

класс элементарных функций: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Обозначаются соответственно: sinx,cosx, tg x,ctgx,secx,cosecx.
Тригонометрические функции действительного аргумента. ПустьА -точка окружности с центром в начале координат и радиусом, равным единице, - угол между осью абсцисс и векторомОА,отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс (рис. 1). При этом если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке - отрицательной, т. е. - полярный угол точкиА.

Если - прямоугольные декартовы координаты точкиА,то Т. ф. синус и косинус определяются формулами

Остальные Т. ф. могут быть определены формулами

Все Т. ф.- периодические функции. Графики Т. ф. даны на рис. 2.

Основные свойства Т. ф.: область определения, множество значений, четность и участки монотонности приведены в табл.

Функция
Область определения
Множество значений
Четность
Участки монотонности
sinx
[-1, +1]
нечетная
возрастает при ....... убывает при
cosx
[-1, +1]
четная
возрастает при убывает при
tgx
нечетная
возрастает при
ctg x
нечетная
убывает при
sec x
четная
возрастает при убывает при
соsес x
нечетная
возрастает при убывает при

Каждая Т. ф. в каждой точке своей ооласти определения непрерывна и бесконечно дифференцируема; производные Т. ф.:

Интегралы от Т. ф.:

Все Т. ф. допускают разложение в степенные ряды:

при

при

при 0 <|х|< (Bn- числа Бернулли).
Функцияy=sinx,являющаяся обратной по отношению к функции z=sinу,определяет.как многозначную функцию отх',она обозначается y=Arcsinx.Аналогично определяются функции, обратные по отношению к другим Т. ф.; все они наз.обратными тригонометрическими функциями.
Тригонометрические функции комплексного переменного. Т. ф. для комплексных значений переменногоz=x+iyопределяются каканалитические продолжениясоответствующих Т. ф. действительного переменного в комплексную плоскость.
Так, sinz и cosz можно определить с помощью рядов для sinxи cosх.Эти ряды сходятся во всей плоскости, поэтому sinz и cosz-целые функции.
Т. ф. тангенс и котангенс определяются формулами

Т. ф. tg z и ctg z -мероморфнае функции.Полюсы tg zпростые (1-го порядка) и находятся в точках полюсы ctg z также простые и находятся в точках
Все формулы, справедливые для Т. ф. действительного аргумента, остаются справедливыми и для комплексного аргумента.
В отличие от Т. ф. действительного переменного, функции sin zи cos z принимают все комплексные значения: уравнения sinz=aи cosz=aимеют решения для любого комплексного а:

Т. ф. tg z и ctg z принимают все комплексные значения, кроме уравнения tg z=o, ctgz=aимеют решения для любого комплексного числа

Т. ф. можно выразить черезпоказательную функцию:

игиперболические функции:sin z=-.shiz, cos z=chiz, tg z =- i thiz.

В. И. Битюцков.

  1. тригонометрические функции—один из важнейших классов элементарных функций. Для определения Т. ф. обычно рассматривают окружность единичного радиуса с двумя взаимно перпендикулярными диаметрами AAem...Большая Советская энциклопедия II
  2. тригонометрические функции—фции угла синус sin косинус cos тангенс tg котангенсgt ctg секанс sес косеканссоsес. Т. ф. можно определить как отношения длины г и проекций аi и bi на оси координат ради...Большой энциклопедический политехнический словарь
  3. тригонометрические функции—функции угла синус sin косинус cosтангенс tg котангенс ctg секанс sec косеканс cosec. Их можноопределить как отношения длины r и проекций а и b на оси координатрадиусавек...Большой энциклопедический словарь II
  4. тригонометрические функции—ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ функции угла синус sin косинус cos тангенс tg котангенс ctg секанс sec косеканс cosec. Их можно определить как отношения длины r и проекций а и...Большой энциклопедический словарь III
  5. тригонометрические функции—ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ функции функции угла синус sin косинус cos тангенс tg котангенс ctg секанс sec косеканс cosec. Их можно определить как отношения длины r и проекций а ...Большой Энциклопедический словарь V
  6. тригонометрические функции—от греческого trigonon треугольник и функция функции угла. Таковы например синус sin a косинус cos a тангенс tg a котангенс ctg a. Они выражают отношения длин сторон пря...Иллюстрированный энциклопедический словарь
  7. тригонометрические функции—трыганаметрычныя функцы...Русско-белорусский математический словарь
  8. тригонометрические функции—Winkelfunktionen...Русско-немецкий политехнический словарь
  9. тригонометрические функции—ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ от греческого trigonon треугольник и функция функции угла. Таковы например синус sin a косинус cos a тангенс tg a котангенс ctg a. Они выражаю...Современная энциклопедия
  10. тригонометрические функции—ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ функции угла синус sin косинус cos тангенс tg котангенс ctg секанс sec косеканс cosec. Их можно определить как отношения длины r и проекций а и...Современный энциклопедический словарь
  11. тригонометрические функции—ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ функции угла синус sin косинус cos тангенс tg котангенс ctg секанс sec косеканс cosec. Их можно определить как отношения длины r и проекций а ...Энциклопедический словарь естествознания