РАЗРЕЖЕННОСТЬ МНОЖЕСТВА
в точке - локальный признак того, что Еявляетсяполярным множеством.Непустое множествоназ. р а з р е ж е н н ы м в точке в двух случаях: 1) если не является предельной точкойЕ,то есть, где- производное множество для Е;2) еслии в окрестностисуществует супергармонич.функция (см.Субгармоническая функция).такая, что
Множество Еявляется полярным тогда и только тогда, когда оно - разреженное множество (р. м.) в каждой из своих точек. Для произвольного множества Еподмножество тех точек, в к-рых Еесть р. м., является полярным. Любое непустое подмножество р. м. в точке является р. м. в . Объединение конечного числа р. м. в точке является р. м. в точке
Отрезок на плоскости не является р. м. ни в одной из своих точек. Если - р. м. в точке , то существуют сколь угодно малые окружности с центром , не пересекающиеся сЕ.Полярное множество вполне разрывно. Однако канторово множество меры нуль на оси абсцисс не является р. м. ни в одной из своих точек. Вместе с тем в пространстве
, напр., множество точек
имеющее острие в точке (0, 0, 0), где
-ньютонов потенциалплотности tна отрезке , есть р. м. в острие (п р и м е р Л е б е г а).
Лит.:[1] Б р е л о М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964; [2] Л а н д к о ф Н. С., Основы современной теории потенциала, М., 1966.Е. Д. Соломенцев.